3.1用树状图或表格求概率（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024七下·威海期中）如图，随意抛出的一枚硬币落在如图所示地板的某块方砖上（每一块方砖的大小相同），它停落在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·山东期末）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·市南区期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·文登期中）一个小球在如下几种图案地砖上自由滚动，小球停在阴影区域的概率最大的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024七下·周村期中）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为 ．
7．（2025九下·济阳月考）东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3，若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为 ．
8．（2024九下·章丘模拟）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
9．（2024七下·市中区期末）如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为 ．
10．（2024七下·东平期末）一飞镖游戏板，投掷一个飞镖到指定的区域（圆A）如图，若要使飞镖落在中心区域（圆B）的概率为，则⊙B与⊙A的半径之比为 ．
三、解答题
11．（2021·河北）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口 向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
12．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
13．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=M的面积/S的面积．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
14．（2023·金乡县模拟）为落实重庆市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 人．
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ．
（4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，硬币停落在黑色方砖上的概率是，
故选：C ．
【分析】本题考查了几何概率，如果每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，根据题意，利用黑色方砖的面积除以方砖的总面积，得出比值，即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右，
∴，
∴不规则图案的面积为；
故答案为：B．
【分析】首先观察折线图，可以看出随着试验次数的增加，频率稳定在左右， 利用频率估算出概率可得出小球落在不规则图案上的概率为0.65，再根据 长方形卡纸 的面积为24cm2，利用几何概率的计算公式，即可求解 ．
3．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：D．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形，
设大正方形的边长为，
∴大正方形的对角线长为，面积为，
∴阴影部分的边长为，
∴，
∴(该点取到阴影部分)，
故答案为：A．
【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的边长为，再求出，最后利用几何概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：A中，由，
B中，，
C中，，
D中，，
∵，
∴小球停在阴影区域的概率最大的是C，
故选：C．
【分析】本题主要考查了几何概率，根据选项中的图形，结合阴影部分与总体面积之比，分别计算各个选项中小球停在阴影区域的概率值，再比较大小，即可得出结论．
6．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意得：
中间每个大正方形的边长为，
∴中间每个大正方形的面积为，
整个图形的面积为，
∴点P落在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设每个小正方形的面积为1，利用几何概率公式计算解题．
7．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3
∴设两直角边分别是，，
∴根据勾股定理大正方形的边长即斜边为，
∴小正方形边长为4x-3x=，
∴，，，
则针尖落在阴影区域的概率P=；
故答案为：．
【分析】根据针尖落在阴影区域的概率就是一个直角三角形的面积与大正方形面积的比；因此只需利用面积公式求出，，再代入概率公式即可求解.
8．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，
故答案为：．
【分析】
根据几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，即可利用概率公式P= 计算，即可解答.
9．【答案】
【知识点】矩形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
10．【答案】1：2
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设⊙B与⊙A的半径分别为，
∵飞镖落在中心区域（圆B）的概率为，
＝，即＝，
∴；
故答案为：1：2．
【分析】
根据几何图形的概率等于面积之比，在根据圆的面积公式建立关系，即可得到半径之比，解答即可．
11．【答案】（1）解：嘉淇走到十字道口 一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口 向北走的概率为 ；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为： ；向南的概率为 ；向北的概率为 ；向东的概率为 ；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比。
12．【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）===；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆= π 152=，
∴P（△OAB为钝角三角形）==．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
13．【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，∴P（飞镖落在圆内）=半径为5cm的圆的面积/边长为30cm的正方形ABCD的面积=（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．∵S半圆= π 152=，∴P（△OAB为钝角三角形）=
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落半径为5cm的圆的面积/边长为30cm的正方形ABCD的面积在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
14．【答案】（1）75；76
（2）500；30
（3）108°
（4）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的结果有2种，
∴小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 ，76；
（2）估计该校共有：100÷20%＝500（人），
选A课程学生成绩在80≤x＜90的有：100×＝30（人），
故答案为：500，30；
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360°×（1-20%-35%-15%）＝108°，
故答案为：108°；
【分析】（1）利用中位数、众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求解即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
1 / 13.1用树状图或表格求概率（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024七下·威海期中）如图，随意抛出的一枚硬币落在如图所示地板的某块方砖上（每一块方砖的大小相同），它停落在黑色方砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意得，硬币停落在黑色方砖上的概率是，
故选：C ．
【分析】本题考查了几何概率，如果每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型，根据题意，利用黑色方砖的面积除以方砖的总面积，得出比值，即可得到答案．
2．（2024九上·山东期末）如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右，
∴，
∴不规则图案的面积为；
故答案为：B．
【分析】首先观察折线图，可以看出随着试验次数的增加，频率稳定在左右， 利用频率估算出概率可得出小球落在不规则图案上的概率为0.65，再根据 长方形卡纸 的面积为24cm2，利用几何概率的计算公式，即可求解 ．
3．（2022·阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：D．
【分析】利用几何概率公式求解即可。
4．（2024七下·市南区期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形，
设大正方形的边长为，
∴大正方形的对角线长为，面积为，
∴阴影部分的边长为，
∴，
∴(该点取到阴影部分)，
故答案为：A．
【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的边长为，再求出，最后利用几何概率公式求解即可.
5．（2024七下·文登期中）一个小球在如下几种图案地砖上自由滚动，小球停在阴影区域的概率最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：A中，由，
B中，，
C中，，
D中，，
∵，
∴小球停在阴影区域的概率最大的是C，
故选：C．
【分析】本题主要考查了几何概率，根据选项中的图形，结合阴影部分与总体面积之比，分别计算各个选项中小球停在阴影区域的概率值，再比较大小，即可得出结论．
二、填空题
6．（2024七下·周村期中）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意得：
中间每个大正方形的边长为，
∴中间每个大正方形的面积为，
整个图形的面积为，
∴点P落在阴影部分的概率为．
故答案为：.
【分析】设每个小正方形的面积为1，利用几何概率公式计算解题．
7．（2025九下·济阳月考）东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3，若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图中阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解： ∵直角三角形的长直角边与短直角边之比为4：3
∴设两直角边分别是，，
∴根据勾股定理大正方形的边长即斜边为，
∴小正方形边长为4x-3x=，
∴，，，
则针尖落在阴影区域的概率P=；
故答案为：．
【分析】根据针尖落在阴影区域的概率就是一个直角三角形的面积与大正方形面积的比；因此只需利用面积公式求出，，再代入概率公式即可求解.
8．（2024九下·章丘模拟）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，
故答案为：．
【分析】
根据几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，即可利用概率公式P= 计算，即可解答.
9．（2024七下·市中区期末）如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；几何概率
【解析】【解答】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积，
∴针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
10．（2024七下·东平期末）一飞镖游戏板，投掷一个飞镖到指定的区域（圆A）如图，若要使飞镖落在中心区域（圆B）的概率为，则⊙B与⊙A的半径之比为 ．
【答案】1：2
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设⊙B与⊙A的半径分别为，
∵飞镖落在中心区域（圆B）的概率为，
＝，即＝，
∴；
故答案为：1：2．
【分析】
根据几何图形的概率等于面积之比，在根据圆的面积公式建立关系，即可得到半径之比，解答即可．
三、解答题
11．（2021·河北）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口 向北走的概率；
（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
【答案】（1）解：嘉淇走到十字道口 一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口 向北走的概率为 ；
（2）补全树状图如图所示：
嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为： ；向南的概率为 ；向北的概率为 ；向东的概率为 ；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比。
12．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，
∴P（飞镖落在圆内）===；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．
∵S半圆= π 152=，
∴P（△OAB为钝角三角形）==．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
13．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=M的面积/S的面积．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．
【答案】解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π 52=25πcm2，边长为30cm的正方形ABCD的面积=302=900cm2，∴P（飞镖落在圆内）=半径为5cm的圆的面积/边长为30cm的正方形ABCD的面积=（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．∵S半圆= π 152=，∴P（△OAB为钝角三角形）=
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算即可求出飞镖落半径为5cm的圆的面积/边长为30cm的正方形ABCD的面积在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．
14．（2023·金乡县模拟）为落实重庆市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开展了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．全校共有100名学生选择了A课程，为了解选A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试．将他们的成绩（百分制）绘制成频数分布直方图．
（1）其中70≤x＜80这一组的数据为74，73，72，75，76，76，79，则这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）根据题中信息，估计该校共有 人，选A课程学生成绩在80≤x＜90的有 人．
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ．
（4）如果学校规定每名学生要选两门不同的课程，小张和小王在选课程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选课程A或B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【答案】（1）75；76
（2）500；30
（3）108°
（4）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的结果有2种，
∴小张和小王他俩第二次同时选课程A或B的概率为．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）把70≤x＜80这组的数据排序为：72，73，74，75，76，76，79，
则这组数据的中位数是75，众数是76，
故答案为：75 ，76；
（2）估计该校共有：100÷20%＝500（人），
选A课程学生成绩在80≤x＜90的有：100×＝30（人），
故答案为：500，30；
（3）课程D在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360°×（1-20%-35%-15%）＝108°，
故答案为：108°；
【分析】（1）利用中位数、众数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求解即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案；
（4）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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