第一章 有理数 绝对值常见题型 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册

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有理数 绝对值常见题型 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．如果，那么化简的结果是（ ）
A．0 B． C．2 D．3
2．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
3．如果 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
4．下列说法正确的有（ ）
①已知是有理数，，，则的值为；
②若为非零有理数，且，则的值为或；
③已知，则的最大值是，最小值是；
④若且，则式子．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法：
①对，进行“运算”的结果是，则的值是或；
②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是；
③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式．
其中正确的个数是（ ）．
A． B． C． D．
6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：
①对进行“差绝对值运算”的结果是8；
②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
7．若，则 ．
8．已知，则的值是 ．
9．的最小值是 ．
10．已知，则 ．
11．1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示，
（1）化简： ；
（2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ．
（3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ．
12．已知，，，则代数式的值为
三、解答题
13．先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m．
(1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________；
(2)借助数轴思考，当________时，与的值相等；
(3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________；
(4)若点P位于表示的点左侧，化简：．
14．通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
【实践操作】
（1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________．
【灵活运用】
（2）解方程
【迁移拓展】
（3）已知，，，……，，
求式子的最小值．
15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于．
(2)若数轴上的点表示的数，求的最小值；
(3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值．
16．我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______；
(2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______；
(3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题：
①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____；
②求的最小值；
17．阅读材料：点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为．例如：6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为；的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数．
(1)请根据阅读材料填空：点之间的距离　　　（用含的式子表示）；若该距离为2，则　　　；
(2)根据几何意义，解决下列问题：
①若点在线段上，则　　　；
②若，求点表示的有理数．
18．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．
(1)利用此结论，回答以下问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ．
(2)探索规律：
①当有最小值是 ．
②当有最小值是 ．
③当有最小值是 ．
(3)规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？
(4)知识迁移
最大值是 ，最小值是 ．
19．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ．
材料2：求的最小值．
分析：
根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可．
问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值．
20．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；．
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：① ；
② ．
(2)当时， ；当时， ．
(3)计算：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B C C B B
1．A
【分析】此题主要考查绝对值的化简和分式的运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可．
【详解】解：∵，
，
．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了偶次方的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的性质，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解．
先根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同，分两种情况求解．
【详解】解：∵，
∴，，解得：，，
当腰长为时，，不能构成三角形；
当腰长为时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为．
故选：C ．
3．C
【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．．
【详解】解：∵，
∴中有1个正数，2个负数．
不妨设，，，则 ．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．
【详解】解：①∵，
∴，，，
又∵，
∴同时为正数或两负一正，
当同时为正数时，
；
当两负一正时，
；
∴的值为或，故①错误；
②∵，
∴同时为负数或两正一负，
当同时为负数时，
；
当两正一负时，
，
∴的值为或，故②正确；
③当时，
，
此时最大值为，最小值为；
当时，
；
∴时，的最大值是，最小值是，故③正确；
④当时，则或，
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，，，
∴，或，，
∴，，
∴，故④正确；
综上，说法正确的有个，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，根据“运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：①由题意得，，
解得或，故①正确；
②由题意得，，
即，
∴，故②正确；
③对进行“运算”得，，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，；
∴的“运算”化简后的结果可能存在种不同的表达式， 故③错误；
∴正确的个数是个，
故选：．
6．B
【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案．
【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是，
①的结论正确；
对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，
由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3，
的最小值为6，
②的结论不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，
而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种，
，，，，，，0，
③的结论不正确，
以上说法中正确的个数为1个．
故选：B．
7．4
【分析】根据得，解得，求代数式的值即可．
本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握非负性是解题的关键．
【详解】解：根据得，解得，
故．
故答案为：4．
8．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．4
【分析】本题考查了绝对值与数轴，解题的关键是理解绝对值的几何意义．
根据绝对值的几何意义解答即可．
【详解】解：
如图所示：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到、2、3这三个点的距离和最小，
所以当时，，故此时有最小值，最小值是4．
故答案为：4．
10．
【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
11． 2 7
【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
【详解】解：（1）由图可知：，，
∴，
∴原式；
故答案为：；
（2）∵两数的倒数是他们自身，
∴，
∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和，
∴当时，有最小值为：；
故答案为：；2；
（3）由（2）知：当时，有最小值为，
当时，有最小值为，
∵，
∴，，
∴的最大值为3，的最大值为，
∴的最大值为：；
故答案为：7．
12．或
【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
由已知条件得出，，，再化简式子，再分四种情况讨论：当，，时，当、、中有一正两负时，当、、中有两正一负时，当，，时，分别化简即可．
【详解】解：，，
，，，
当，，时，原式
当、、中有一正两负时，不妨设，，，
原式
当、、中有两正一负时，不妨设，，，
原式
当，，时，
原式
综上，原式的值是或，
故答案为：或．
13．(1)或
(2)
(3)，
(4)
【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解；
（2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案；
（3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案；
（4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，
；
或，
解得：m为或，
（2）解：如图，记表示，表示，对应的数为，
∴与的值相等，
即，
此时对应的数为：；
（3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为，
∴，
∴当重合时，即，有最小值，
最小值为；
（4）解：点P位于表示的点左侧，如图，
∴
；
【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
14．（1）或4；5；19（2）或（3）
【分析】本题考查化简绝对值，解绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键：
（1）根据两点间的距离求出的值，根据的范围，化简绝对值求值，根据，得到，根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，进行求解即可；
（2）分和两种情况解方程即可；
（3）将转化为，根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，进而得到当时，有最小值，取代入求值即可．
【详解】解：（1）或；
当数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间时，；
，
∴，
∴当时，的值最小为：；
（2）
当时：，解得：；
当时：，解得：；
综上：或
（3）∵，，，……，，
∴
；
根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，
∴当时，有最小值，
把代入，得：；
∴的最小值为．
15．(1)，
(2)6
(3)或
【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号．
（1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离；
（2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值；
（3）根据a的取值范围结合数轴解答即可．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是，
数轴上表示和2两点之间的距离是；
（2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6；
当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6；
当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6；
所以的最小值为6；
（3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去；
当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；
当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；
综上所述或．
16．(1)
(2)或
(3)①，；②
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，绝对值的最小值，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值最小值的特点和意义是解题的关键．
（1）利用距离公式，计算即可；
（2）根据绝对值的意义化简计算即可；
（3）①根据，得到，确定整数解即可；根据，当时，取得最小值，且为；
②根据可得，中间的一个式子是，故当时，取得最小值．
【详解】（1）解：数的点和表示数3的点之间的距离是，
故答案为：8．
（2）解：∵，
∴或，
故答案为：或5．
（3）解：①∵当时，，
∴符合题意的整数有共有6个，
∵当时，取得最小值，
此时；
②根据可得，中间的一个式子是，
故当时，取得最小值．且最小值为，计算得结果为，
故最小值为．
17．(1)；1或
(2)①；②或4
【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
（1）根据数轴的性质即可得，再根据距离为2建立方程，解方程即可得；
（2）①先根据数轴的性质可得，再化简绝对值，计算整式的加减即可得；
②分三种情况：、和，根据数轴的性质化简绝对值，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵数轴上点对应的数为，数轴上点对应的数为有理数，
∴点之间的距离，
若该距离为2，则，即或，
∴或，
故答案为：；1或．
（2）解：①∵点在线段上，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3；
②当点在点的左侧，即时，
则，解得；
当点在线段上，即时，
则，即没有符合条件的的值；
当点在点的右侧，即时，
则，解得；
综上，点表示的有理数为或4．
18．(1)①3；4；②；1或
(2)①1；②2；③4
(3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米
(4)，
【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点．
（1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解；
（2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解；
（3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解；
（4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值；
【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；
数轴上表示1和的两点之间的距离是：，
故答案为：3；4．
②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：，
当，则，
∴或，
由解得：，
由解得：，
∴的值为：1或，
故答案为：；1或．
（2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离；
的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离；
∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和，
根据“两点之间，线段最短”可知：
∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为，
即有最小值是1．
故答案为：1．
②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和，
根据“两点之间，线段最短”可知：
当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为，
即有最小值是2，
故答案为：2；
③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和，
根据“两点之间，线段最短”可知：
当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时，
的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为，
即有最小值是4．
故答案为：4．
（3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）．
（4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差，
①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，
则，，
∴，，
∴；
②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即，
则，，
∴，，
∴，
③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值是，的最小值是．
故答案为：9；．
19．（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6
【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）根据题意表示出式子即可；
（2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题；
②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值；
（3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题．
【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为，
故答案为：；
（2）①，
由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4；
故答案为：、4．
②当x的值取在不小于且不大于3的范围时，
即，
整理得，
所以这个最小值是；
同理，当时
，
即最小值是；
故答案为：4；不小于0且不大于2；2；
（3）
根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为．
20．(1)①；②；
(2)，；
(3)
【分析】本题考查了绝对值，有理数的加减运算，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（1）①根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案；②根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案；
（2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即可得到答案；
（3）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，先去绝对值符号，然后计算即可．
【详解】（1）解：①，
；
②，
；
故答案为：①；②；
（2）解：当时，
当时，
故答案为：，；
（3）解：
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