第二章《一元二次方程》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2025·广西）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
3．（2025·内江） 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
6．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
8．（2020·广州）直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
9．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为( )
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
10．关于x的一元二次方程 0)的根的情况，有以下四种表述：
①当a<0，b+c>0，a+c<0时，方程一定没有实数根；
②当a<0，b+c>0，b-c<0时，方程一定有实数根；
③当a>0，a+b+c<0时，方程一定没有实数根；
④当a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根.
其中表述正确的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
12．（20256八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为 .
14．（2025·萧山模拟）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
15．若两个不等实数m，n满足 则实数a 的值为 .
16．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为 .
三、解答题（共6题，共72分）
17．（2025八下·长沙月考）解方程
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（适当方法）
18．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
19．已知关于x 的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2 是方程的两个实数根，且 求m的值.
20．（2025八下·杭州期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？
（3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由．
21．（2023九上·通川期末）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
22．（2024九上·潮南月考）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程的两根为为、，则______，______；
（2）【类比运用】已知关于的一元二次方程．
①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为、，满足，求的值．
（3）【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根
∴20
故答案为： C
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴
解得a≤2且a≠1.
故答案为：C .
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式组，求解即可.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
∵方程 ，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ = ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】根据直线 不经过第二象限，得到 ，再分两种情况判断方程的解的情况.
9．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=3，c=-2时，满足a<0，b+c>0，a+c<0，
此时Δ=32-4×(-1)×(-2)=1>0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c>0，b-c<0，
∴c>0，
∵a<0，
∴-4ac>0，
∴Δ=b2-4ac>0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a=1，b=-1，c=-1时，满足a >0，a+b+c<0.
此时Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5>0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0，
∴b=-4a，c=4a，
∴Δ=(-4a)2-4×a×4a=0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故答案为：B.
【分析】关于x的一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)的判别式为Δ=b2-4ac，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根；Δ=b2-4ac<0，则方程无实数根，据此逐一判断即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
13．【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由 可知m，n是方程的两根，
∴m+n=2，mn=-a，
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4+2a，
∵m2+n2=5，
∴4+2a=5，
∴a=
故答案为： .
【分析】由题意可得：m，n是方程的两根，根据根与系数的关系可得出m+n=2，mn=-a，然后根据完全平方公式的灵活变形，可得出4+2a=5，解方程即可得出a的值。
16．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1·x2=k2-k，
∵，
∴(2k)2-2(k2-k)= 4，
2k2+2k-4=0，
k2+k-2=0，
k=-2或1，
∵Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1·x2=k2-k= 0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1·x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.
17．【答案】（1）解：
解得，
（2）解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，
（3）解：
即或，
解得，
（4）解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（3）根据配方法解方程即可求出答案.
（1）解：
解得，；
（2）解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，；
（3）解：
即或，
解得，；
（4）解：
，．
18．【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
19．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程
∴..
即 不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解： 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
，
整理，得
解得
∴m的值为 或1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先判断的值，根据方程有实数根解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，然后把原式通分，利用完全平方公式的变形计算，然后整体代入解关于m的方程即可.
20．【答案】（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意等：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+80；
（2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝448，
整理得：x2﹣50x+624＝0，
解得：x1＝26，x2＝24，
答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元；
（3）该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下：
由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）﹣2（﹣2x+80）＝400，
整理得：x2﹣52x+680＝0，
∵Δ＝（﹣52）2﹣4×680＝﹣16＜0，
∴原方程无解，
∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将表格中的两组数据代入一次函数表达式，求出k和b即得一次函数表达式；
(2)售价-进价再乘以销售量，即可得利润表达式，列出方程并求解方程即可；
(3)用总利润减去捐赠的钱，可得关于x的一元二次方程，而原方程无解可得利润不可以为400元.
21．【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
22．【答案】（1），
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或．
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：
，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）①根据一元二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
②根据一元二次方程根与系数的关系可得，再代入代数式即可求出答案.
（3）由题意可知m，n是的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）解：
，，
，
故答案为：，；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或．
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
．
1 / 1第二章《一元二次方程》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·兰州） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
2．（2025·广西）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根
∴20
故答案为： C
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．（2025·内江） 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，
∴
解得a≤2且a≠1.
故答案为：C .
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式组，求解即可.
4．（2025八下·深圳期末）用配方法解一元二次方程 下列配方正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 用配方法解
移项，得：，
配方，得：，
即：（x-2）2=7.
故答案为：B .
【分析】用配方法解即可得出配方后的等式。即可得出答案。
5．（2025·辽宁）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个矩形的宽为步，则长为步，
根据题意可列方程为：
故答案为：A.
【分析】设这个矩形的宽为步，先表示出长，再根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可列方程.
6．（2025·重庆市）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设年平均增长率为x，
由题意可得：，
解得或（舍去负值），
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故答案为：B.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可.
7．（2022·巴中）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得x2-x-k=0，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得k的范围.
8．（2020·广州）直线 不经过第二象限，则关于 的方程 实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵直线 不经过第二象限，
∴ ，
∵方程 ，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ = ，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：D.
【分析】根据直线 不经过第二象限，得到 ，再分两种情况判断方程的解的情况.
9．（2025八下·深圳期末） 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为( )
A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a，
根据根与系数的关系可得：，
解得：，
此时 △ABC周长为 3+3+3=9；
②3为腰长，则其它两边长为3和b，
根据根与系数的关系可得：，
解得：（舍去），
此时 △ABC周长为3+3+3=9.
故答案为：A .
【分析】可分为两种情况：①3为底边，②3为腰长，分别根据根与系数的关系列出方程，解方程即可求得三角形的边长，进而得出周长即可。
10．关于x的一元二次方程 0)的根的情况，有以下四种表述：
①当a<0，b+c>0，a+c<0时，方程一定没有实数根；
②当a<0，b+c>0，b-c<0时，方程一定有实数根；
③当a>0，a+b+c<0时，方程一定没有实数根；
④当a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根.
其中表述正确的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当a=-1，b=3，c=-2时，满足a<0，b+c>0，a+c<0，
此时Δ=32-4×(-1)×(-2)=1>0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c>0，b-c<0，
∴c>0，
∵a<0，
∴-4ac>0，
∴Δ=b2-4ac>0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a=1，b=-1，c=-1时，满足a >0，a+b+c<0.
此时Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5>0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0，
∴b=-4a，c=4a，
∴Δ=(-4a)2-4×a×4a=0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故答案为：B.
【分析】关于x的一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)的判别式为Δ=b2-4ac，若Δ=b2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根；Δ=b2-4ac=0，则方程有两个相等的实数根；Δ=b2-4ac<0，则方程无实数根，据此逐一判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·东营）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；方程的定义及分类；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解： 因为方程无实根，所以分两种情况讨论：
①当k=-1时，原方程无实数根，
②当k2-10时，原方程为一元二次方程；
∵方程无实根，
∴△=(k+1)2-4×(k2-1)×<0，即△=2k+2<0，
解得：kく-1；
综上，k的取值范围是k≤-1，
故答案为：.
【分析】因为方程无实根，所以分两种情况讨论：①当k=-1时，原方程无实数；②根根据一元二次方程无实数根的定义得：，列式计算即可解答.
12．（20256八下·舟山期末） 定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵[x，m]*[x+5，5]=0，
∴x(x+5)-5m=0，即x2+5x-5m=0，
∵关于x的方程[x，m]*[x+5，5]=0有两个不相等的实数根，
∴25+20m>0，
解得，
故答案为：.
【分析】将定义运算展开为二次方程，再根据判别式求解参数范围.
13．（2025·广安） 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为 .
【答案】29
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为a和b，
∴a+b=5，a2=24+5a，
∴原式=24+5a-4a+b=24+a+b=24+5=29.
故答案为：29 .
【分析】将x=a代入方程，可表示出a2的值，利用一元二次方程根与系数可求出a+b的值，然后代入代数式进行计算.
14．（2025·萧山模拟）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程： （不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
15．若两个不等实数m，n满足 则实数a 的值为 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由 可知m，n是方程的两根，
∴m+n=2，mn=-a，
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4+2a，
∵m2+n2=5，
∴4+2a=5，
∴a=
故答案为： .
【分析】由题意可得：m，n是方程的两根，根据根与系数的关系可得出m+n=2，mn=-a，然后根据完全平方公式的灵活变形，可得出4+2a=5，解方程即可得出a的值。
16．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1，x2，且. 则 的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+k2-k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1·x2=k2-k，
∵，
∴(2k)2-2(k2-k)= 4，
2k2+2k-4=0，
k2+k-2=0，
k=-2或1，
∵Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k)≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1·x2=k2-k= 0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1·x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值.
三、解答题（共6题，共72分）
17．（2025八下·长沙月考）解方程
（1）；（配方法）
（2）；（公式法）
（3）；（因式分解法）
（4）．（适当方法）
【答案】（1）解：
解得，
（2）解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，
（3）解：
即或，
解得，
（4）解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据求根公式解方程即可求出答案.
（2）提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（3）根据配方法解方程即可求出答案.
（1）解：
解得，；
（2）解：，
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
，；
（3）解：
即或，
解得，；
（4）解：
，．
18．（2024·内江）已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和.
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求p的值.
【答案】（1）p；
（2），，
，
关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，
.
（3）由根与系数的关系得，，，
，
，
，
，
解得或，
一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）由题意得
x1+x2=p，x1x2=1.
故答案为：p，1.
【分析】（1）利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=p，x1x2=1.
（2）将 转化为，然后整体代入即可；将x=x1代入方程，可得到，再在方程两边同时除以x1即可求解.
（3）将已知等式转化为，然后整体代入可得到关于p的方程，解方程求出p的值，然后检验可得到符合题意的p的值.
19．已知关于x 的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2 是方程的两个实数根，且 求m的值.
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程
∴..
即 不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解： 是关于x的一元二次方程 的两个实数根，
，
整理，得
解得
∴m的值为 或1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）先判断的值，根据方程有实数根解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，然后把原式通分，利用完全平方公式的变形计算，然后整体代入解关于m的方程即可.
20．（2025八下·杭州期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？
（3）超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意等：，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x+80；
（2）由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）＝448，
整理得：x2﹣50x+624＝0，
解得：x1＝26，x2＝24，
答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元；
（3）该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下：
由题意得：（x﹣10）（﹣2x+80）﹣2（﹣2x+80）＝400，
整理得：x2﹣52x+680＝0，
∵Δ＝（﹣52）2﹣4×680＝﹣16＜0，
∴原方程无解，
∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将表格中的两组数据代入一次函数表达式，求出k和b即得一次函数表达式；
(2)售价-进价再乘以销售量，即可得利润表达式，列出方程并求解方程即可；
(3)用总利润减去捐赠的钱，可得关于x的一元二次方程，而原方程无解可得利润不可以为400元.
21．（2023九上·通川期末）2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润销售价进货价）
类别价格 A款纪念品 B款纪念品
进货价（元/件） 20 15
销售价（元/件） 35 27
（1）该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；
（2）第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少
（3）成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款纪念品分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款纪念品分别购进20件和30件.
（2）解：设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款纪念品40件，购进B款纪念品160件时利润最大，最大为2520元.
（3）解：设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售件，每天能销售件，每件的利润为元，
由题意可知：，
解出： ，，
当时，元；当时，元
故B款纪念品售价为24元或20元一件时，平均每天销售利润为90元.
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元二次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款纪念品分别购进x和y件，根据共50件可得x+y=50；根据总费用为850元可得20x+15y=850，联立求解即可；
（2）设购进A款纪念品m件，则购进B款纪念品(200-m)件，根据A款的进价×件数+B款的进价×件数=总费用可得关于m的不等式，求出m的范围，设销售利润为w元，根据(售价-进价)×件数=利润可得w与m的关系式，然后根据一次函数的性质进行解答；
（3）设B款纪念品降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，根据每天的销售量×每件的利润=总利润可得关于a的方程，求解即可.
22．（2024九上·潮南月考）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）【材料理解】
一元二次方程的两根为为、，则______，______；
（2）【类比运用】已知关于的一元二次方程．
①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为、，满足，求的值．
（3）【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值．
【答案】（1），
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或．
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】（1）解：
，，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
（2）①根据一元二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
②根据一元二次方程根与系数的关系可得，再代入代数式即可求出答案.
（3）由题意可知m，n是的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）解：
，，
，
故答案为：，；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或．
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
．
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