4.8图形的位似(第1课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.(2025·兰州) 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O.已知BC:B'C'=1:2,则B(2,0)的对应点B'的坐标是( )
A.(3,0) B.(4,0) C.(6,0) D.(8,0)
2.(2025·浙江模拟)如图,在正方形网格图中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心是( )
A.点R B.点P C.点Q D.点O
3.(2025·温州三模)如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似,且.若四边形ABCD的面积为3,则四边形EFGH的面积为( )
A. B.6 C.12 D.18
4.(2025八下·深圳期末) 如图,和是以点O为位似中心的位似图形,,的周长为8,则的周长为( )
A.8 B.16 C.24 D.32
5.(2025·浙江)如图,五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点的坐标分别为.若的长为 3 ,则的长为( )
A. B.4 C. D.5
二、填空题
6.(2025·潮阳模拟)如图,与位似,点O为位似中心,已知,则与的周长之比为 .
7.(2025·衡阳模拟)如图,与是以点O为位似中心的位似图形,其位似比为,则与的面积比是 .
8.如图,O为△ABC内一点,A',B',C'分别是OA,OB,OC上的点,且OA':AA'=OB':BB’=OC':CC'=1:2.若AB=6,则A'B'=
9.(2022九上·襄汾期中)已知与是位似图形,位似比是,则与的面积比 .
10.(2024·三台二模)四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心为点O.点A与点E对应,若,四边形ABCD的面积为8,则四边形EFGH的面积为 .
三、解答题
11.(2025九上·江北期末)图 1,图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格,每个正六边形的顶点称为格点, 的顶点均在格点上,称为格点三角形.请用无刻度直尺按要求画出图形.
(1)在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 (保留作图痕迹并请标注字母).
(2)在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形,要求与 相似但不全等(请涂填阴影).
12.(2023九上·贵阳期中)视力表对我们来说并不陌生,它蕴含着一定的数学知识.下面我们以标准对数视力表为例,来探索视力表中的奥秘.
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次编号为①,②,放在水平桌面上.如图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点O看去,对应顶点,,O在一条直线上为止.这时我们说,在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同.
(1)探究图中与之间的关系,请说明理由;
(2)若,①号“E”的测量距离,要使测得的视力相同,求②号“E”的测量距离.
13.(2024九上·昌平期中)网格中每个小正方形的边长都是1.
(1)在图1中画一个格点,使,且相似比为2:1;
(2)在图2中画一个格点,使,且相似比为.
14.(2023九上·鄞州期中)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C均在格点上.请按要求在网格中画图,所画图形的顶点均需在格点上.
(1)在图1中以线段AB为边画一个,使其与相似,但不全等.
(2)在图2中画一个,使其与相似,且面积为8.
15.(2023九下·丹徒月考)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格,图中的点A、B、C、D均在格点上.
(1)在图①中, .
(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.
①如图②,在上找一点P,使.
②如图③,在上找一点P,使.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】点的坐标;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O , BC:B'C'=1:2,
∴BO:B'O=1:2,
∵B(2,0),
∴ B'(4,0)
故答案为:B .
【分析】根据位似图形的性质:以原点为位似中心时,若原图形上某点坐标为(x,y),位似比为k,则对应点坐标同向缩放为(kx,ky)(适用于k>0);由此计算即可解答.
2.【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解:连接 CC'交于点O,
∴点O是位似中心,
故答案为:D.
【分析】根据位似图形的概念,连接对应点,交点即是位似中心.
3.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ,
∴,
∵,
∴;
故答案为:C.
【分析】
根据图形为位似图形,面积比等于相似比是平方即可求得.
4.【答案】C
【知识点】比例的性质;相似三角形的性质-对应周长;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵和是以点O为位似中心的位似图形,
∴AC∥DF,
∴,
∴,
∵的周长为8,
∴
故答案为:C .
【分析】首先根据比例性质,求出,再根据相似三角形的性质,求出,最后根据的周长为8,即可得出的周长 。
5.【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:如图所示,
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选:C.
【分析】位似图形是相似图形,位似比等于相似比,对应线段的比等于相似比.
6.【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵与是位似图形,,
∴与的位似比是.
∴与的相似比为,
∴与的周长比为,
故答案为:
【分析】根据位似比与相似比的关系,求出与的相似比,然后结合相似三角形周长比等于相似比进行求解。
7.【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵与是以点O为位似中心的位似图形,其位似比为,
∴,,,
,
,
,
故答案为:.
【分析】先根据位似图形的概念得到,,再得出,然后根据相似三角形的性质求出,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.
8.【答案】2
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:OA':AA'=OB':BB’=OC':CC'=1:2
∴
∴
AB=6,
∴ A'B'= 2
故答案为:2.
【分析】根据位似图形的概念可得,得到,即可得到答案.
9.【答案】1:9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:与是位似图形,位似比是,
,且相似比为,
与的面积比为:;
故答案为:.
【分析】根据,且相似比为1:3,利用相似三角形的性质可得与的面积比为1:9。
10.【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ,且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ,
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为:72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方,可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比,然后代入计算即可。
11.【答案】(1)如图所示.(作图痕迹不唯一,合理即可)
(2)如图所示.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】作图﹣相似变换;作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A,B的对应点. 即可;
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
12.【答案】(1)解:.
①号“E”与②号“E”相似,且点在一条直线上,
①号“E”与②号“E”是位似图形,位似中心是点,
是相似比,
.
(2)解:,
.
.
答:②号“E”的测量距离是.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】(1)根据题意,可得①号“E”与②号“E”是位似图形,位似中心是点, 利用位似的性质列出比例式,即可求解;
(2)将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
13.【答案】(1)解:如图所示,由相似三角形的性质,可得
(2)解:如图所示,,,,
∴,,
∴
【知识点】作图﹣相似变换;位似变换
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质,把的边长相应地扩大2倍,即可求解;
(2)由,结合网格线和相似三角形的性质,把的边长扩大倍,即可得到答案.
(1)如图所示,
(2)如图所示,,,,
∴,,
∴
14.【答案】(1)解:解:如图,△ABD即为所求;
(2)解:如图,△EFG即为所求.
【知识点】勾股定理;作图﹣相似变换
【解析】【分析】(1)由图可知,AC=2,根据网格特点画AD⊥AB,使AD=即可;
(2)由AC=2,BC=4,画出直角边分别为2,4的直角三角形EFG即可.
(1)解:如图,△ABD即为所求;
(2)如图,△EFG即为所求.
15.【答案】(1)
(2)解:①在网格图②中,,
如图2所示,连接CD,交AB于点P,
∵,
∴△PBC∽△PAD,
∴,
解得:,
∴点P即为所要找的点;
②如图3所示,作点A的对称点A',
连接A'C,交BD于点P,
∵,
∴△A'PB∽△CPD,
∵△ABP≌△A'BP,
∴△APB∽△CPD,
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解:(1)解:图1中,
∵,
∴△PCD∽△PBA,
∴,
故答案为:;
【分析】(1)由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA,由相似三角形对应边成比例即可得出结论;
(2)①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C,CD与AB的交点就是所求的点P,理由如下:首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长,由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3;
②作点A的对称点A',连接A'C,交BD于点P,由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD,格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP,从而得出△APB∽△CPD,故点P即为所要找的点.
1 / 14.8图形的位似(第1课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.(2025·兰州) 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O.已知BC:B'C'=1:2,则B(2,0)的对应点B'的坐标是( )
A.(3,0) B.(4,0) C.(6,0) D.(8,0)
【答案】B
【知识点】点的坐标;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O , BC:B'C'=1:2,
∴BO:B'O=1:2,
∵B(2,0),
∴ B'(4,0)
故答案为:B .
【分析】根据位似图形的性质:以原点为位似中心时,若原图形上某点坐标为(x,y),位似比为k,则对应点坐标同向缩放为(kx,ky)(适用于k>0);由此计算即可解答.
2.(2025·浙江模拟)如图,在正方形网格图中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,则位似中心是( )
A.点R B.点P C.点Q D.点O
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解:连接 CC'交于点O,
∴点O是位似中心,
故答案为:D.
【分析】根据位似图形的概念,连接对应点,交点即是位似中心.
3.(2025·温州三模)如图,四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似,且.若四边形ABCD的面积为3,则四边形EFGH的面积为( )
A. B.6 C.12 D.18
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ,
∴,
∵,
∴;
故答案为:C.
【分析】
根据图形为位似图形,面积比等于相似比是平方即可求得.
4.(2025八下·深圳期末) 如图,和是以点O为位似中心的位似图形,,的周长为8,则的周长为( )
A.8 B.16 C.24 D.32
【答案】C
【知识点】比例的性质;相似三角形的性质-对应周长;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵和是以点O为位似中心的位似图形,
∴AC∥DF,
∴,
∴,
∵的周长为8,
∴
故答案为:C .
【分析】首先根据比例性质,求出,再根据相似三角形的性质,求出,最后根据的周长为8,即可得出的周长 。
5.(2025·浙江)如图,五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形,已知点的坐标分别为.若的长为 3 ,则的长为( )
A. B.4 C. D.5
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:如图所示,
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选:C.
【分析】位似图形是相似图形,位似比等于相似比,对应线段的比等于相似比.
二、填空题
6.(2025·潮阳模拟)如图,与位似,点O为位似中心,已知,则与的周长之比为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵与是位似图形,,
∴与的位似比是.
∴与的相似比为,
∴与的周长比为,
故答案为:
【分析】根据位似比与相似比的关系,求出与的相似比,然后结合相似三角形周长比等于相似比进行求解。
7.(2025·衡阳模拟)如图,与是以点O为位似中心的位似图形,其位似比为,则与的面积比是 .
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵与是以点O为位似中心的位似图形,其位似比为,
∴,,,
,
,
,
故答案为:.
【分析】先根据位似图形的概念得到,,再得出,然后根据相似三角形的性质求出,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算.
8.如图,O为△ABC内一点,A',B',C'分别是OA,OB,OC上的点,且OA':AA'=OB':BB’=OC':CC'=1:2.若AB=6,则A'B'=
【答案】2
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解:OA':AA'=OB':BB’=OC':CC'=1:2
∴
∴
AB=6,
∴ A'B'= 2
故答案为:2.
【分析】根据位似图形的概念可得,得到,即可得到答案.
9.(2022九上·襄汾期中)已知与是位似图形,位似比是,则与的面积比 .
【答案】1:9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解:与是位似图形,位似比是,
,且相似比为,
与的面积比为:;
故答案为:.
【分析】根据,且相似比为1:3,利用相似三角形的性质可得与的面积比为1:9。
10.(2024·三台二模)四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心为点O.点A与点E对应,若,四边形ABCD的面积为8,则四边形EFGH的面积为 .
【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积;位似图形的性质
【解析】【解答】解:∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ,且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ,
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为:72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方,可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比,然后代入计算即可。
三、解答题
11.(2025九上·江北期末)图 1,图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格,每个正六边形的顶点称为格点, 的顶点均在格点上,称为格点三角形.请用无刻度直尺按要求画出图形.
(1)在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 (保留作图痕迹并请标注字母).
(2)在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形,要求与 相似但不全等(请涂填阴影).
【答案】(1)如图所示.(作图痕迹不唯一,合理即可)
(2)如图所示.(答案不唯一,合理即可)
【知识点】作图﹣相似变换;作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A,B的对应点. 即可;
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
12.(2023九上·贵阳期中)视力表对我们来说并不陌生,它蕴含着一定的数学知识.下面我们以标准对数视力表为例,来探索视力表中的奥秘.
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次编号为①,②,放在水平桌面上.如图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点O看去,对应顶点,,O在一条直线上为止.这时我们说,在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同.
(1)探究图中与之间的关系,请说明理由;
(2)若,①号“E”的测量距离,要使测得的视力相同,求②号“E”的测量距离.
【答案】(1)解:.
①号“E”与②号“E”相似,且点在一条直线上,
①号“E”与②号“E”是位似图形,位似中心是点,
是相似比,
.
(2)解:,
.
.
答:②号“E”的测量距离是.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】(1)根据题意,可得①号“E”与②号“E”是位似图形,位似中心是点, 利用位似的性质列出比例式,即可求解;
(2)将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
13.(2024九上·昌平期中)网格中每个小正方形的边长都是1.
(1)在图1中画一个格点,使,且相似比为2:1;
(2)在图2中画一个格点,使,且相似比为.
【答案】(1)解:如图所示,由相似三角形的性质,可得
(2)解:如图所示,,,,
∴,,
∴
【知识点】作图﹣相似变换;位似变换
【解析】【分析】(1)根据相似三角形的性质,把的边长相应地扩大2倍,即可求解;
(2)由,结合网格线和相似三角形的性质,把的边长扩大倍,即可得到答案.
(1)如图所示,
(2)如图所示,,,,
∴,,
∴
14.(2023九上·鄞州期中)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C均在格点上.请按要求在网格中画图,所画图形的顶点均需在格点上.
(1)在图1中以线段AB为边画一个,使其与相似,但不全等.
(2)在图2中画一个,使其与相似,且面积为8.
【答案】(1)解:解:如图,△ABD即为所求;
(2)解:如图,△EFG即为所求.
【知识点】勾股定理;作图﹣相似变换
【解析】【分析】(1)由图可知,AC=2,根据网格特点画AD⊥AB,使AD=即可;
(2)由AC=2,BC=4,画出直角边分别为2,4的直角三角形EFG即可.
(1)解:如图,△ABD即为所求;
(2)如图,△EFG即为所求.
15.(2023九下·丹徒月考)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格,图中的点A、B、C、D均在格点上.
(1)在图①中, .
(2)利用网格和无刻度的直尺作图,保留痕迹,不写作法.
①如图②,在上找一点P,使.
②如图③,在上找一点P,使.
【答案】(1)
(2)解:①在网格图②中,,
如图2所示,连接CD,交AB于点P,
∵,
∴△PBC∽△PAD,
∴,
解得:,
∴点P即为所要找的点;
②如图3所示,作点A的对称点A',
连接A'C,交BD于点P,
∵,
∴△A'PB∽△CPD,
∵△ABP≌△A'BP,
∴△APB∽△CPD,
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解:(1)解:图1中,
∵,
∴△PCD∽△PBA,
∴,
故答案为:;
【分析】(1)由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA,由相似三角形对应边成比例即可得出结论;
(2)①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C,CD与AB的交点就是所求的点P,理由如下:首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长,由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD,由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3;
②作点A的对称点A',连接A'C,交BD于点P,由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线,所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD,格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP,从而得出△APB∽△CPD,故点P即为所要找的点.
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