第二十二章二次函数检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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第二十二章二次函数检测卷-数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的对称轴为（ ）．
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0．
A．或 B． C． D．
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线经过点，，若A，B两点均在直线的下方，且，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线（a为常数，），将抛物线向下平移4个单位长度后得到的抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．给出下列结论：
①；
②；
③；
④关于x的方程一定有两个不相等的实数根；
⑤．
其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．抛物线经过的象限是 ．
10．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ．
11．若抛物线与x轴只有一个公共点，则 ．
12．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则 ．
13．已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为 ．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是 ．
14．如图，抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，连接交y轴于点C，连接，，点E是抛物线上一动点，的面积与的面积相等，则点E的横坐标为 ．
15．已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为 ．
三、解答题
17．已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)求该二次函数的与轴的交点坐标．
18．已知：抛物线．
(1)若顶点坐标为，求和的值（用含的代数式表示）；
(2)当时，求函数的最大值；
(3)若不论为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过，与y轴交于点B，连接，．
(1)求a的值及点B的坐标；
(2)将抛物线L平移得到抛物线，设平移后点A，B的对应点分别为，若平移后抛物线的顶点落在x轴上，且，求平移后抛物线的表达式．
20．二次函数（a为常数，）．
(1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值；
(2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围；
(3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围
21．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
(3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值．
22． 如图1， 二次函数与x轴交于点A，B（点A 在点 B的左侧），与y轴交于点 C，点D 坐标为，过点D的直线与抛物线交于点 E，F，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为
(1)求证：
(2)求m的值．
(3)如图2，过点A 的直线交y轴于点 P，过点 E作， 连接FO交AP于点 H，此时，求是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
《第二十二章二次函数检测卷-数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B D A D C
1．A
【分析】此题考查求抛物线的对称轴，根据抛物线的一般式，利用对称轴公式直接求解．
【详解】解：抛物线的表达式为，其中，，
代入对称轴公式得：，
因此，抛物线的对称轴为直线，
故选A．
2．C
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据二次函数图象可以判断，从而可以判断一次函数的图象过第一、二、四象限，从而可以解答本题．
【详解】解：由二次函数图象可得，
，
∴一次函数的图象过第一、二、四象限，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵函数开口向上，
∴当或时，．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线下方，且．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围．
【详解】∵点在直线下方，
∴，
解得．
∵点在直线下方，
∴，
解得．
∵ ：
∴，
解得．
∴．
故选：D．
6．A
【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键．
根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解．
【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移2个单位为：，即，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查抛物线的平移，抛物线与x轴的交点．将原抛物线向下平移4个单位后得到新抛物线，求出其解析式并确定与x轴的交点，利用交点间距为4建立方程求解a的值．
【详解】解：原抛物线为，向下平移4个单位后得到新抛物线．
令，则，解得，
∴新抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为4，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，结合点的坐标特点逐一分析判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，，故①②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故④正确；
∵，
∵，
∴，
∴，故⑤错误，
故选：C．
9．第三、四象限
【分析】本题考查了二次函数的性质，会用顶点式求顶点，对称轴以及与y轴交点坐标，
准确判断抛物线的顶点、对称轴、开口方向、与y轴的交点.
根据函数的大致图象判断抛物线的位置，判断出所经过的象限.
【详解】由抛物线可知开口向下，顶点为，对称轴是，
与y轴交点是， 所以过第三、四象限，不经过第一、二象限.
故答案为：第三、第四象限.
10．
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数．
已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式．
【详解】解：∵二次函数图象的顶点为，
∴，
又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，结合抛物线与x轴只有一个交点，得出，解出，即可作答．
【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴令，则，
∴，
解得．
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程，由一元二次方程根的判别式可得，再利用二次函数解析式可得，点到轴的距离为，由为直角三角形，点关于对称轴对称，可得为等腰直角三角形，即得，列出方程解答即可求解，由二次函数的性质判断出为等腰直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得，
∵抛物线，
∴抛物线与轴交点的横坐标为，顶点的纵坐标为，
∴，点到轴的距离为，
∵为直角三角形，点关于对称轴对称，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【详解】（）由题意可知，
解得，
故答案为：；
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的面积问题，解方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．先利用待定系数法分别求得抛物线、直线、直线、直线的解析式，然后过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F，根据求得面积，接着设，则，求得，结合解答即可．
【详解】解：∵抛物线 与x轴交于点，两点， 顶点D纵坐标为4，
∴抛物线的对称轴为直线，
故顶点，
设抛物线的解析式为
∴，
解得，
故
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵对于，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
过点D作轴，交直线于点G，过点E作轴，交直线于点F，
∵，
∴点的横坐标为，且点在直线：上，
∴当时，，
∴
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
∵点E是抛物线上一动点，点在直线直线：上，
∴设，则，
则，
∴，
整理，得或
故或
解得或无解
故．
故点E的横坐标为或，
故答案为：或．
15．和2
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点，
∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线，
又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3，
∴方程的另一个根为，
∵关于x的方程有两个整数根，
∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间，
∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2，
故答案为：和2．
16．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得．
【详解】解：设，则，
∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D，
∴，，
∴，，
，
故答案为：．
17．(1)；直线
(2)二次函数的与轴的交点坐标为，
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，确定抛物线的表达式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）令，得到关于的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对称轴为直线；
（2）令，则，
解得或，
该二次函数的与轴的交点坐标为，．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意，由抛物线顶点式可得，即可得出答案；
（2）依据题意可得，可得，进而可得，即可得出答案；
（3）依据题意，由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即，可得，进而可得，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∴函数的最大值为；
（3）解：∵直线与抛物线有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∵不论为何实数，恒成立，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，涉及二次函数的图象与性质、抛物线顶点式、一元二次方程根的情况与判别式关系、不等式的性质、求二次函数最值、抛物线与轴的交点问题、恒成立问题及解方程组等知识，综合性很强，难度较大，能把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解题关键．
19．(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，将点代入抛物线中，则可得的值，进而可得抛物线的表达式为，然后令，则，进而可得的坐标；
（2）依据题意，由（1）抛物线的表达式为，可得抛物线的顶点坐标为，又平移后抛物线的顶点落在轴上，故抛物线向下平移了4个单位，则可设平移后抛物线的表达式为，结合，可得点的纵坐标均为，故点的横坐标为，点的横坐标为，从而，又，则，求出后即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中，
，
，
∴抛物线的表达式为，
∴令，则，
∴；
（2）由题意，∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵平移后抛物线的顶点落在轴上，
∴抛物线向下平移了4个单位，
∴可设平移后抛物线的表达式为，
，
∴点，的纵坐标均为，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
，
又∵，
，
∴或，
∴平移后抛物线的表达式为或．
20．(1)；
(2)；
(3) ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线即可求出；
（2）将点，代入二次函数解析式，表示出，根据，即可求解；
（3）将点，代入二次函数解析式，结合，表示出求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：；
（2）解：∵点，在二次函数图象上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：点，在二次函数图象上，
∴，，
∵，
∴，
代入得，
∴
，
∵，，
∴．
21．(1)
(2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解；
（3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值．
【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内；
（3）解：把代入，得：，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
，
的最大值为．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别过点E， 点F作轴于点H， 轴于点N，得到．证明即可得证．
（2）根据，得到，解答即可．
（3）如图2，过点F作轴于点 Q， 已知，，连接并延长交于点N．利用待定系数法，交点法，解答即可．
本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，交轨法求坐标，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）证明： 如图1， 分别过点E， 点F作轴于点H， 轴于点N，
∴．
∵点D 坐标为，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为
∴点H 的横坐标为m，点N的横坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：，
由（1）得，，点D 坐标为，
故，
整理，得，
（舍去），
综上所述， ．
（3）解：如图2，过点F作轴于点 Q， 已知，，连接并延长交于点N．
设由（2）可得．
∵直线经过点，
∴．
，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴．
∵．
又∵，
∴，
∴．
当时，解得，
由题意可得， 点，
∴，
设直线的解析式为，
故，解得，
故直线的解析式为，
故，
解得 ，
又直线的解析式为，
故，
解得 ，
故，
，
设直线解析式为，
故，
解得，
，
解得，
故，
由（1）得，，
又∵，，
∴，
∴．
分别过点G，N作y轴的平行线，过点H作x轴的平行线，交于点K，点T，
，，
，
∴，
∴，
∴．
．
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