第二十一章一元二次方程检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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第二十一章一元二次方程检测卷-数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．
3．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人
A．9 B．10 C．45 D．46
4．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5
5．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关
6．以普洱本地紫檀木或竹根雕刻成迷你茶壶、茶杯挂件，融入茶马古道文化符号（如马帮、古道纹路）的茶具微雕饰品深受众多游客的喜爱．某茶具微雕饰品专卖店今年1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，若将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．对于一元二次方程，有以下结论：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若方程的两个实数根分别为4、，则方程的两根为3，．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ．
10．设m，n分别为方程的两个实数根，则 ．
11．已知关于x的方程（k为常数）有两个实数根，则k取值范围为 ．
12．若t是方程的一个根，则的值为 ．
13．已知，则式子的值为 ．
14．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法，如图所示，在矩形中（），以为边作正方形，在的延长线上取一点G，使得，过点D作交于点H，过点H作于点K．若，则的长为 ．
15．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为 ．
16．定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．解方程：
(1)（配方法）；
(2)（用公式法）．
19．今年六月份，某商场进行为期一周的促销活动，前六天的总营业额为45万元，第七天的营业额是前六天总营业额的．
(1)求该商店这七天总营业额；
(2)今年，该商店3月份的营业额为35万元，4、5月份营业额的月增长率相同．六月份这七天的总营业额与5月份的营业额相等，求该商店今年4、5月份营业额的月增长率．
20．定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”．
(1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号）
①；②；③．
(2)若方程是“差1方程”，求的值．
21．已知关于x的一元二次方程．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
22．今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍．
(1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价；
(2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？
23．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图所示的大正方形，其面积可以表示为，同时其面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，故得到，即，进而求出方程的解．
请利用此法解方程
《第二十一章一元二次方程检测卷-数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B B C A A B
1．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
将方程左边配成完全平方形式即可求解．
【详解】解：原方程为，
两边同时加上，得：
左边写成完全平方形式：．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，将已知根代入方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：，
因此，m的值为4，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可．
【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程：
，
整理得：
解得（舍去）
故选B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可．
【详解】解：由得，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可．
【详解】∵，
∴，，，
∴
∵ ，
∴
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选 C．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，进行列方程，即可作答．
【详解】解：∵1月份售出100件某款饰品，3月份售出144件该款饰品，将这两个月该款饰品销售量的平均增长率设为，
∴，
故选：A
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为，
由题意得，，
即，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程等知识，掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
【详解】解：①若，则是方程的根，故判别式，正确；
②方程有不相等实根，则，则方程的判别式，则必有两个不相等实根，正确；
③将代入方程得，因式分解为，当时，不一定为0，故不一定成立，错误；
④原方程根为4和，则，，得，，新方程化简为，根为5和，与题目所述3和不符，错误；
综上，正确结论为①和②，共2个，
故选：B．
9．4
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方
根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可．
【详解】解：
，
∴，
故答案为：4．
10．2035
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：、分别为方程的两个实数根，
，
，
、分别为方程的两个实数根，
，
∴，
故答案为：2035．
11．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
利用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程（k为常数）有两个实数根，
∴且，
解得：且
故答案为：且
12．8
【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得，整理得，再运算，最后代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵t是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：8
13．
【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，利用换元法解方程是解答的关键．设，，则，则，，进而转化为解方程，得或，分别求解即可得出答案．
【详解】解：设，，
∵，
∴，则，
又，
∴，整理，得，
解得或，
当时，，则，此时，
∴；
当时，，则不成立，舍去，
∴，
古答案为：．
14．/
【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，设，则，整理得，，代入数值到，进行化简得再运用公式法进行解方程，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴，，
∴点F在边上，点E在边上，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵
∴设，则
∵，
∴，，
∴
∴
∴
∴
∴
则，或（舍去）
解得，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、公式法解一元二次方程，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
15．或
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，再根据整个挂图的长与宽之比为列出方程即可．
【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，
依题意得：或．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可．
【详解】∵，
∴可变为，
∴．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
17．(1)；
(2)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法．
利用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得方程的解为；
用十字相乘法分解因式，可得：，因为两个数的乘积为，所以这两个因数中致少有一个为，可得：或，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【详解】（1）解：，
分解因式可得：，
解得：；
（2）解：，
分解因式可得：，
或，
解得：，．
18．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键．
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
两边同除以2，得，
移项，得，
配方，得，
开平方，得，
所以：，；
（2）解：，
变为一般形式：，
则，
，
，．
19．(1)50.4万元
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）该商店这七天总营业额为前六天的营业额加上第七天的营业额，即可求解；
（2）设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x，根据增长率计算公式即可列出方程求解．
【详解】（1）解：（万元）；
答：该商店这七天总营业额为50.4万元．
（2）解：设该商店今年4、5月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该商店今年4、5月份营业额的月增长率为．
20．(1)②
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键．
（1）分别求出方程的解即可判断；
（2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：①，
，
∴，
，不是整数根，故①不是“差方程”；
②，
，
∴，
∴，故②是“差方程”；
③，
，
，
∴，
∴方程无整数根，故③不是“差方程”；
故答案为：②；
（2）解：
，
解得：，.
∵方程为“差方程”，m为整数，
∴，
解得：或．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用；
（1）根据，再建立不等式求解即可；
（2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解之得：．
当时，方程有两个实数根；
（2）解：设方程的两根分别为、，
由根与系数的关系得：，
由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴其半对角线长与边长构成直角三角形，
∴，
即，
，
解之得：或．
，，
，，
当时，，．
当时，，
不合题意，舍去，
又由（1）知：，
．
22．(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元
(2)衬衣的销售单价为100元
【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用，
（1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，符合题意，是原方程的解，
元，
答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元；
（2）解：设衬衣的销售单价为a元，
由题意得，，
解得，（舍），
答：衬衣的销售单价为100元．
23．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，按照记载的方法，正确构造大正方形，得出新的一元二次方程是解题的关键．
将变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形，得出，即可得出结果．
【详解】解：变形为，
画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，
则图中大正方形的面积为，
同时，图中大正方形的面积又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，
即，
，
或，
解得：．
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