5.1投影（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九下·南山期中）如图，公路上有一个米高的路灯晚上小红站在位置的影子和站在位置的影子相比（ ）
A．在位置的影子长些 B．一样长
C．在位置的影子长些 D．无法确定
【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】
解： 路灯高10米，小红站在A、B两个不同位置，形成影子，
由于是中心投影，影子长度与小红到路灯的水平距离有关，
根据示意图理解，位置B位于远离路灯的位置，而位置A较近，因此，B的影子更长，
故答案为：C.
【分析】 根据中心投影的特点，物体离光源越远，影子越长， 可得出小红在位置B的影子比在位置A的更长， 即可解答.
2．（2025·金东二模）下列投影中，属于中心投影的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A，C，D属于平行投影；B属于中心投影，
故答案为：B.
【分析】依据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；即可解得.
3．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A.根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B. 根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据位似图形的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024九上·白银期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由投影得，由相似性质得，求得．
5．（2023九上·甘州月考）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设投影的面积为cm，
根据位似可得，
解得，
故选：D．
【分析】利用位似图形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可.
二、填空题
6．（2025·凉州模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
【答案】250
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
【分析】根据位似图形求出位似比，然后利用面积比等于位似比的平方解答即可．
7．（2024九上·深圳模拟）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图，则在字母“L”、“K”、“C”的投影中，与字母“N”属同一种投影的有 ．
【答案】L，K
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：根据平行投影和中心投影的定义知，
字母L，K，N均为中心投影，
故与字母N属同一种投影的有字母L，K，
故答案为∶ L，K．
【分析】根据平行投影和中心投影的定义即可求出答案.
8．（2024九上·深圳期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）．
【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图所示，光线、相交于点，所以此光源下形成的投影是中心投影．
故答案为：中心投影．
【分析】利用中心投影的定义（在同一时刻同一光源下，物体的长度与影长成比例）分析求解即可.
9．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为 m.
【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
10．（2024九下·吉安模拟）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
【答案】3
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案为：3．
【分析】根据给出的两个物高与影长的比相等即可确定光源的位置.
三、解答题
11．（2025九下·义乌开学考）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．
【答案】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴，
解得AB＝6．
答：路灯杆AB的高度是6m．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似比
【解析】【分析】本题首先确定△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，然后列出相似比，然后根据CD＝EF，即可求出DF、FG、BD、BF的长度，最后列式即可求出AB的长度。
12．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上.已知树高1m，树与墙之间的距离为10m，与射灯之间的距离为5m.求树在墙上的影长.
【答案】∵树高：影子长=灯与树距离：灯与墙的距离，
∴1：影子长=5：15，解得，影子长=3m.
【知识点】中心投影
【解析】【分析】根据中心投影的概念，列出比例式求解.
13．（2024九上·雅安期末）如图，在路灯下，表示小明的身高的线段如AB所示，他在地面上的影子如图中线AC所示，表示小亮的身高的线段如FG所示，路灯灯泡O在线段DE上．
（1）请你确定灯泡O所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，∴．∴灯泡的高为4m．
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求；
（2）影长与高度成正比，据此求解。
14．（2023九上·历下期中） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【答案】（1）中心投影
（2）解：
由题意得：，，
，，
，即，
解得：
答：路灯的高度OP为5m．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【解答】解：（1）∵此光源是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】（1）利用中心投影的定义分析求解即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，再求出OP的长即可.
15．（2016九上·太原期末）晚上，小亮在广场上乘凉.中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照亮灯.知小亮的身高1.6m.
（1）图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮不灯杆的距离BO=13m，求小亮影子BC的长度.
【答案】（1）解：连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）解：在△CAB和△CPO中，∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°，∴△CAB∽△CPO，∴ ，∴ ，∴BC=2m，∴小亮影子的长度为2m.
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质画出小亮的影子即可；（2）△CAB和△CPO相似，根据相似三角形的性质，列出比例方程，即可求出影子的长度BC。
1 / 15.1投影（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九下·南山期中）如图，公路上有一个米高的路灯晚上小红站在位置的影子和站在位置的影子相比（ ）
A．在位置的影子长些 B．一样长
C．在位置的影子长些 D．无法确定
2．（2025·金东二模）下列投影中，属于中心投影的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·福田模拟）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（ ）
A．越来越大 B．影子不是直角三角形
C．影子越来越小 D．影子越来越大
4．（2024九上·白银期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·甘州月考）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025·凉州模拟）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ．
7．（2024九上·深圳模拟）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图，则在字母“L”、“K”、“C”的投影中，与字母“N”属同一种投影的有 ．
8．（2024九上·深圳期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）．
9．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为 m.
10．（2024九下·吉安模拟）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口．
三、解答题
11．（2025九下·义乌开学考）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．
12．某公园一角有一盏地面射灯照在一棵树上，树的影子投在墙上.已知树高1m，树与墙之间的距离为10m，与射灯之间的距离为5m.求树在墙上的影长.
13．（2024九上·雅安期末）如图，在路灯下，表示小明的身高的线段如AB所示，他在地面上的影子如图中线AC所示，表示小亮的身高的线段如FG所示，路灯灯泡O在线段DE上．
（1）请你确定灯泡O所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
14．（2023九上·历下期中） 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 ．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
15．（2016九上·太原期末）晚上，小亮在广场上乘凉.中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照亮灯.知小亮的身高1.6m.
（1）图中画出小亮在照明灯P照射下的影子BC；
（2）如果灯杆高PO=12m，小亮不灯杆的距离BO=13m，求小亮影子BC的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心投影
【解析】【解答】
解： 路灯高10米，小红站在A、B两个不同位置，形成影子，
由于是中心投影，影子长度与小红到路灯的水平距离有关，
根据示意图理解，位置B位于远离路灯的位置，而位置A较近，因此，B的影子更长，
故答案为：C.
【分析】 根据中心投影的特点，物体离光源越远，影子越长， 可得出小红在位置B的影子比在位置A的更长， 即可解答.
2．【答案】B
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：A，C，D属于平行投影；B属于中心投影，
故答案为：B.
【分析】依据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影；即可解得.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：A.根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意；
B. 根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意；
C. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意；
D. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意；
故选：D．
【分析】根据位似图形的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由投影得，由相似性质得，求得．
5．【答案】D
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设投影的面积为cm，
根据位似可得，
解得，
故选：D．
【分析】利用位似图形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可.
6．【答案】250
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
【分析】根据位似图形求出位似比，然后利用面积比等于位似比的平方解答即可．
7．【答案】L，K
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：根据平行投影和中心投影的定义知，
字母L，K，N均为中心投影，
故与字母N属同一种投影的有字母L，K，
故答案为∶ L，K．
【分析】根据平行投影和中心投影的定义即可求出答案.
8．【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图所示，光线、相交于点，所以此光源下形成的投影是中心投影．
故答案为：中心投影．
【分析】利用中心投影的定义（在同一时刻同一光源下，物体的长度与影长成比例）分析求解即可.
9．【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
10．【答案】3
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案为：3．
【分析】根据给出的两个物高与影长的比相等即可确定光源的位置.
11．【答案】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴，
又∵CD＝EF，
∴，
∵DF＝3m，FG＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴，
解得AB＝6．
答：路灯杆AB的高度是6m．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影；相似比
【解析】【分析】本题首先确定△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，然后列出相似比，然后根据CD＝EF，即可求出DF、FG、BD、BF的长度，最后列式即可求出AB的长度。
12．【答案】∵树高：影子长=灯与树距离：灯与墙的距离，
∴1：影子长=5：15，解得，影子长=3m.
【知识点】中心投影
【解析】【分析】根据中心投影的概念，列出比例式求解.
13．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，∴．∴灯泡的高为4m．
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求；
（2）影长与高度成正比，据此求解。
14．【答案】（1）中心投影
（2）解：
由题意得：，，
，，
，即，
解得：
答：路灯的高度OP为5m．
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【解答】解：（1）∵此光源是点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】（1）利用中心投影的定义分析求解即可；
（2）先证出，可得，再将数据代入可得，再求出OP的长即可.
15．【答案】（1）解：连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）解：在△CAB和△CPO中，∵∠C=∠C，∠ABC=∠POC=90°，∴△CAB∽△CPO，∴ ，∴ ，∴BC=2m，∴小亮影子的长度为2m.
【知识点】相似三角形的实际应用；中心投影
【解析】【分析】（1）根据中心投影的性质画出小亮的影子即可；（2）△CAB和△CPO相似，根据相似三角形的性质，列出比例方程，即可求出影子的长度BC。
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