4.8图形的位似（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
2．（2024九上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·祁东期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2024九上·清苑期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3， 2）
5．如图所示，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
二、填空题
6．（2024九上·瑞安期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ．
7．（2024九上·双峰期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，若点A的对应点的纵坐标为，求点的横坐标为 ．
8．（2024九上·宁波月考）如图所示，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-2，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点的横坐标是7，则点B的横坐标是 .
9．（2024九上·长沙期末） 如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A'的坐标为 ．
10．（2023九上·南关月考）如图，在平面直角坐标系中有△OAB，以点O为位似中心将△OAB放大．若对应点A、的坐标分别为、，则△AOB与的面积之比为 ．
三、解答题
11．（2024九上·深圳期中）如图，在正方形格纸中.
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使， ，并写出点坐标 ；
（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标 ；
（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标 .
12．（2023九上·双峰期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似，并且点A1的坐标为（8，﹣6）．
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比是 ．
（3）△A1B1C1的面积是 ．
13．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
14．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-4，2），以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A'的坐标即可.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标；位似中心的判断
【解析】【解答】如图所示：P点即为所求，
故P点坐标为：（-3，2）．
故答案为：C．
【分析】本题考查位似图形的性质.如图所示连接A和A'，O和O'，直线AA'，OO'的交点即为点P.
5．【答案】C
【知识点】位似中心的判断；位似图形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、AC，交点为（2，2，），
∴位似中心为（2，2）
∴k=OA：CD=6：3=2，
故答案为：C
【分析】根据位似中心的定义结合题意连接OD、AC，交点即为位似中心，进而根据位似的性质即可求解。
6．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据B、C两点的坐标得到OB、OC得长度，由位似图形的性质可得，求出即可求解．
7．【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，将这个三角形放大后点A的对应点的纵坐标为，即，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
【分析】根据原点的位似图形，横纵坐标同时乘以k或-k解题即可．
8．【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为-2-x，B'、C间的横坐标的长度为7-(-2)=9，
∵△ABC放大到原来的3倍得到△A'B'C，
∴3(-2-x)=9，
解得：x=-5，
故答案为：-5.
【分析】利用位似图形的性质，即位似图形对应边长的比例关系，通过已知的位似中心和位似比例，计算原图形中点的坐标.
9．【答案】（2.5，﹣3）
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】∵ △A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），
∴点A'的坐标为（-5×，6×），即（2.5，-3），
故答案为：（2.5，-3）.
【分析】利用位似图形的性质及点坐标的定义列出算式求出点A'的坐标即可.
10．【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质；位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中有，以点O为位似中心将放大．若对应点的坐标分别为、，
∴和的位似比为，
∴与的面积之比为，
故答案为：．
【分析】根据点A和点的坐标得到和的位似比为，再根据位似图形的面积之比是位似比的平方即可得到答案．
11．【答案】（1）；（2，1）
（2） （4，6）
（3） （1，-2）或（-1，2）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，
∴，
故答案为：
（2）如图所示：即为所求，由题意得；
故答案为：
（3）若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或），则点的坐标为或．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）
【分析】（1）根据点A和点C的坐标建立坐标系，进而即可读出点B的坐标；
（2）根据作图-位似，进而即可画出，再读坐标即可求解；
（3）根据作图-旋转画图，进而即可读出点的坐标。
12．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）1：2
（3）8
【知识点】三角形的面积；位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵A的坐标为．点的坐标为，
∴与的位似比是位似比为，
故答案为：．
（3）的面积是，
故答案为：
【分析】（1）根据作图-位似结合题意即可求解；
（2）根据位似结合题意即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解。
13．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
14．【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△A2B2C2的面积为：4×8﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×8=14．
故答案为：14．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．
15．【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
【知识点】作图﹣平移；位似变换；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
1 / 14.8图形的位似（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），
即（﹣3，），
故答案为：A．
【分析】根据位似变换的性质“如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）”计算即可求解.
2．（2024九上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
3．（2024九上·祁东期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-4，2），以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A'的坐标即可.
4．（2024九上·清苑期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A'B'O'是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3， 2）
【答案】C
【知识点】点的坐标；位似中心的判断
【解析】【解答】如图所示：P点即为所求，
故P点坐标为：（-3，2）．
故答案为：C．
【分析】本题考查位似图形的性质.如图所示连接A和A'，O和O'，直线AA'，OO'的交点即为点P.
5．如图所示，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
【答案】C
【知识点】位似中心的判断；位似图形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、AC，交点为（2，2，），
∴位似中心为（2，2）
∴k=OA：CD=6：3=2，
故答案为：C
【分析】根据位似中心的定义结合题意连接OD、AC，交点即为位似中心，进而根据位似的性质即可求解。
二、填空题
6．（2024九上·瑞安期末）如图，与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵与是位似图形，原点为位似中心，位似比为，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据B、C两点的坐标得到OB、OC得长度，由位似图形的性质可得，求出即可求解．
7．（2024九上·双峰期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．以坐标原点O为位似中心，将放大，记所得三角形为，若点A的对应点的纵坐标为，求点的横坐标为 ．
【答案】6
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，将这个三角形放大后点A的对应点的纵坐标为，即，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
【分析】根据原点的位似图形，横纵坐标同时乘以k或-k解题即可．
8．（2024九上·宁波月考）如图所示，在中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-2，0）.以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点的横坐标是7，则点B的横坐标是 .
【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为-2-x，B'、C间的横坐标的长度为7-(-2)=9，
∵△ABC放大到原来的3倍得到△A'B'C，
∴3(-2-x)=9，
解得：x=-5，
故答案为：-5.
【分析】利用位似图形的性质，即位似图形对应边长的比例关系，通过已知的位似中心和位似比例，计算原图形中点的坐标.
9．（2024九上·长沙期末） 如图，在平面直角坐标系中，△A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），则A'的坐标为 ．
【答案】（2.5，﹣3）
【知识点】位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】∵ △A'B'C'与△ABC是以原点O为位似中心的位似图形，且△A'B'C'与△ABC位似比为1：2，若A的坐标为（﹣5，6），
∴点A'的坐标为（-5×，6×），即（2.5，-3），
故答案为：（2.5，-3）.
【分析】利用位似图形的性质及点坐标的定义列出算式求出点A'的坐标即可.
10．（2023九上·南关月考）如图，在平面直角坐标系中有△OAB，以点O为位似中心将△OAB放大．若对应点A、的坐标分别为、，则△AOB与的面积之比为 ．
【答案】1：4
【知识点】相似三角形的性质；位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中有，以点O为位似中心将放大．若对应点的坐标分别为、，
∴和的位似比为，
∴与的面积之比为，
故答案为：．
【分析】根据点A和点的坐标得到和的位似比为，再根据位似图形的面积之比是位似比的平方即可得到答案．
三、解答题
11．（2024九上·深圳期中）如图，在正方形格纸中.
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使， ，并写出点坐标 ；
（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标 ；
（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标 .
【答案】（1）；（2，1）
（2） （4，6）
（3） （1，-2）或（-1，2）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，
∴，
故答案为：
（2）如图所示：即为所求，由题意得；
故答案为：
（3）若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或），则点的坐标为或．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）
【分析】（1）根据点A和点C的坐标建立坐标系，进而即可读出点B的坐标；
（2）根据作图-位似，进而即可画出，再读坐标即可求解；
（3）根据作图-旋转画图，进而即可读出点的坐标。
12．（2023九上·双峰期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似，并且点A1的坐标为（8，﹣6）．
（2）△ABC与△A1B1C1的位似比是 ．
（3）△A1B1C1的面积是 ．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；
（2）1：2
（3）8
【知识点】三角形的面积；位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵A的坐标为．点的坐标为，
∴与的位似比是位似比为，
故答案为：．
（3）的面积是，
故答案为：
【分析】（1）根据作图-位似结合题意即可求解；
（2）根据位似结合题意即可求解；
（3）根据三角形的面积公式即可求解。
13．（2022九上·淅川期中）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）.（正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位长度）
（ 1 ）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1；
（ 2 ）以B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比2：1，直接写出C2点坐标是 ；
（ 3 ）△A2BC2的面积是 平方单位.
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：C2（1，0）
（3）10
【知识点】三角形的面积；勾股定理；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）如图所示：△A2BC2即为所求，C2点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（3）∵A2C2=BC2=，A2B=，
∴A2C22+BC22= A2B2，
∴△A2BC2是等腰直角三角形，且∠A2C2B=90°，
∴△A2BC2的面积位为：×（）2＝10平方单位，
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意并结合网格图的特征可求解；
（2）根据位似比并结合网格图的特征可求解；
（3）根据网格图的特征用勾股定理求得A2C2=BC2、A2B的值，然后根据勾股定理的逆定理可判断△A2BC2是等腰直角三角形，于是根据S△=BC22可求解.
14．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为 ．
【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△A2B2C2的面积为：4×8﹣×2×4﹣×2×6﹣×2×8=14．
故答案为：14．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．
15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称，
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，此时A2的坐标为 ，C2的坐标为 ；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
【答案】解：（1）如图，线段BB1的中点即为点E，
∵B（1，1），B1（﹣1，﹣3）
∴E（0，﹣1）；
（2）如图，
∵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为（a﹣6，b+2），
又∵A（3，2），C（4，0），
∴A2（﹣3，4），C2（﹣2，2）；
（3）∵对应顶点A1A2与B1B2的连线交于点（﹣3，0），
∴F（﹣3，0）．
【知识点】作图﹣平移；位似变换；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点F的坐标．
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