第二章《一元二次方程》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·德州模拟）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八下·长春期末）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·山亭期末）设是一元二次方程的两根，则（ ）
A．2 B． C． D．10
4．（2024八下·张店期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
6．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2023九上·章丘月考）某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2020九上·孝感月考）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
9．（2022·临邑模拟）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
10．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·张店模拟）若，是一元二次方程的两个根，则 ．
12．（2021·江西）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 ．
13．（2025·山东）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
14．（2020九上·会宁期中）对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为 ，所以 .若 是一元二次方程 的两个根，则 .
15．（2020九下·江阴期中）一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2= ．
16．（2018·滨州模拟）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 .
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023九上·菏泽月考） 解下列方程：
（1）用配方法解一元二次方程：；
（2）用因式分解法解方程；
（3）用公式法解方程；
（4）用合适的方法解方程．
18．（2024八下·博山期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
19．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
20．（2022八下·广饶期末）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进
价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
21．（2019九上·江岸月考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值.
22．（2023八下·龙口期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
（2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
23．（2023九上·章丘月考） 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：．
因为不论取何值，总是非负数，即．
所以．
所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ．
（2）将变形为的形式，并求出的最小值．
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为试比较与的大小，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2-4ac=-4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a=1，b=-1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a=1，b=-1，c=-1，
∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A．
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系，利用完全平方公式变形后求解．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴，即，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，然后将多项式先提取二次项系数a后整体代入，进而再利用十字相乘法分解因式即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，由题意可得：
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时， ﹣6x+k+2=0
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：B.
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．【答案】0
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：0.
【分析】求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解.
15．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，
所以m=﹣1，
所以x1x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．
16．【答案】x（x-1）=110
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】有 个小朋友参加聚会，则每人送出 件礼物，
由题意得，
故答案为：
【分析】由题意可知，有 x 个小朋友参加聚会，则每人送出 ( x 1 ) 件礼物，所以共有礼物 x ( x 1 )件，列方程即可求解。
17．【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，；
（3）解：，，，
，
则，
，；
（4）解：，
，
，，，
，
则，
即，．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义可得，再两边直接开方即可求出答案.
（2）移项，提公因式即可求出答案.
（3）根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
（4）移项，根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式得出，可得方程有两个不相等的实数根.
（2）根据根与系数的关系得出，，再整体代入代数式即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有实数根.
（2）分情况讨论：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
20．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得，（舍去）．所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％；
（2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得，解得，．因为要使销售量尽可能大，所以．所以每件商品的售价应该定为110元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，根据题意列出方程，再求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵ ，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，∴ ， ，∴ ，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）算出该方程根的判别式的值，再利用配方法将判别式的值配方成一个完全平方式加一个正数的形式，根据偶数次幂的非负性即可得出判别式的值一定大于0，从而得出方程有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ， 然后根据完全平方公式的恒等变形将 变形为 ，整体代入得出关于m的方程，求解即可得出答案.
22．【答案】（1）解：过点P作 于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是 ．
，
∴ ， ；
∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是 ；
（2）解：连接 ．设经过 后△PBQ的面积为 ．
①当 时， ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②当 时， ，
则 ，
解得 （舍去）；
③ 时， ，
则 ，
解得 （舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒， 的面积为 ．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得
23．【答案】（1）；
（2）解：，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：9，3
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）进行配方可得，即可求出答案.
（3）分别求出S1和S2，再求出，即可求出答案.
1 / 1第二章《一元二次方程》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019·德州模拟）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2-4ac=-4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a=1，b=-1，c=1，
∵△=b2-4ac=1-4=-3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a=1，b=-1，c=-1，
∵△=b2-4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
2．（2019八下·长春期末）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A．
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
3．（2025九上·山亭期末）设是一元二次方程的两根，则（ ）
A．2 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系，利用完全平方公式变形后求解．
4．（2024八下·张店期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴，即，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，然后将多项式先提取二次项系数a后整体代入，进而再利用十字相乘法分解因式即可.
5．（2022·西藏）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，
解得：m≥且m≠1.
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可得m-1≠0且△≥0，代入求解可得m的范围.
6．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
7．（2023九上·章丘月考）某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，由题意可得：
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），即可求出答案.
8．（2020九上·孝感月考）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于( )
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当m=4或n=4时，即x=4，
∴方程为42﹣6×4+k+2=0，
解得：k=6；
当m=n时， ﹣6x+k+2=0
∵ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，k的值等于6或7，
故答案为：B.
【分析】当m=4或n=4时，即x=4，代入方程即可得到结论，当m=n时，即△=(﹣6)2﹣4×(k+2)=0，解方程即可得到结论.
9．（2022·临邑模拟）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再结合，，可得，再求解即可。
10．（2021·遵义）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故答案为：B
【分析】小红看错了常数项q，可得到两根之和-2，小明看错了一次项系数P，可得到两根之积为-20，由此可得到原来的方程.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·张店模拟）若，是一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
12．（2021·江西）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【分析】先求出 ， ，再代入求解即可。
13．（2025·山东）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程有两个不相等的实数根
故答案为：.
【分析】一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时 ，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
14．（2020九上·会宁期中）对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为 ，所以 .若 是一元二次方程 的两个根，则 .
【答案】0
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
即 ，
则 ，
故答案为：0.
【分析】求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解.
15．（2020九下·江阴期中）一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2= ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，
所以m=﹣1，
所以x1x2=﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．
16．（2018·滨州模拟）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为 .
【答案】x（x-1）=110
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】有 个小朋友参加聚会，则每人送出 件礼物，
由题意得，
故答案为：
【分析】由题意可知，有 x 个小朋友参加聚会，则每人送出 ( x 1 ) 件礼物，所以共有礼物 x ( x 1 )件，列方程即可求解。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023九上·菏泽月考） 解下列方程：
（1）用配方法解一元二次方程：；
（2）用因式分解法解方程；
（3）用公式法解方程；
（4）用合适的方法解方程．
【答案】（1）解：，
，
，即，
，
，；
（2）解：，
，
则，
或，
解得，；
（3）解：，，，
，
则，
，；
（4）解：，
，
，，，
，
则，
即，．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）移项，根据配方法的定义可得，再两边直接开方即可求出答案.
（2）移项，提公因式即可求出答案.
（3）根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
（4）移项，根据判别式，可得方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式即可求出答案.
18．（2024八下·博山期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
【答案】（1）证明：
，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系，得，，
由，得，
解得．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据根的判别式得出，可得方程有两个不相等的实数根.
（2）根据根与系数的关系得出，，再整体代入代数式即可求出答案.
19．（2024八下·威海经济技术开发期中）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得方程总有实数根.
（2）分情况讨论：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．
20．（2022八下·广饶期末）2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进
价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得，（舍去）．所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％；
（2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得，解得，．因为要使销售量尽可能大，所以．所以每件商品的售价应该定为110元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，根据题意列出方程，再求解即可。
21．（2019九上·江岸月考）已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值.
【答案】（1）证明：∵ ，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，∴ ， ，∴ ，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）算出该方程根的判别式的值，再利用配方法将判别式的值配方成一个完全平方式加一个正数的形式，根据偶数次幂的非负性即可得出判别式的值一定大于0，从而得出方程有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ， ， 然后根据完全平方公式的恒等变形将 变形为 ，整体代入得出关于m的方程，求解即可得出答案.
22．（2023八下·龙口期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
（2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
【答案】（1）解：过点P作 于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是 ．
，
∴ ， ；
∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是 ；
（2）解：连接 ．设经过 后△PBQ的面积为 ．
①当 时， ，
∴ ，即 ，
解得 ；
②当 时， ，
则 ，
解得 （舍去）；
③ 时， ，
则 ，
解得 （舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒， 的面积为 ．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）过点P作PE⊥CD于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出△PBQ的底和高，代入面积公式即可求得
23．（2023九上·章丘月考） 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值．
解：．
因为不论取何值，总是非负数，即．
所以．
所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空： ．
（2）将变形为的形式，并求出的最小值．
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为试比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，
的最小值为；
（3）解：，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：9，3
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）进行配方可得，即可求出答案.
（3）分别求出S1和S2，再求出，即可求出答案.
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