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1.n次方根的定义
一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的n次方根.
2.n次方根的表示(n>1,且n∈N+)
4.1 指数与指数函数
知识点 1 根式
知识 清单破
4.1.1 实数指数幂及其运算
n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a=0 a<0
x= x=± x=0 不存在
3.根式的定义
当 有意义的时候, 称为根式,n称为根指数,a称为被开方数.
4.根式的性质(n>1,且n∈N+)
(1)( )n=a.
(2)当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|.
1.正分数指数幂:一般地,如果n是正整数,那么:当 有意义时,规定 = ;当 没有意义时,
称 没有意义.
对于一般的正分数 ,也可作类似规定,即 =( )m= m,n∈N+,且 为既约分数 .
2.负分数指数幂:负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即a>0时,规定 = (n,m∈N+).
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
知识点 2 分数指数幂
1.asat=as+t(a>0,s,t∈Q).
2.(as)t=ast(a>0,s,t∈Q).
3.(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
知识点 3 有理数指数幂的运算法则
一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的实数.因此,当a>0,t为任意实数时,可以认为实
数指数幂at都有意义.有理数指数幂的运算法则同样适用于实数指数幂.
知识点 4 实数指数幂
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.任意实数都有两个偶数次方根,它们互为相反数. ( )
提示
负数没有偶数次方根,0的偶数次方根为0.
2.( )n=-2. ( )
3.0的任意次方根都为0. ( )
√
4.分数指数幂 是 个a相乘. ( )
提示
分数指数幂 只是根式的一种写法.
5. = . ( )
提示
=
疑难 情境破
疑难 1 根式与分数指数幂的化简、求值
讲解分析
1.利用根式的性质进行化简、求值的注意点
(1)分清根式为奇数次根式还是偶数次根式.
(2)注意正确区分 与( )n两式.
2.分数指数幂运算的原则与技巧
(1)将负分数指数幂化为正分数指数幂的倒数.
(2)底数是小数时,先将其化成分数;底数是带分数时,先将其化成假分数,然后要尽可能用幂的
形式表示,便于利用指数幂的运算法则进行运算.
典例 计算下列各式的值.
(1) + ;
(2) + -160.75+ ×( )-2;
(3) × (a>0,b>0).
解析 (1) + =1+ + -1=2 .
(2)原式= + -(24 + × =- + -8+2=-3.
(3)原式= × × × × = a0b0= .
讲解分析
将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代换法”求出代数式的值.
“整体代换法”是数学中变形与计算常用的方法,分析观察条件与结论中代数式的结构特
点,灵活运用恒等式是关键.常用的变形公式有:①a±2 +b=( ± )2;②( + )·( - )=a-
b;③ + =( + )(a- +b);④ - =( - )(a+ +b).
疑难 2 指数幂的条件求值问题
典例 已知 + = ,求下列各式的值:
(1)a2+a-2;(2) .
解析 (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7,所以a+a-1=5.将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=2
5,故a2+a-2=23.
(2)由(1)得a+a-1=5.
因为 - =( )3-( )3,
所以原式=
=a+1+a-1=5+1=6.
解题模板 解决条件求值问题的基本步骤:(1)找条件式和所求式之间的关系;(2)化简;(3)代
值运算.求值过程中要注意平方差公式、立方差公式等的灵活应用.第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
基础过关练
题组一 根式的概念及性质
1.已知n∈N+,a∈R,则“=a”是“a>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.化简:=( )
A.0 B.2π-8 C.2π-8或0 D.8-2π
3.若)3,则实数a的取值范围是 .
题组二 根式与分数指数幂的运算
4.(多选题)下列各式中,正确的是( )
A.
C.
5.已知a>0,将表示成分数指数幂,其结果是 ( )
A. C.
6.已知x<0,y>0,则可化为( )
A.-x2y
C.-3x2y D.3x2y
7.下列等式不可能成立的是( )
A.am+3·a·an-1=am+n·a·a2
B.(a·b)m+3=am+1·(a·b2)2·bm-1
C.[(x-a)3]2[(x+a)3]2=[(a-x)2(x+a)2]3
D.[(m-n)3]5=[(n-m)2]5(n-m)5(m≠n)
8.(1)若m=,求的值;
(2)若a=27,b=16,求的值.
题组三 指数幂的条件求值问题
9.已知x>1,x+x-1=6,则= .
10.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β= ,(2α)β= .
11.若a2x=3,且a>0,则= .
能力提升练
题组一 根式与分数指数幂的运算
1.若a<,则化简的结果是( )
A.
C.-
2.(多选题)下列化简结果一定正确的是(字母均为正数)( )
A.=1
B.=a-4b6
C.ac
D.(-2)=24y
3.A4纸是生活中最常用的一种纸张规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0,A1,A2,A3等,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁后可以得到2张A2纸,依此类推.A系列纸张之所以具备这种特性,是因为它们的长宽比均为∶1.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米,118.9÷84.1≈1.41≈,那么A4纸的长度约为( )
A.14.8厘米 B.21.0厘米
C.29.7厘米 D.42.0厘米
4.(1)计算:(0.008 1×81-0.25+;
(2)化简:(a>0).
题组二 指数幂的条件求值问题
5.若3α=5,3β=6,则=( )
A. D.325α-6β
6.(多选题)已知实数a满足a+a-1=4,则( )
A.a2+a-2=14 B.a-a-1=2
C.
7.已知a>1,=4,则的值为 .
8.已知3a+2b+1=0,则= .
9.(1)已知a=-,求的值;
(2)已知x+y=8,xy=9,且x>y>0,求的值.
答案与分层梯度式解析
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
基础过关练
1.B 2.A 4.AC 5.C 6.B 7.D
1.B 当n为奇数时,=a,
当n为偶数时,=a,则a≥0,所以“=a”是“a>0”的必要不充分条件.
2.A 原式=|π-4|+(π-4)=4-π+π-4=0,故选A.
3.答案
解析 由题意得|2a-1|=1-2a,所以2a-1≤0,解得a≤.故实数a的取值范围是.
4.AC =(a·b-1)2=a2b-2;≠(a-b.
故选AC.
5.C .故选C.
方法点拨 当表达式中的根号较多时,要弄清被开方数,由内向外进行转化、运算.
6.B ∵x<0,y>0,∴x2y.故选B.
7.D 对于A,左边=am+3+1+n-1=am+n+3,右边=am+n+1+2=am+n+3,左边=右边,故A中等式成立;对于B,左边=am+3bm+3,右边=am+1·a2·b4·bm-1=am+1+2·b4+m-1=am+3bm+3,左边=右边,故B中等式成立;对于C,左边=(x-a)6(x+a)6=(x2-a2)6,右边=[(x2-a2)2]3=(x2-a2)6,左边=右边,故C中等式成立;对于D,若m-n<0,则左边<0,右边>0,左边≠右边,若m-n>0,则左边>0,右边<0,左边≠右边,故D中等式不可能成立.
8.解析 (1)因为m=,所以.
(2)
=,
因为a=27,b=16,所以原式=4×2=6.
9.答案 2
解析 -2=4,又x>1,所以>0,所以=2.
10.答案
解析 利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β=2-2=.
11.答案
解析 .
能力提升练
1.B 2.BD 3.C 5.B 6.ACD
1.B ∵a<.故选B.
2.BD =a5;
=a-4b6;
ac-2;
(-2=24y.故选BD.
3.答案 C
信息提取 ①A0,A1,A2,A3等,所有尺寸的纸张长宽比都为∶1;②以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸;③A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.
数学建模 由生活中常见纸张规格之间的长度关系建立与指数幂有关的数学模型,根据题意设出A4纸的长度,利用指数幂的运算法则求解.
解析 设A4纸的长度为x 厘米,则A3纸的长度为x 厘米,依此类推可以得到:)4=4,解得x≈29.7,故选C.
4.解析 (1)原式=(0.34-3-1×(34+π-3=π.
(2)原式==a2.
5.B ∵3α=5,3β=6,∴33α=53=125,32β=62=36,
∴=33α-2β.
6.ACD 因为a+a-1=4,所以a>0,a2+a-2=(a+a-1)2-2a·a-1=16-2=14,故A正确;
(a-a-1)2=a2+a-2-2a·a-1=12,所以a-a-1=±2,故B错误;
(=6,因为a>0,所以>0,所以,故C正确;
,故D正确.
7.答案
解析 由=4,即=4,得()2=a+a-1+2=16,所以a+a-1=14,
所以()2=a+a-1-2=12,因为a>1,所以,所以,
所以.
8.答案
解析 .因为3a+2b+1=0,所以,所以.
9.解析 (1)原式=
=.
将a=-代入,得原式=.
(2)由题意得(x-y)2=(x+y)2-4xy=64-36=28,
∵x>y>0,∴x-y=2.
∴.
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