第十三章 三角形 专题-- 三角形平分线夹角和求角度问题 专题练 2025-2026学年上期初中数学人教版（2024）八年级上册

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三角形 专题-- 三角形平分线夹角和求角度问题 专题练 2025-2026学年上期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=200°，则∠P=( )
A．10 ° B．20 °
C．30° D．40°
2．如图，为直角三角形，，为的平分线，与的平分线交于点E，是的外角平分线，与相交于点G，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分交的平分线于，交的外角平分线于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，，与、相邻的两外角平分线交于点E，若，则的度数为（ ）
A．45° B．60° C．40° D．50°
5．如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
6．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，和相交于点O，分别平分和，若，则 ．
10．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度．
11．将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ．
12．如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ．
13．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．

14．如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则 ．
三、解答题
15．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．
16．如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．
17．如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.
18．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
19．如图，在中，分别是的外角平分线，
(1)若，求的度数为 ．
(2)若时，求的度数？
20．如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，，求证：．
21．如图，已知于点F ，， 与 互余，求证： ．
证明： （已知），
（____________），
（____________），
与 互余（已知），
，
（____________），
（____________），
（____________），
（____________）．
22．如图，在四边形中，，．
(1)______度；（用含，的代数式表示）
(2)若，平分与相邻的外角，平分交于点，交于点，判断与的位置关系，并说明理由．
23．如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C D D C B
1．A
【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=160°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP= ∠DAB+∠ABC+(180 ∠ABC)=90+ (∠DAB+∠ABC)=170，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．
【详解】解：如图,
∵∠D+∠C=200 ,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360，
∴∠DAB+∠ABC=160.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+(180 ∠ABC)=90+(∠DAB+∠ABC)=170，
∴∠P=180 (∠PAB+∠ABP)=10.
故选:A.
2．D
【分析】利用三角形内角和定理，角平分线的定义求出，，推出，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】本题考查角平分线性质、三角形外角的性质、三角形内角和，根据题意得到，推出，根据角平分线性质推出与的和，利用三角形内角和即可解题．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
．
故选：C．
4．C
【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数．
【详解】解：如图，连接并延长，
∵，，
∴，
∵、相邻的两外角平分线交于点，
∴，
∵，，
即
∴．
故选：．
【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算．
5．D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
6．D
【分析】
根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
9．70
【分析】根据三角形内角和定理可得，设，则，再由分别平分和，可得，，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据得到关于x的方程，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵分别平分和，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
即．
故答案为：70
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键．
10． 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
11．/40度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，分别为，的平分线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/90度
【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意．
根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解．
【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案为：．

14．56
【分析】如图，连接，由题意知，，则，由，可知，则，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由题意知，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15．（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50°
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）仿照（1）的解法解答；
（3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答．
【详解】解：（1）∵∠MON=60°，
∴∠BAO+∠ABO=120°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°，
故答案为：60°；
（2）∵∠MON=n°，
∴∠BAO+∠ABO=180°-n°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°，
∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°；
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF=∠CAG，
∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，
由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°．
∴∠BGO-∠ACF=50°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论．
（2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）结论：2∠E＝∠A+∠C．
理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，
∴∠A+∠C＝∠E+∠E，
∴2∠E＝∠A+∠C ．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．；.
【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论即可得出答案
【详解】解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，；
；
、分别平分、，相交于点，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18．.
【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出
【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，解题关键是运用三角形的内角和等于180度，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．
（1）先由邻补角求得，再根据角平分线以及三角形内角和求得，最后在中再次运用三角形内角和即可求解；
（2）求解方法同（1）．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵分别是的外角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵分别是的外角平分线，
∴，
∴，
∴．
20．证明见解析
【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，则，再通过等角的余角相等得出．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．垂线的定义；直角三角形两个锐角互余；同角的余角相等；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，直角三角形的性质，根据已给推理过程，结合垂线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形内角和定理进行证明即可．
【详解】证明： （已知），
（垂线的定义），
（直角三角形两个锐角互余），
与 互余（已知），
，
（同角的余角相等），
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换）．
22．(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了四边形内角和问题，角平分线的定义，三角形外角的定义以及性质等知识．
（1）由四边形内角和为即可解题．
（2）由平角的定义得出，由（1）可得出，可得出，由角平分线的定义可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，，即可得出，则
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
（2），理由如下：
，
．
．
平分，平分，
，．
．
，
．
．
23．见解析
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证．
【详解】证明：，
，
，
，
，
．
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