第三章《概率的进一步认识》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九下·济阳月考）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：三张图片上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．
画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3，
∴P；
故答案为：C．
【分析】根据随机事件的概率可知，当事件有两种及其以上可用列举法和树状图法表示出所有等可能的结果，由于 三张图片难以区分，因此可将上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式P=计算即可．
2．（2024九下·日照月考）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
∴松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故答案为：A．
【分析】利用画树状图得到所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，最后根据概率公式求解即可．
3．（北师大版数学九年级上册第三章概率的进一步认识第二节《用频率估计概率》同步测试）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有( )
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设袋中有黄球x个，由题意得 ，
解得x=15，则白球可能有50-15=35个．
故选D．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
4．（2022七下·龙口期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801
则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故答案为：C．
【分析】利用频率估算概率的计算方法求解即可。
5．（2018·威海）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 = ，
故答案为：B．
【分析】根据题意画出树状图，由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，根据概率公式即可求出抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率。
6．（2019·柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图，
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为 。
故答案为：A。
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，根据概率公式即可算出答案。
7．（2023·德城模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别求出各事件的概率，与统计图所表示的频率进行比较可得答案。
8．（2023·长清模拟）2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：
A B C D
A A，A B，A C，A D，A
B A，B B，B C，B D，B
C A，C B，C C，C D，C
D A，D B，D C，D D，D
共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，
所以两人抽到的景点相同的概率是．
故答案为：B
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．（2021·武汉模拟）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为 .
故答案为：B.
【分析】由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，然后利用概率公式计算即可.
10．（2019九上·武汉月考）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，故选D．
【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·青岛）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
【答案】6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【分析】设袋中红球的个数是x个，利用频率估计概率可估计出摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可.
12．（2023七下·张店期末）某数学社团做排球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同。将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球次数 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的次数 192 232 298 590 968 1202
摸到白球的频率 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 0.601
根据以上数据估计，摸到白球的概率的为 （精确到0.1）．
【答案】0.6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】当试验次数足够多时，频率接近于概率，所以概率为：0.6.
故第1空答案为：0.6.
【分析】由图标知，摸球次数为2000时，摸到白球的频率为0.601，精确到0.1为0.6，即可得出答案。
13．（2021·聊城）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，
∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝ ．
故答案是： ．
【分析】先画树状图求出一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，再计算求解即可。
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则可估计袋中白色球的个数是
【答案】16
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：40×（1﹣15%﹣45%）=40×40%=16，
故答案为：16．
【分析】由红球与黑球的频率确定出白球的频率，乘以40即可估算出白球数．
15．（2023九上·禹城月考）若一个袋子中装有形状与大小均完全相同有4张卡片，4张卡片上分别标有数字-2，-1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为，，并以此确定点，那么点落在直线上的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，点P可能的结果为（-2，-1），（-2，2），（-2，3），（-1，-2），
（-1，2），（-1，3），（2，-2），（2，-1），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，2），
落在直线y=-x+1上的点为（-2，3），（-1，2），（2，-1），（3，-2），
∴概率为=；
故答案为：.
【分析】根据题意，表示出所有点的情况，结合概率公式求出答案即可。
16．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲢鱼 尾．
【答案】6400
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，
一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，
∴鲤鱼出现的频率为64%，
∴水塘有鲢鱼有10000×64%=6400尾．
故答案为：6400．
【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，而鲤鱼出现的频率为31%，由此得到水塘有鲢鱼的频率，然后乘以总数即可得到水塘有鲢鱼又多少尾．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2017·曹县模拟）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；三次传球后，球回到甲脚下的概率= = ；
（2）由（1）可知球回到乙脚下的概率= ，
所以球回到乙脚下的概率大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画出树状图，根据树形图，利用概率公式列式求出球回到甲脚下的概率即可得解；（2）计算出传到乙脚下的概率，比较大小即可．
18．（2021九上·广饶期末）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）．
【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
，
，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）求出转出蓝色的概率是，即可作答；
（2）先列表，再求出 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， 最后求解即可。
19．（2023七下·宁阳期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近．
（1）估计摸到红球的概率是 ；
（2）如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
（3）在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，求n的值．
【答案】（1）
（2）解：设袋子中有个球，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
所以．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）摸到红球的概率是：1-0.4=0.6=；
故第一空答案为：；
【分析】（1）先根据频率估计摸到黑球的概率为0.4，再用1减去摸到黑球的概率，就是摸到红球的概率；
（2） 设袋子中有m个球， 根据摸到黑球的概率直接列式，就可求得m的值；
（3）根据摸到黑球的概率直接列式，就可求得n的值即可。
20．（2020九上·平度期末）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
【答案】（1）解：∵在这四个项目任选一项，每项被选中的可能性相同，
∴在四个项目中，李欣选择项目C．“花样滑冰”的概率是 ；
（2）解：画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率的概念直接求解即可；
（2）画树状图的方法列出所有等可能结果进而得出概率。
21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.50；0.5
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：=，解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：=，
解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由40×0.5=20，40﹣20=20，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
22．（2023八下·威海期中）一枚均匀的骰子六个面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，小明和小颖利用这个骰子做游戏．
（1）若规则为：每人投掷一次骰子，掷出的点数大则获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为 ；
（2）若规则为：每人可以只投掷一次，也可以连续投掷多次．当掷出的点数和不超过10时，如果停止投掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止投掷，并且得分为0．得分多，则获胜．小明连续投掷两次后，掷出的点数和是5，请帮助他决定是否继续投掷，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有6种等可能性结果，其中点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，
∴小明继续投掷点数增加的概率为 ，小明继续投掷分数为0的概率为 ，
∴小明要继续投掷．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：小颖获胜的掷出的点数有6种等可能性结果，其中小颖获胜的结果有4种，所以小颖获胜的概率为
（2）画树状图为：
共有6种等可能性结果，其中点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，
∴小明继续投掷点数增加的概率为，小明继续投掷分数为0的概率为
∴小明要继续投掷．
【分析】（1）运用直接列举法求概率即可；
（2）利用树状图得到出点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，求出相应的概率可判断是否继续投掷．
23．（2024·昌邑模拟）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45 名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
平均分 方差 中位数 众数
男生 7.9 1.99 8 7
女生 7.92 1.9936 8 8
初二1班体育模拟测试成绩分析
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人.
（2）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些 并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
（3）若1班恰有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，预计从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一男一女的概率.
【答案】（1）20；25
（2）解：我认为女生队表现更突出，理由如下：
女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；
女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多；
（3）解：根据题意画树状图如下
共有 12种等可能的结果，恰好为一名男生、一名女生的有6种，
∴恰好为一名男生、一名女生的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由图可得：
男生共有：1+2+6+3+5+3=20人
女生共有：45-20=25人
故答案为：20；25
【分析】（1）根据男生的条形统计图可得男生人数，再用总人数减去男生人数可得女生人数.
（2）根据平均数，众数，中位数的意义解答即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好为一名男生、一名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
24．（2023·泰山模拟）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“：文明礼仪，：环境保护，：卫生保洁，：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少
【答案】（1）解：（人），，则，
所以，本次调查的学生人数为100人，的值为35；
（2）解：组的人数为（人）
组的人数为（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴其中有一天是星期五的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用C类人数除以其百分比，即得调查总人数；由m%=A类人数÷调查总人数×100%计算即可；
（2）由调查总人数×B类百分比=B组人数，D组人数=调查总人数-A、B、C组人数分别计算，再补图即可；
（3） 利用树状图列举出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个， 然后利用概率公式计算即可.
1 / 1第三章《概率的进一步认识》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九下·济阳月考）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·日照月考）如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（北师大版数学九年级上册第三章概率的进一步认识第二节《用频率估计概率》同步测试）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有( )
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
4．（2022七下·龙口期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801
“射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801
则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
5．（2018·威海）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·柳州）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·德城模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
8．（2023·长清模拟）2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·武汉模拟）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019九上·武汉月考）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ）
A．连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B．连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C．抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D．抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2021·青岛）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 ．
12．（2023七下·张店期末）某数学社团做排球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同。将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据：
摸球次数 300 400 500 1000 1600 2000
摸到白球的次数 192 232 298 590 968 1202
摸到白球的频率 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 0.601
根据以上数据估计，摸到白球的概率的为 （精确到0.1）．
13．（2021·聊城）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则可估计袋中白色球的个数是
15．（2023九上·禹城月考）若一个袋子中装有形状与大小均完全相同有4张卡片，4张卡片上分别标有数字-2，-1，2，3，现从中任意抽出其中两张卡片分别记为，，并以此确定点，那么点落在直线上的概率是 ．
16．一水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，则水塘有鲢鱼 尾．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2017·曹县模拟）甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
（1）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
（2）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
18．（2021九上·广饶期末）小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）．
19．（2023七下·宁阳期末）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近．
（1）估计摸到红球的概率是 ；
（2）如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
（3）在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，求n的值．
20．（2020九上·平度期末）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
21．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
22．（2023八下·威海期中）一枚均匀的骰子六个面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，小明和小颖利用这个骰子做游戏．
（1）若规则为：每人投掷一次骰子，掷出的点数大则获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为 ；
（2）若规则为：每人可以只投掷一次，也可以连续投掷多次．当掷出的点数和不超过10时，如果停止投掷，那么得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过10时，必须停止投掷，并且得分为0．得分多，则获胜．小明连续投掷两次后，掷出的点数和是5，请帮助他决定是否继续投掷，并说明理由．
23．（2024·昌邑模拟）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45 名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
平均分 方差 中位数 众数
男生 7.9 1.99 8 7
女生 7.92 1.9936 8 8
初二1班体育模拟测试成绩分析
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人.
（2）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些 并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
（3）若1班恰有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，预计从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一男一女的概率.
24．（2023·泰山模拟）某校为了响应市政府号召，在“创文明城市”活动周中，设置了“：文明礼仪，：环境保护，：卫生保洁，：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图：条形统计图和扇形统计图．
（1）求本次调查的学生人数和的值；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小明同学随机选择两天，那么其中有一天是星期五的概率是多少
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：三张图片上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．
画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3，
∴P；
故答案为：C．
【分析】根据随机事件的概率可知，当事件有两种及其以上可用列举法和树状图法表示出所有等可能的结果，由于 三张图片难以区分，因此可将上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式P=计算即可．
2．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
∴松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故答案为：A．
【分析】利用画树状图得到所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，最后根据概率公式求解即可．
3．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设袋中有黄球x个，由题意得 ，
解得x=15，则白球可能有50-15=35个．
故选D．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故答案为：C．
【分析】利用频率估算概率的计算方法求解即可。
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为 = ，
故答案为：B．
【分析】根据题意画出树状图，由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，根据概率公式即可求出抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率。
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如图，
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为 。
故答案为：A。
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，根据概率公式即可算出答案。
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别求出各事件的概率，与统计图所表示的频率进行比较可得答案。
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：
A B C D
A A，A B，A C，A D，A
B A，B B，B C，B D，B
C A，C B，C C，C D，C
D A，D B，D C，D D，D
共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，
所以两人抽到的景点相同的概率是．
故答案为：B
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以，最终从点E落出的概率为 .
故答案为：B.
【分析】由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，然后利用概率公式计算即可.
10．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，故选D．
【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
11．【答案】6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【分析】设袋中红球的个数是x个，利用频率估计概率可估计出摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可.
12．【答案】0.6
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】当试验次数足够多时，频率接近于概率，所以概率为：0.6.
故第1空答案为：0.6.
【分析】由图标知，摸球次数为2000时，摸到白球的频率为0.601，精确到0.1为0.6，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，
根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，
∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝ ．
故答案是： ．
【分析】先画树状图求出一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，再计算求解即可。
14．【答案】16
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得：40×（1﹣15%﹣45%）=40×40%=16，
故答案为：16．
【分析】由红球与黑球的频率确定出白球的频率，乘以40即可估算出白球数．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，点P可能的结果为（-2，-1），（-2，2），（-2，3），（-1，-2），
（-1，2），（-1，3），（2，-2），（2，-1），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，2），
落在直线y=-x+1上的点为（-2，3），（-1，2），（2，-1），（3，-2），
∴概率为=；
故答案为：.
【分析】根据题意，表示出所有点的情况，结合概率公式求出答案即可。
16．【答案】6400
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，
一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼出现的频率为0.36，
∴鲤鱼出现的频率为64%，
∴水塘有鲢鱼有10000×64%=6400尾．
故答案为：6400．
【分析】由于水塘里有鲤鱼、鲢鱼共10000尾，而鲤鱼出现的频率为31%，由此得到水塘有鲢鱼的频率，然后乘以总数即可得到水塘有鲢鱼又多少尾．
17．【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：由树形图可知三次传球有8种等可能结果；三次传球后，球回到甲脚下的概率= = ；
（2）由（1）可知球回到乙脚下的概率= ，
所以球回到乙脚下的概率大．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）画出树状图，根据树形图，利用概率公式列式求出球回到甲脚下的概率即可得解；（2）计算出传到乙脚下的概率，比较大小即可．
18．【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
，
，
因此游戏是公平．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）求出转出蓝色的概率是，即可作答；
（2）先列表，再求出 共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种， 最后求解即可。
19．【答案】（1）
（2）解：设袋子中有个球，
根据题意，得，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
所以．
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）摸到红球的概率是：1-0.4=0.6=；
故第一空答案为：；
【分析】（1）先根据频率估计摸到黑球的概率为0.4，再用1减去摸到黑球的概率，就是摸到红球的概率；
（2） 设袋子中有m个球， 根据摸到黑球的概率直接列式，就可求得m的值；
（3）根据摸到黑球的概率直接列式，就可求得n的值即可。
20．【答案】（1）解：∵在这四个项目任选一项，每项被选中的可能性相同，
∴在四个项目中，李欣选择项目C．“花样滑冰”的概率是 ；
（2）解：画树状图分析如下：
共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率的概念直接求解即可；
（2）画树状图的方法列出所有等可能结果进而得出概率。
21．【答案】（1）0.50；0.5
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得：=，解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
（2）40×0.5=20，40﹣20=20；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：=，
解得：x=10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由40×0.5=20，40﹣20=20，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
22．【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有6种等可能性结果，其中点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，
∴小明继续投掷点数增加的概率为 ，小明继续投掷分数为0的概率为 ，
∴小明要继续投掷．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：小颖获胜的掷出的点数有6种等可能性结果，其中小颖获胜的结果有4种，所以小颖获胜的概率为
（2）画树状图为：
共有6种等可能性结果，其中点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，
∴小明继续投掷点数增加的概率为，小明继续投掷分数为0的概率为
∴小明要继续投掷．
【分析】（1）运用直接列举法求概率即可；
（2）利用树状图得到出点数和超过10的结果有1种，不超过10的结果有5种，求出相应的概率可判断是否继续投掷．
23．【答案】（1）20；25
（2）解：我认为女生队表现更突出，理由如下：
女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；
女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多；
（3）解：根据题意画树状图如下
共有 12种等可能的结果，恰好为一名男生、一名女生的有6种，
∴恰好为一名男生、一名女生的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）由图可得：
男生共有：1+2+6+3+5+3=20人
女生共有：45-20=25人
故答案为：20；25
【分析】（1）根据男生的条形统计图可得男生人数，再用总人数减去男生人数可得女生人数.
（2）根据平均数，众数，中位数的意义解答即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好为一名男生、一名女生的结果，再根据概率公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：（人），，则，
所以，本次调查的学生人数为100人，的值为35；
（2）解：组的人数为（人）
组的人数为（人），
补全条形统计图如图：
（3）解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个，
∴其中有一天是星期五的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）利用C类人数除以其百分比，即得调查总人数；由m%=A类人数÷调查总人数×100%计算即可；
（2）由调查总人数×B类百分比=B组人数，D组人数=调查总人数-A、B、C组人数分别计算，再补图即可；
（3） 利用树状图列举出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个， 然后利用概率公式计算即可.
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