第六章《反比例函数》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·河北）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
3．（2023·恩施）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·潍坊）如图，函数 与 的图象相交于点 两点，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
7．（2024·大庆）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
10．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k= .
12．（2023·荆州）如图，点A（2，2）在双曲线上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C. 若BC=2，则点C的坐标是 ．
13．（2023·陕西）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
14．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
15．（2025八下·东阳期末） 如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，并交AB于点D，已知点D是AB的中点，连结OD，CD，若△OCD的面积为3，则k的值为 ．
16．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则的值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点A(3，4)，连接OB、OB与反比例函数图象交于点D.
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线OB的解析式和点D的坐标.
18．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
19．（2025·陇南模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
20．（2024九上·澧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
21．（2024·广元） 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
22．（2024·雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接，当的值最小时，求点的坐标．
23．（2024·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上.
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称.若有且只有一点，使得与相似，求的值.
24．（2024·广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4>0
∴当x>0时，y随x的增大而减小
∴当y=2时，x=2
当y=4时，x=1
∴x的范围为
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：中，
双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大
故选：C.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小；反之，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据杠杆原理可得，F×L=25×9.8，
∵ 以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系，
∴FL=245，
∴F是L的反比例函数，故A、D选项不符合题意；
∵7×35=245，而5×45=225，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据杠杆原理得出F关于L的函数关系式，根据F与L的乘积是一个定值可得F是L的反比例函数，进而根据反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的乘积一定等于比例系数k可判断各数对是否满足函数解析式，从而即可一 一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象相交于点 两点，
∴不等式 的解集为： 或 ，
故答案为：D．
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，-k＜0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、三、四象限，
函数的图象分布在第一、二象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
当k＜0时，-k＞0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、二、四象限，
函数的图象分布在第三、四象限，故A、B选项都不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、二象限，当k＜0时，图象的两支分布在三、四象限，据此分k为＞0与k＜0两种情况求解即可.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y（k＜0），
∴图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，
∴y2＞y1＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数y的性质，当k＜0时在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k＞0时在每一个象限内，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，据此可得到y1，y2，y3的大小关系 .
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点A，
由题意可知点B，点D，点C，
∴S2=S4=1，S1=k，S3=，
∵，
∴，
解之：k=2.
故答案为：C
【分析】设点A，利用函数解析式，分别表示出点B，D，C的坐标，由此可得到S2=S4=1，S1=k，S3=，再根据已知可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
11．【答案】-2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 图象过点（-2，1），
∴k=-2×1=-2
故答案为：-2.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
12．【答案】（，）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵A（2，2）在y=上，
∴k=4，
∴y=.
作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，
∵A（2，2），
∴AD=OD，
∴∠AOD=45°.
∵OA∥BC，
∴∠CBG=45°，
∴∠CBG=∠BCG.
∵BC=2，
∴BG=CG=，
∴点C的横坐标为.
将x=代入y=中可得y=，
∴C（，）.
故答案为：（，）.
【分析】将A（2，2）代入y=中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，由点A的坐标可得AD=OD，则∠AOD=45°，根据平移的性质以及平行线的性质可得∠CBG=45°，则BG=CG=，将x=代入y=中求出y的值，据此可得点C的坐标.
13．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形 是矩形， ，
，
，，
点，在同一个反比例函数的图象上，
，
(舍去)，，
，
反比例函数的表达式 为，
故答案为：.
【分析】先根据矩形、正方形的性质设点坐标，再利用反比例函数的性质求出k的值.
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
15．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，
∵点C、D在反比例函数图象上
∴S△COE=S△DOF，
∴S△COD=S梯形EFDC=3
∵点D是AB的中点，
∴DF是△ABG的中位线
∴，
设C(m，2n)，则D(2m，n)，
∴EF=m，
∴，
∴mn=2，
∴k=2mn=4.
故答案为：4.
【分析】作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，根据反比例函数的几何意义可知：S△COD=S梯形EFDC=3，设C(m，2n)，则D(2m，n)，根据梯形面积公式代入运算即可求得k的值.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，
由旋转的性质知OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，
∵A'是OB中点，
∴AA'=OB=OA'=OA，
∴AOA'是等边三角形，
∴∠AOB= 60°，
∴OB=2OA=2，∠A'OB'= 60° ，
∴OB'=2，∠ B'OE= 60°，
∴OE=OB'=1，
∴B'E=OE=，
∴B'(1，)
∵B'在反比例函数y=(k>0，x>0) 的图象上，
∴k=1x=.
故答案为： .
【分析】连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，由旋转得性质得到OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，由直角三角形斜边的中线的性质得到AA'=OB=OA'=OA，即可判定AOA'是等边三角形，利用等边三角形的性质计算可得B'(1，)，利用待定系数法把B'代入解析式即可解得k的值，求解即可解答.
17．【答案】（1）解：把A(3，4)代入得k=3×4=12，
（2）∵A(3，4)，
∴OA=5.
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
∴B(8，4).
设直线OB的解析式为：y=mx(m≠0)，把B(8，4)代入得
∴直线OB的解析式为：
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式
解得或
∵x>0，
∴D(2，).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据菱形的性质求出点B的坐标，代入得到OB的解析式，联立直线和双曲线的解析式求出交点D的坐标.
18．【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
19．【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4，点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A(2，3)分别代入 与y=mx+1算出k及m的值，即可得到反比例函数及一次函数的解析式；
（2）由已知条件求出点C，根据点的坐标与图形性质可得点B、D的横坐标都是4，从而将x=4分别代入（1）所求的反比例函数与一次函数的解析式算出对应的函数值可得点B及点D的坐标；过点B作BE∥x轴交一次函数的图象交于点E，过点A作AF⊥BE与点F，利用两点之间的距离公式分别求出BD，BE，AF的值，最后根据即可求出答案．
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
20．【答案】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象直接找出直线在双曲线上方时对应在自变量的取值范围即可．
（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
21．【答案】（1）解：∵反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点
，
，
点，，
，
，
把，，代入，
得，
解得，
；
（2）解： 当时 ，或
（3）解：若与轴相交于点，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
【解析】（1）先根据反比例函数图象上任意两点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可列出方程，求得a=3，进一步利用待定系数法求得两个函数的解析式；
（2）找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）根据直线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，进而利用即可求得．
22．【答案】（1）解：∵M（，4）在反比例函数的图象上，
∴k=×4=2，
∴ 反比例函数的表达式为：；
又∵N（n，1）在反比例函数的图象上，
∴n=2，即N（2，1），
设一次函数的表达式为：y=ax+b，
∴，
解得：a=-2，b=5，
∴一次函数的表达式为：y=-2x+5.
（2）解：如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
由（1）得：直线l为：y=-2x+5，
∴直线l与x、y轴的交点A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，5），
∴OA=，OB=5，
∴S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM=×OA×OB-×OA×yN-×OB×xM
=××5-××1-×5×=.
（3）解：如图，作点M关于y轴的对称点M ，连接M N交y轴于点P，则PM+PN的最小值就是M N的长，
∵M（，4）与M 关于y轴对称，
∴M 为（-，4），
设直线M N的表达式为：y=mx+n，
∵N（2，1），
∴，解得：，
∴直线M N的表达式为：，
∴直线M N与y轴的交点P的坐标为P（0，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）由题意把点M的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，于是可得反比例函数的解析式；把点N的坐标代入反比例函数的解析式可求得n的值，然后用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，然后根据三角形OMN的构成S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM可求解；
（3）作点M关于y轴的对称点M ，连接M N交y轴于点P，则PM+PN的最小值就是M N的长.
23．【答案】（1）解：将点A（2，a）代入y=2x，得2×2=a，
∴a=4，
∴A（2，4）；
将点A（2，4）代入y=-x+m得-2+m=4，
∴m=6，
∴ 一次函数的解析式为y=-x+6；
令y=-x+6中的y=0得-x+6=0，
解得x=6，
∴B（6，0），
∴b=6；
（2）解：∵点C在反比例函数图象上，
∴设，
由（1）知A（2，4），B（6，0），O（0，0），
分类讨论：
①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，
∴，
解得符合题意，
∴C（4，-4）；
②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，
∴
解得符合题意，
∴C（-4，-4）；
③当CO、AB为平行四边形的对角线时，CO与AB的中点重合，
∴
解得，不符合题意，
综上所述点C的坐标为（-4，4，）或（4，-4），k=-16；
（3）解：如图，
设直线AC的解析式为y=px+q，把A（2，4）代入得2p+q=4，
∴q=4-2p，
∴直线AC的解析式为y=px+4-2p，
令y=px+4-2p中的y=0，得，
，
∵点E与点D关于y轴对称，
，
∵B（6，0），
，，
∵△ABD与△ABE相似，
∴点E只能在B左侧，
∴∠ABE=∠DBA，
∴△ABD与△ABE相似，只需要，即，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2=(2-6)2+(4-0)2=32，
，
解得p=1，
经检验，p=1满足题意；
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∵ 有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数图象只有一个交点，
∴只有一个解，
即x2+2x-k=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4k=0，
解得k=1，
∴k得值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入正比例函数y=2x，可求出a的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=-x+m可算出m的值，从而得到一次函数的解析式；令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标，从而此题得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点设，分类讨论：①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，③当CO、AB为平行四边形的对角线时，CO与AB的中点重合，分别结合中点坐标公式建立方程组，求解并检验即可得出符合题意得点C的坐标及k的值；
（3）利用待定系数法结合点A的坐标求出直线AC的解析式为y=px+4-2p，令直线AC解析式中y=0算出对应自变量x的值可得点D的坐标，进而根据关于y轴对称的点的坐标特点可得点E的坐标，根据平面内两点间的距离公式表示出BE、BD；由△ABD与△ABE相似，得点E只能在B左侧，故∠ABE=∠DBA，则△ABD与△ABE相似，只需要，即，据此建立方程可求出p=1得到直线AC的解析式，根据有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，可得直线AC与反比例函数图象只有一个交点，则联立两函数解析式得到关于字母x的方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可建立方程求解即可.
24．【答案】（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.
1 / 1第六章《反比例函数》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·河北）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4>0
∴当x>0时，y随x的增大而减小
∴当y=2时，x=2
当y=4时，x=1
∴x的范围为
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
2．（2025·浙江）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：中，
双曲线的两个分支分别在第二和第四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大
故选：C.
【分析】对于反比例函数，当时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而减小；反之，当时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，且在每一个分支内，y都随x的增大而增大.
3．（2023·恩施）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据杠杆原理可得，F×L=25×9.8，
∵ 以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系，
∴FL=245，
∴F是L的反比例函数，故A、D选项不符合题意；
∵7×35=245，而5×45=225，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据杠杆原理得出F关于L的函数关系式，根据F与L的乘积是一个定值可得F是L的反比例函数，进而根据反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的乘积一定等于比例系数k可判断各数对是否满足函数解析式，从而即可一 一判断得出答案.
4．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，，两点在坐标轴上，四边形是面积为的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：反比例函数图象的一个分支在第一象限，
当时，随的增大而减小
当时，
时，
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的几何意义结合图象的大体位置知，则在每一个分支内，随的增大而减小，则当时，.
5．（2025·宜宾）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】
解：如图所示，过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴
解得x=
∴OD=.
∵AD⊥x，BE⊥x，
∴AD//BE，
∴
∵AB=3AC，
∴3=，即DE=3，
∴OE=2+3 =4，
∴将x=4代入y=-=，
∴BE=，
∴OB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥x轴交于点D，过点B作BE⊥x轴交于点E，首先联立求解x得到 OD=. 然后由AD// BE得到，求出DE= 3，再代入y=-中，求出BE=，然后利用勾股定理求解即可解答.
6．（2020·潍坊）如图，函数 与 的图象相交于点 两点，则不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵函数 与 的图象相交于点 两点，
∴不等式 的解集为： 或 ，
故答案为：D．
【分析】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
7．（2024·大庆）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，-k＜0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、三、四象限，
函数的图象分布在第一、二象限，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
当k＜0时，-k＞0，
∴ 函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象经过一、二、四象限，
函数的图象分布在第三、四象限，故A、B选项都不符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；对于反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、二象限，当k＜0时，图象的两支分布在三、四象限，据此分k为＞0与k＜0两种情况求解即可.
8．（2024·济宁）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数y（k＜0），
∴图象经过二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上，
∴y2＞y1＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数y的性质，当k＜0时在每一个象限内，y随x的增大而增大；当k＞0时在每一个象限内，y随x的增大而减小，利用三个点的横坐标，可得到：y2＞y1＞0，y3＜0，据此可得到y1，y2，y3的大小关系 .
9．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
10．（2023·广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点A，
由题意可知点B，点D，点C，
∴S2=S4=1，S1=k，S3=，
∵，
∴，
解之：k=2.
故答案为：C
【分析】设点A，利用函数解析式，分别表示出点B，D，C的坐标，由此可得到S2=S4=1，S1=k，S3=，再根据已知可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·福建）若反比例函数 的图象过点，则常数 k= .
【答案】-2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解： 图象过点（-2，1），
∴k=-2×1=-2
故答案为：-2.
【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.
12．（2023·荆州）如图，点A（2，2）在双曲线上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C. 若BC=2，则点C的坐标是 ．
【答案】（，）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵A（2，2）在y=上，
∴k=4，
∴y=.
作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，
∵A（2，2），
∴AD=OD，
∴∠AOD=45°.
∵OA∥BC，
∴∠CBG=45°，
∴∠CBG=∠BCG.
∵BC=2，
∴BG=CG=，
∴点C的横坐标为.
将x=代入y=中可得y=，
∴C（，）.
故答案为：（，）.
【分析】将A（2，2）代入y=中可得k的值，据此可得反比例函数的解析式，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，BG⊥CH，由点A的坐标可得AD=OD，则∠AOD=45°，根据平移的性质以及平行线的性质可得∠CBG=45°，则BG=CG=，将x=代入y=中求出y的值，据此可得点C的坐标.
13．（2023·陕西）如图，在矩形和正方形中，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，点在边上，，若点，在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形 是矩形， ，
，
，，
点，在同一个反比例函数的图象上，
，
(舍去)，，
，
反比例函数的表达式 为，
故答案为：.
【分析】先根据矩形、正方形的性质设点坐标，再利用反比例函数的性质求出k的值.
14．（2023·长沙）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵的面积为，
∴，
故答案为：
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
15．（2025八下·东阳期末） 如图，反比例函数的图象经过 OABC的顶点C，并交AB于点D，已知点D是AB的中点，连结OD，CD，若△OCD的面积为3，则k的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，
∵点C、D在反比例函数图象上
∴S△COE=S△DOF，
∴S△COD=S梯形EFDC=3
∵点D是AB的中点，
∴DF是△ABG的中位线
∴，
设C(m，2n)，则D(2m，n)，
∴EF=m，
∴，
∴mn=2，
∴k=2mn=4.
故答案为：4.
【分析】作CE⊥x轴，DF⊥x轴，BG⊥x轴，垂足分别为E、F、G，根据反比例函数的几何意义可知：S△COD=S梯形EFDC=3，设C(m，2n)，则D(2m，n)，根据梯形面积公式代入运算即可求得k的值.
16．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数图象上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，
由旋转的性质知OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，
∵A'是OB中点，
∴AA'=OB=OA'=OA，
∴AOA'是等边三角形，
∴∠AOB= 60°，
∴OB=2OA=2，∠A'OB'= 60° ，
∴OB'=2，∠ B'OE= 60°，
∴OE=OB'=1，
∴B'E=OE=，
∴B'(1，)
∵B'在反比例函数y=(k>0，x>0) 的图象上，
∴k=1x=.
故答案为： .
【分析】连接AA'，作B'E⊥x轴于点 E，由旋转得性质得到OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'， OB= OB'，由直角三角形斜边的中线的性质得到AA'=OB=OA'=OA，即可判定AOA'是等边三角形，利用等边三角形的性质计算可得B'(1，)，利用待定系数法把B'代入解析式即可解得k的值，求解即可解答.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点A(3，4)，连接OB、OB与反比例函数图象交于点D.
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线OB的解析式和点D的坐标.
【答案】（1）解：把A(3，4)代入得k=3×4=12，
（2）∵A(3，4)，
∴OA=5.
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
∴B(8，4).
设直线OB的解析式为：y=mx(m≠0)，把B(8，4)代入得
∴直线OB的解析式为：
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式
解得或
∵x>0，
∴D(2，).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据菱形的性质求出点B的坐标，代入得到OB的解析式，联立直线和双曲线的解析式求出交点D的坐标.
18．（2025·眉山）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把A(1，4)代入得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为，
把B(4，m)代入得m=1，
∴点B的坐标为(4，1)，
把(1，4)和(4，1)代入y=ax+b得：
，解得，
∴一次函数的解析式为
（2）解：令y=0，则-x+5=0，解得x=5，
∴点C的坐标为(5，0)，即OC=5，
∵点A的坐标为(1，4)，且 点D与点A关于点O对称，
∴，
当△AOC∽△POD时，
则，即，
解得OP=，
∴点P的坐标为；
当△AOC∽△DOP时，
则，即，
解得OP=5，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）求出点C的坐标，即可得到OC=5，然后根据勾股定理求出OA=OD的长，再分为△AOC∽△POD或△AOC∽△DOP两种情况，利用对应边成比例解答即可.
19．（2025·陇南模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4，点D的横坐标为4，
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A(2，3)分别代入 与y=mx+1算出k及m的值，即可得到反比例函数及一次函数的解析式；
（2）由已知条件求出点C，根据点的坐标与图形性质可得点B、D的横坐标都是4，从而将x=4分别代入（1）所求的反比例函数与一次函数的解析式算出对应的函数值可得点B及点D的坐标；过点B作BE∥x轴交一次函数的图象交于点E，过点A作AF⊥BE与点F，利用两点之间的距离公式分别求出BD，BE，AF的值，最后根据即可求出答案．
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
20．（2024九上·澧县期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
【答案】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）观察图象直接找出直线在双曲线上方时对应在自变量的取值范围即可．
（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
21．（2024·广元） 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点
，
，
点，，
，
，
把，，代入，
得，
解得，
；
（2）解： 当时 ，或
（3）解：若与轴相交于点，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
【解析】（1）先根据反比例函数图象上任意两点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可列出方程，求得a=3，进一步利用待定系数法求得两个函数的解析式；
（2）找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）根据直线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，进而利用即可求得．
22．（2024·雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一动点，连接，当的值最小时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵M（，4）在反比例函数的图象上，
∴k=×4=2，
∴ 反比例函数的表达式为：；
又∵N（n，1）在反比例函数的图象上，
∴n=2，即N（2，1），
设一次函数的表达式为：y=ax+b，
∴，
解得：a=-2，b=5，
∴一次函数的表达式为：y=-2x+5.
（2）解：如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
由（1）得：直线l为：y=-2x+5，
∴直线l与x、y轴的交点A、B的坐标分别为：A（，0），B（0，5），
∴OA=，OB=5，
∴S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM=×OA×OB-×OA×yN-×OB×xM
=××5-××1-×5×=.
（3）解：如图，作点M关于y轴的对称点M ，连接M N交y轴于点P，则PM+PN的最小值就是M N的长，
∵M（，4）与M 关于y轴对称，
∴M 为（-，4），
设直线M N的表达式为：y=mx+n，
∵N（2，1），
∴，解得：，
∴直线M N的表达式为：，
∴直线M N与y轴的交点P的坐标为P（0，）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）由题意把点M的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值，于是可得反比例函数的解析式；把点N的坐标代入反比例函数的解析式可求得n的值，然后用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，然后根据三角形OMN的构成S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM可求解；
（3）作点M关于y轴的对称点M ，连接M N交y轴于点P，则PM+PN的最小值就是M N的长.
23．（2024·成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上.
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称.若有且只有一点，使得与相似，求的值.
【答案】（1）解：将点A（2，a）代入y=2x，得2×2=a，
∴a=4，
∴A（2，4）；
将点A（2，4）代入y=-x+m得-2+m=4，
∴m=6，
∴ 一次函数的解析式为y=-x+6；
令y=-x+6中的y=0得-x+6=0，
解得x=6，
∴B（6，0），
∴b=6；
（2）解：∵点C在反比例函数图象上，
∴设，
由（1）知A（2，4），B（6，0），O（0，0），
分类讨论：
①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，
∴，
解得符合题意，
∴C（4，-4）；
②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，
∴
解得符合题意，
∴C（-4，-4）；
③当CO、AB为平行四边形的对角线时，CO与AB的中点重合，
∴
解得，不符合题意，
综上所述点C的坐标为（-4，4，）或（4，-4），k=-16；
（3）解：如图，
设直线AC的解析式为y=px+q，把A（2，4）代入得2p+q=4，
∴q=4-2p，
∴直线AC的解析式为y=px+4-2p，
令y=px+4-2p中的y=0，得，
，
∵点E与点D关于y轴对称，
，
∵B（6，0），
，，
∵△ABD与△ABE相似，
∴点E只能在B左侧，
∴∠ABE=∠DBA，
∴△ABD与△ABE相似，只需要，即，
∵A（2，4），B（6，0），
∴AB2=(2-6)2+(4-0)2=32，
，
解得p=1，
经检验，p=1满足题意；
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∵ 有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，
∴直线AC与反比例函数图象只有一个交点，
∴只有一个解，
即x2+2x-k=0有两个相等的实数根，
∴△=22+4k=0，
解得k=1，
∴k得值为1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）将点A（2，a）代入正比例函数y=2x，可求出a的值，从而得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=-x+m可算出m的值，从而得到一次函数的解析式；令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可得点B的坐标，从而此题得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点设，分类讨论：①当AC、BO为平行四边形的对角线时，AC与BO的中点重合，②当CB、AO为平行四边形的对角线时，CB与AO的中点重合，③当CO、AB为平行四边形的对角线时，CO与AB的中点重合，分别结合中点坐标公式建立方程组，求解并检验即可得出符合题意得点C的坐标及k的值；
（3）利用待定系数法结合点A的坐标求出直线AC的解析式为y=px+4-2p，令直线AC解析式中y=0算出对应自变量x的值可得点D的坐标，进而根据关于y轴对称的点的坐标特点可得点E的坐标，根据平面内两点间的距离公式表示出BE、BD；由△ABD与△ABE相似，得点E只能在B左侧，故∠ABE=∠DBA，则△ABD与△ABE相似，只需要，即，据此建立方程可求出p=1得到直线AC的解析式，根据有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，可得直线AC与反比例函数图象只有一个交点，则联立两函数解析式得到关于字母x的方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可建立方程求解即可.
24．（2024·广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.
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