第二十一章一元二次方程 章末综合检测试题 2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章一元二次方程 章末综合检测试题
2025-2026学年上期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
2．将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A．2，5 B．2， C．，5 D．，
3．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
4．若是关于x的一元二次方程的一个解，则常数k的值为（　　）
A．1或 B． C．1 D．
5．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值是( )
A．且 B．< C．且 D．
6．若方程的两个实数根为、，则的值为（ ）
A．7 B．3 C．－5 D．9
7．若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为（ ）
A．，9 B．，5 C．9，5 D．，或9，5
8．已知、是方程的两根，且，则的值等于
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）

A．2s B．3s C．5s或3s D．5s
10．把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ）
A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2
11．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
12．写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是 ．
13．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．
14．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ．
15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
16．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？”
17．如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是，若三位数是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是 ．
三、解答题
18．用合适的方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．若一元二次方程的右边被墨水污染▊．
(1)若方程的一个解为时，求“▊”的值；
(2)若“▊”表示，求．
20．已知关于的方程
(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根．
(2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值．
22．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
23．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．
(1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽；
(2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例：求多项式的最小值．
解：．因为所以
当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值；
(2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由；
(3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D B C D C B B
题号 11
答案 B
1．B
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3．
故选B．
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
2．B
【分析】将化为一般形式进行判断即可．
【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式，
∴一次项系数、常数项分别是2，，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形．
3．A
【分析】代入公式即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程根的判别式知识点的掌握．
4．D
【分析】将代入原方程，求出k的值，再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意得值，即可进行解答．
【详解】解：把代入原方程得：，
解得：，
∵该方程为一元二次方程，
∴，即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握“使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程方程的解”以及一元二次方程的二次项系数不为0．
5．B
【分析】根据方程没有实数根可得，结合二次项系数不等于0，即可得出答案.
【详解】由题意得，且，
解得
故选B.
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握时一元二次方程无实数根是解题的关键.
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：∵方程的两个实数根为、，
∴，，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键．
7．D
【分析】设较小的数为x，那么较大的数应该为，根据“积为45”可得出：，解方程即可求得这两个数．
【详解】解：设较小的数为x，根据题意得，
解得，．
那么这两个数就应该是5，9或，．
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．C
【详解】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
9．B
【分析】先求解，设运动时间为，可得，，再利用面积建立方程求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
设运动时间为，
∴，，
∵的面积为，即
，解得：，．
当时，，不成立，舍去，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练的建立方程求解是解本题的关键．
10．B
【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，∴m=﹣1，n=．故选B．
11．B
【分析】此题主要考查了正方形的性质，准确识图，熟练掌握正方形的性质，并根据正方形的面积公式构造方程是解决问题的关键．设正方形B的边长为a，其中，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为，依题意得图②中大正方形的边长为，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
【详解】解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故选：B．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可．
【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．10或11
【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
【详解】解：，
，
解得：，，
若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为；
若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为．
则这个三角形的周长为10或11，
故答案为：10或11．
14．1
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，解方程即可求出m的值，再代入原方程检验即得答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为，，
则，，
根据题意得：，即，
解得或；
当时，原方程为，；
当时，原方程为，，舍去．
∴．
故答案为：1．
15．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且．
16．19
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴这群人共有19人．
故答案为：19．
17．
【分析】本题考查根的判别式，根据题意正确找出等量关系列式计算是解决本题的关键．
根据“百位数字使得一元二次方程有实数根”，得到列出关于的不等式，解之得到的取值范围，根据“各位数字之和大于小于得出各位数字之和为或，集合“勤劳数”的定义，分情况讨论可能的数，从而得到对应的“勤劳数”．
【详解】解：根据题意得：，
解得：
∵各位数字之和大于小于，
或，
又∵，
(舍去)或，
若则，该数为，
若则，该数为，
答： 这个“勤劳数” 432或630，
满足条件的所有“勤劳数”的和是，
故答案为：．
18．(1)，
(2)，
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程，解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程．
（1）直接利用开方法求解即可；
（2）根据公式法可以解答此方程；
（3）先移项，根据因式分解法可以解答此方程；
（4）先移项，然后根据因式分解法解答此方程．
【详解】（1）解：
或，
解得：，；
（2）解：，
，，，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
，
，
解得：；
（4）解：，
，
，
，
解得：．
19．(1)
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解与解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解，解一元二次方程的方法．
（1）把代入，解出▊，即可；
（2）根据题意，可得方程为，解出方程，即可．
【详解】（1）解：把代入，
∴，
∴“▊”的值为．
（2）解：由题意得，方程为，
∴，
∵，
∴，
∴，．
20．(1)见解析
(2)，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：
无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：设方程的另外一个根为，则
解得：，
故的值为，方程的另一个根为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程，
，
，
，
无论为何值，，
无论为何值，该方程总有两个不等实根；
（2）解：和恰好是方程的两个根，
，，
是直角三角形，斜边为，
，
，
，
化简得，
解得或，
又时，，不合题意舍去，
．
22．(1)四、五这两个月的月平均增长率；
(2)当商品降价5元时，商场月获利4250元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可；
（2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
23．(1)电动车车棚的长为，宽为；
(2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程．
（1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过；
（2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题．
【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
解得：，，
当时，（不合题意，舍），
当时，．
答：电动车车棚的长为，宽为．
（2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下：
设车棚宽为，则车棚长为，
由题意，得，
整理，得，
，
原方程无解，
不能围成占地面积为的电动车车棚．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．
（1）直接利用完全平方公式和材料求解即可；
（2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可；
（3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为．
（2）解：，理由如下：
∵，
∵，
∴，
∴
（3）解：由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
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