第六章《反比例函数》B卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
4．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
5．（2019·鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数 与 (k为常数，且k≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
7．（2023·湘西）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图象经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
9．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九下·大庆期末）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
12．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是 .
13．（2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa.
14．（2021·宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为 .
15．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
16．（2015·金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·达州） 如图，直线与双曲线交于点，点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．
18．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
19．（2025·广安） 如图，一次函数 为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-8，1)，点 B 的坐标是 (n，-4).
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 根据函数图象直接写出关于 x 的不等式的解集.
20．（2024·巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
21．（2025·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
22．（2024·宜宾）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
23．（2024·济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
24．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再根据反比例函数图象上点的坐标特点求解即可.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
A、当时，，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、当时，，C不符合题意；
D、当时，，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题结合函数图象即可求解。
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】A、反比例函数的k大于零，而一次函数的k小于零，k值不一致，故A不符合题意。
B、反比例函数的k大于零，一次函数的k大于零，k值一致，但一次函数的函数值随着x增大而增大，与所给函数不一致，故B不符合题意。
C、反比例函数的k大于零，一次函数的k大于零，k值一致，一次函数的函数值随着x增大而减小，与所给函数一致，故C符合题意。
D、反比例函数的k小于零，一次函数的k大于零，k值不一致，故D不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质分别分析判断。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=3＞0，
∴图象分支在第一、三象限，故A不符合题意；
B、∵x≠0，y≠0，
∴图象与坐标轴没有公共点，故B不符合题意；
C、∵k＞0，
∴图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 ，故C符合题意；
D、∵当点（a，a+2）时，
∴a（a+2）=3，
解之：a1=-3，a2=1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用反比例函数的图象和性质，可对A，C作出判断；根据反比例函数与坐标轴无交点，可对B作出判断；将点（a，a+2）代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对C周长判定.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：延长BA交y轴于点D，
∵轴，
∴AD⊥y轴，
∵ 点A在函数的图象上，
∴，
∵ 点B在函数的图象上， 轴于点C，AD⊥y轴，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数中的k的几何意义求出和，再计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A在y轴的正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，
∴可设B（3，a），则D（1，a+2）.
∵反比例函数y=的图象经过点B，D，
∴3a=a+2，
∴a=1，
∴B（3，1），
∴k=3×1=3.
故答案为：C.
【分析】由题意可设B（3，a），则D（1，a+2），根据反比例函数y=的图象经过点B，D可得3a=a+2，求出a的值，得到点B的坐标，进而可求出k的值.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
11．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
12．【答案】(-1，-1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将x=1分别代入正比例函数与反比例函数解析式得y=a=2-a，得a=1，故点A(1，1)
正比例函数与反比例函数都是关于(0，0)对称的函数，故点A、B关于原点对称，故B(-1，-1).
故答案为：(-1，-1) .
【分析】令x=1得a=2-a，即a的值，根据函数的对称性知A、B的对称性，即可得点B的坐标.
13．【答案】16000
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，
∴设，
∵ 当V=1.2m3时，p=20000Pa，
∴k=1.2×20000=24000，
∴，
当v=1.5时，
故答案为：16000.
【分析】利用已知设。将已知v、p的值代入求出k的值，可得到p与v的函数解析式，再将v代入函数解析式求出p的值.
14．【答案】 或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，
∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图象上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 .
【分析】设点A的坐标为 ，由“倒数点”的m定义，则点B为 ，则知点B在某个反比例函数图象上，然后分两种情况讨论：即①当点B在ED上，由ED∥x轴，根据点A与点B的纵坐标相同构建方程求解，然后求点B的坐标，再求 的面积即可；②当点B在DC上，根据点B与点C的横坐标相同构建方程求解，再求出点B的坐标，然后求 的面积.
15．【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
16．【答案】（12， ）
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD= =10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y= 上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y= 上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1= ，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12， ）．
故答案为：（12， ）．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y= （x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
17．【答案】（1）解：∵双曲线 经过点A(2，2)， B(-4，a)， ∴m=2×2=4=-4a， ∴a=-1，
∴B(-4，-1)， 反比例函数解析式为：
∵直线y= kx+b(k≠0)经过点A(2，2)， 点B(-4，-1)，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）解：∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为(3，0)或(-3，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】 （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）以OP为底，A的纵坐标为高，表示出三角形面积，从而求得OP长，进而表示出P坐标.
18．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
19．【答案】（1）解： 把点A(-8，1)代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点B(n，-4)代入，得：，
∴B(2，-4)，
把A(-8，1)，B(2，-4)代入
得，
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为：或，
∴关于 x 的不等式的解集为或.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，可得到反比例函数解析式及点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，观察图象，可得到关于 x 的不等式的解集.
20．【答案】（1）解：把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）解：∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
设直线OB为y=kx，将点B(-3，-1)代入
得-3k=-1
∴
∴OB的解析式为，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把x＝1代入y＝x+2算出对应的函数值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数算出k的值，从而得到反比例函数的解析式，进而联立反比例函数与一次函数的解析式组成的方程组，求解可得点B的坐标；
（2）根据同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系得P是AB的中点，由中点坐标公式可得P（﹣1，1）；用待定系数法求出直线OB的解析式；根据垂线段最短得当PM取得最小值时，PM⊥OB，由互相垂直的直线比例系数k的乘积为-1可设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，再将点P的坐标代入算出b的值，从而得到直线PM的解析式，进而联立直线PM与OB求解可得点M的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式可算出PM的值.
21．【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）或
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1)将代入，可求得反比例函数解析式为：，即可得，再将，代入即可得一次函数解析式为：，解答即可；
（2）由，观察图像 则一次函数的图象在反比例函数图象下方，即可写出x的取值范围，解答即可；
（3）现根据函数的解析式得到，设表示出 由的面积为18，建立关系求解得到t的值，可得到C的坐标，即可解答.
22．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A(1，4)，
∴k=1×4=4，
∴.
∵反比例函数的图象经过点B(n，-1)，
∴，
∴n=﹣4.
∴B（-4，-1）.
∵ 一次函数的图象经过点A(1，4)和B(-4，-1)，
∴
解得：
∴y=x+3.
（2）解：由图象可知，x＜-4或0故不等式的解集为 x＜-4或0（3）设点C的坐标为：，点D(x，0)，
∵A(1，4)，B（-4，-1），
当AB为对角线时：由中点坐标公式得：
解得：，则点；
当AC为对角线时，，
解得：，则点；
AD为对角线时，
解得：，则点；
综上，点C的坐标为：或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；同一自变量下，函数值大的函数的图象位于函数值小的函数的图象的上方；
（3）点C的坐标为：，点D(x，0)，设根据平面直角坐标系中平行四边形的性质，对角线的交点即对角线的中点，再分①AB为对角线，②AC为对角线，③AD为对角线时，由中点坐标公式得同一个中点的纵坐标，从而到关于m的方程，求解即可.
23．【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）解：设点B（n，3n），
如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
∴EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（2，a）代入y＝3x可算出a的值，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入 可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形的性质可设点B（m，3m），根据BD=3得点D（m+3，3m），然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值建立方程可求出符合题意的m的值，从而求出点B的坐标；
（3）设点B（n，3n），过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，由旋转的性质得∠ABE＝90°，BE＝BA，由同角的余角相等得∠BEH＝∠ABF，从而由AAS判断出△EHB≌△BFA，得EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，然后用含n的式子表示出点E的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程可求出符合题意的n的值，从而得到点E的坐标.
24．【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
1 / 1第六章《反比例函数》B卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·重庆市）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，再根据反比例函数图象上点的坐标特点求解即可.
2．（2025·天津市）若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
3．（2025·长春）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
把 代入解析式得：
解得：
∴功率P(单位：w)与做功的时间t(单位：s)的函数解析式为
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当 时，
当 时，
故答案为：C.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当 和 时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案.
4．（2023·潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：
A、当时，，A不符合题意；
B、当时，，B符合题意；
C、当时，，C不符合题意；
D、当时，，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题结合函数图象即可求解。
5．（2019·鄂州）在同一平面直角坐标系中，函数 与 (k为常数，且k≠0)的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】A、反比例函数的k大于零，而一次函数的k小于零，k值不一致，故A不符合题意。
B、反比例函数的k大于零，一次函数的k大于零，k值一致，但一次函数的函数值随着x增大而增大，与所给函数不一致，故B不符合题意。
C、反比例函数的k大于零，一次函数的k大于零，k值一致，一次函数的函数值随着x增大而减小，与所给函数一致，故C符合题意。
D、反比例函数的k小于零，一次函数的k大于零，k值不一致，故D不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质分别分析判断。
6．（2023·武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=3＞0，
∴图象分支在第一、三象限，故A不符合题意；
B、∵x≠0，y≠0，
∴图象与坐标轴没有公共点，故B不符合题意；
C、∵k＞0，
∴图象所在的每一个象限内，随的增大而减小 ，故C符合题意；
D、∵当点（a，a+2）时，
∴a（a+2）=3，
解之：a1=-3，a2=1，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用反比例函数的图象和性质，可对A，C作出判断；根据反比例函数与坐标轴无交点，可对B作出判断；将点（a，a+2）代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对C周长判定.
7．（2023·湘西）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示：延长BA交y轴于点D，
∵轴，
∴AD⊥y轴，
∵ 点A在函数的图象上，
∴，
∵ 点B在函数的图象上， 轴于点C，AD⊥y轴，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数中的k的几何意义求出和，再计算求解即可。
8．（2023·绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图象经过点B，D，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A在y轴的正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，BC=2，点D在AC上，且其横坐标为1，
∴可设B（3，a），则D（1，a+2）.
∵反比例函数y=的图象经过点B，D，
∴3a=a+2，
∴a=1，
∴B（3，1），
∴k=3×1=3.
故答案为：C.
【分析】由题意可设B（3，a），则D（1，a+2），根据反比例函数y=的图象经过点B，D可得3a=a+2，求出a的值，得到点B的坐标，进而可求出k的值.
9．（2024·宿迁）如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，
设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)，
∴，
解得：，
∴直线OA的表达式为，
令，
解得：，
∴，
∵AO=AC，AD⊥x轴，
∴OC=2OD=2a，
∵，
∴，
解得：k=4，
故答案为：C.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可.
10．（2024·长春）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A（4，2）在函数y（k＞0，x＞0）的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y（k＞0，x＞0）的图象交于点C．若BC，则点B的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入
∴．
∴反比例函数的解析式为，
设直线OA的解析式为，
把代入
得：2=4k，解得：，
∴直线OA的解析式为，
设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，
∴，直线OB 解析式为，
点C在反比例函数图象上，设，代入，
得，即
过点y轴于点H，如图：
∴
在△BCH中，由勾股定理得：
即：
解得：a=2，代入得，
解得：m=3
∴
故答案为：B．
【分析】由待定系数法求得反比例函数解析式，直线OA的解析式为，设直线OA沿y 轴向上平移m个单位长度，得，直线OB 解析式为，设，代入，得到，过点y轴于点H，在△BCH中，由勾股定理得：，即：，解得a=2，进而得出m=3，即可得到答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024九下·大庆期末）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是 ．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
12．（2025·深圳） 如图所示，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数交于A，B两点，若A的横坐标为1，则B点坐标是 .
【答案】(-1，-1)
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将x=1分别代入正比例函数与反比例函数解析式得y=a=2-a，得a=1，故点A(1，1)
正比例函数与反比例函数都是关于(0，0)对称的函数，故点A、B关于原点对称，故B(-1，-1).
故答案为：(-1，-1) .
【分析】令x=1得a=2-a，即a的值，根据函数的对称性知A、B的对称性，即可得点B的坐标.
13．（2025·连云港）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数.当V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m3时，p= Pa.
【答案】16000
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵ 气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，
∴设，
∵ 当V=1.2m3时，p=20000Pa，
∴k=1.2×20000=24000，
∴，
当v=1.5时，
故答案为：16000.
【分析】利用已知设。将已知v、p的值代入求出k的值，可得到p与v的函数解析式，再将v代入函数解析式求出p的值.
14．（2021·宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数点”.如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为 .
【答案】 或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，
∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图象上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 .
【分析】设点A的坐标为 ，由“倒数点”的m定义，则点B为 ，则知点B在某个反比例函数图象上，然后分两种情况讨论：即①当点B在ED上，由ED∥x轴，根据点A与点B的纵坐标相同构建方程求解，然后求点B的坐标，再求 的面积即可；②当点B在DC上，根据点B与点C的横坐标相同构建方程求解，再求出点B的坐标，然后求 的面积.
15．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．
【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
16．（2015·金华）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是 ．
【答案】（12， ）
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD= =10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y= 上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y= 上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1= ，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12， ）．
故答案为：（12， ）．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y= （x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM= = = ，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·达州） 如图，直线与双曲线交于点，点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵双曲线 经过点A(2，2)， B(-4，a)， ∴m=2×2=4=-4a， ∴a=-1，
∴B(-4，-1)， 反比例函数解析式为：
∵直线y= kx+b(k≠0)经过点A(2，2)， 点B(-4，-1)，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）解：∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为(3，0)或(-3，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】 （1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）以OP为底，A的纵坐标为高，表示出三角形面积，从而求得OP长，进而表示出P坐标.
18．（2025·白银）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象交于点B（-1，a）.将一次函数的图象向下平移m（m>0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值.
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将点坐标代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴于，
∵一次函数的图象交轴于点，
∴，
∵，
∴，
又∵的面积为3，
∴，
∴，
∵将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点，
∴平移后的一次函数表达式为，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将点坐标代入一次函数表达式中求出的值，从而得，进而利用待定系数法求出反比例函数的表达式；
（2）过点作轴于，先求出，由点坐标得，然后利用三角形面积公式得，根据一次函数的平移变换规律得平移后的一次函数表达式，从而得，进而即可求出的值.
19．（2025·广安） 如图，一次函数 为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标是 (-8，1)，点 B 的坐标是 (n，-4).
（1） 求一次函数和反比例函数的解析式.
（2） 根据函数图象直接写出关于 x 的不等式的解集.
【答案】（1）解： 把点A(-8，1)代入，得：，
∴反比例函数的解析式为，
把点B(n，-4)代入，得：，
∴B(2，-4)，
把A(-8，1)，B(2，-4)代入
得，
解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为：或，
∴关于 x 的不等式的解集为或.
【分析】（1）将点A、B的坐标代入反比例函数解析式可求出m、n的值，可得到反比例函数解析式及点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A、B的横坐标，观察图象，可得到关于 x 的不等式的解集.
20．（2024·巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
【答案】（1）解：把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）解：∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
设直线OB为y=kx，将点B(-3，-1)代入
得-3k=-1
∴
∴OB的解析式为，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（，），
∴PM的最小值为：．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把x＝1代入y＝x+2算出对应的函数值，可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数算出k的值，从而得到反比例函数的解析式，进而联立反比例函数与一次函数的解析式组成的方程组，求解可得点B的坐标；
（2）根据同高三角形面积之间的关系就是底之间的关系得P是AB的中点，由中点坐标公式可得P（﹣1，1）；用待定系数法求出直线OB的解析式；根据垂线段最短得当PM取得最小值时，PM⊥OB，由互相垂直的直线比例系数k的乘积为-1可设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，再将点P的坐标代入算出b的值，从而得到直线PM的解析式，进而联立直线PM与OB求解可得点M的坐标，最后根据平面内两点间的距离公式可算出PM的值.
21．（2025·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围；
（3）点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
【答案】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：
（2）或
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或
故答案为：或.
【分析】(1)将代入，可求得反比例函数解析式为：，即可得，再将，代入即可得一次函数解析式为：，解答即可；
（2）由，观察图像 则一次函数的图象在反比例函数图象下方，即可写出x的取值范围，解答即可；
（3）现根据函数的解析式得到，设表示出 由的面积为18，建立关系求解得到t的值，可得到C的坐标，即可解答.
22．（2024·宜宾）如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点A(1，4)，
∴k=1×4=4，
∴.
∵反比例函数的图象经过点B(n，-1)，
∴，
∴n=﹣4.
∴B（-4，-1）.
∵ 一次函数的图象经过点A(1，4)和B(-4，-1)，
∴
解得：
∴y=x+3.
（2）解：由图象可知，x＜-4或0故不等式的解集为 x＜-4或0（3）设点C的坐标为：，点D(x，0)，
∵A(1，4)，B（-4，-1），
当AB为对角线时：由中点坐标公式得：
解得：，则点；
当AC为对角线时，，
解得：，则点；
AD为对角线时，
解得：，则点；
综上，点C的坐标为：或或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；同一自变量下，函数值大的函数的图象位于函数值小的函数的图象的上方；
（3）点C的坐标为：，点D(x，0)，设根据平面直角坐标系中平行四边形的性质，对角线的交点即对角线的中点，再分①AB为对角线，②AC为对角线，③AD为对角线时，由中点坐标公式得同一个中点的纵坐标，从而到关于m的方程，求解即可.
23．（2024·济南）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
【答案】（1）解：将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）解：设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）解：设点B（n，3n），
如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
∴EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（2，a）代入y＝3x可算出a的值，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入 可求出k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）根据点的坐标与图形的性质可设点B（m，3m），根据BD=3得点D（m+3，3m），然后根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值建立方程可求出符合题意的m的值，从而求出点B的坐标；
（3）设点B（n，3n），过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，由旋转的性质得∠ABE＝90°，BE＝BA，由同角的余角相等得∠BEH＝∠ABF，从而由AAS判断出△EHB≌△BFA，得EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，然后用含n的式子表示出点E的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特点建立方程可求出符合题意的n的值，从而得到点E的坐标.
24．（2025·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
（1）求k的值；
（2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
（3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）连接，设点D的坐标为，根据勾股定理求出m值，即可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式即可；
（3）设点E的坐标为，求出直线AE的解析式，即可得到点P的坐标，利用△BEP的面积求出t值即可解题.
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