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1.对数的概念
在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式
子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真
数.
2.对数的性质
(1)负数和零没有对数.
(2)1的对数是0,即loga1=0(a>0且a≠1);底的对数是1,即logaa=1(a>0且a≠1).
4.2 对数与对数函数
知识点 1 对数的概念
知识 清单破
4.2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则
3.对数式与指数式的关系
(1)当a>0且a≠1时,ab=N b=logaN.
(2)对数恒等式: =N;logaab=b(a>0且a≠1).
4.常用对数与自然对数
以10为底的对数称为常用对数,并把log10N简写为lg N;以无理数e=2.718 28…为底的对数
称为自然对数,并把logeN简写为ln N.
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)logaMα=αlogaM(α∈R);
(3)loga =logaM-logaN.
知识点 2 对数的运算法则
1.换底公式:logab= (a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
2.相关结论:lo bs= logab(a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0),logab= (a>0且a≠1,b>0且b
≠1).
知识点 3 换底公式
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4. ( )
2.loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3)(a>0且a≠1). ( )
3.若ln N= ,则N= . ( )
4.loga(x-y)=logax÷logay(a>0且a≠1).( )
对数的底数a应满足a>0且a≠1.
提示
提示
公式loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1)成立的前提条件是M>0,N>0,而不是MN>0.
提示
由ln N= ,得N= .
讲解分析
1.利用对数的运算法则求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联系.
2.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当
的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,那么可以选择以10为底数进
行换底.
疑难 情境破
疑难 1 利用对数的运算法则化简、求值
典例 已知3a=5,b=log92,c=lg 2.
(1)求 的值;
(2)用a,b表示log3 .
解析 (1)因为3a=5,所以a=log35.
又b=log92=lo 2= log32,1-c=lg5,
所以 = =2log25×log52=2.
(2)log3 = log3(5×6)
= (log35+log36)= [log35+log3(2×3)]
= [log35+(log32+log33)]= (a+2b+1).
讲解分析
1.在对数式与指数式的互化运算中,要注意灵活应用定义、运算性质,尤其要注意条件和结论
之间的关系.
2.对于连等指数式,可令其等于k(k>0),然后将指数式转换为对数式,再由换底公式将各指数的
倒数化为同底的对数,从而解决问题.
疑难 2 对数与指数的综合运用
典例 已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz, + + =0,求abc的值.
解析 解法一:设ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
∴x=logat,y=logbt,z=logct,
∴ + + = + + =logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,
∴abc=t0=1,即abc=1.
解法二:设ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
∴x= ,y= ,z= ,
∴ + + = + + = .
∵ + + =0,且lg t≠0,
∴lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,∴abc=1.4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
基础过关练
题组一 对数的概念及性质
1.下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知log2(a+1)=1,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若log(a-1)(5-a)有意义,则实数a的取值范围是 .
4.计算:log2(lg 10)= .
题组二 指数式与对数式的互化
5.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.=m与lom=e
B.10x=6与lg 6=x
C.2与lo
D.=3与log93=
6.已知lo(2x)=4,则x=( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
7.已知正实数a,b,c满足log3a=log5b=loc,则( )
A.a=bc B.b2=ac
C.c2=ab D.c=ab
题组三 对数恒等式
8.(多选题)下列式子中正确的是( )
A.lg(lg 10)=0
B.若10=lg x,则x=100
C.若log25x=,则x=±5
D.=80
9.若方程x2+log26·x+log23=0的两个实根分别为α,β,则的值为( )
A.-6 B.6 C.36 D.1
10.已知log5[log3(log2a)]=0,则3= .
11.计算下列各式:
(1)2ln e+lg 1+;
(2)+2ln 1.
答案与分层梯度式解析
4.2 对数与对数函数
4.2.1 对数运算
基础过关练
1.B 2.B 5.BD 6.C 7.C 8.AD 9.C
1.B 负数和0没有对数,故①正确,④错误;
指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;
设log525=x,则5x=25,解得x=2,故③错误.
故选B.
2.B 由题意得a+1=2,解得a=1.
3.答案 (1,2)∪(2,5)
解析 要使log(a-1)(5-a)有意义,需满足解得1
4.答案 0
解析 log2(lg 10)=log21=0.
5.BD =m化成对数式应为logem=,即ln m=,故A错误;
10x=6可化为lg 6=x,故B正确;
2化成对数式应为log27,故C错误;
=3可化为log93=,故D正确.
故选BD.
6.C 由lo(2x)=4得()4=2x,即x2=2x,又x>0,所以x=2.
7.C 设log3a=log5b=loc=n,
所以a=3n,b=5n,c=()n,
所以c2=[()n]2=(3×5)n=3n×5n=ab,即c2=ab.
其他选项中等式均不成立,
故选C.
8.AD 对于A,lg 10=1,lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;
对于B,10=lg x,则x=1010,故B错误;
对于C,log25x=,则x=2=5,故C错误;
对于D,=16×5=80,故D正确.
故选AD.
9.C 因为方程x2+log26·x+log23=0的两个实根分别为α,β,
所以α+β=-log26,
所以)2=36.
10.答案 64
解析 因为log5[log3(log2a)]=0,
所以log3(log2a)=1,
所以log2a=3,解得a=8,
所以3)2=82=64.
11.解析 (1)原式=21+0+2=2+2=4.
(2)原式=.
44.2.2 对数运算法则
基础过关练
题组一 对数的运算法则
1.若a>0且a≠1,x>0,n∈N+,给出下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;
③logax=-logalogax;
⑤.
其中正确的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.已知m>0,n>0,ln 22m+ln 2n=ln 2,则2m+n的值是( )
A.2 B.1 C.ln 2 D.-1
3.若lg a,lg b是方程2x2+4x+1=0的两个根,则=( )
A.4 B.2 C.
4.计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
题组二 换底公式
5.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡儿开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数间的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数.若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
A.1.322 B.1.410
C.1.507 D.1.669
6.若2a=5b=10,则=( )
A.2 B.4 C.5 D.10
7.计算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59= .
8.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,loga2=logb3=π,则log3a·log2b= .
题组三 对数运算的简单应用
9.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
10.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k是正实数).若经过10 h过滤后消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要(参考数据:log25≈2.322)( )
A.30 h B.31 h
C.32 h D.33 h
11.1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某给定值的素数的个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论,估计104以内的素数的个数为(素数即质数,lg e≈0.434,其中e=2.718 28…)( )
A.1 085 B.2 085
C.2 869 D.8 686
能力提升练
题组一 对数运算法则的应用
1.若x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,则logzm的值为( )
A.
2.设a=lg 6,b=lg 20,则log43=( )
A.
3.若x,y,z是正实数,且2x=3y=5z,则( )
A.3x>4y>6z B.3x>6z>4y
C.4y>6z>3x D.6z>4y>3x
4.= .
5.设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则= .
6.若b>a>1且3logab+6logba=11,则a3+的最小值为 .
7.设方程log(3x)3+log27(3x)=-的两个根分别为a和b,则a+b的值为 .
8.(1)计算的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求的值.
题组二 对数运算的综合应用
9.血氧饱和度是指血液中被氧气结合的血红蛋白占总血红蛋白的百分比,即血液中血氧的浓度,它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于95%,95%以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)(单位:%)随给氧时间t(单位:h)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60,给氧1 h后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到正常值,则给氧时间至少还需要约(取ln 2=0.69,ln 3=1.10,ln 19=2.94) ( )
A.0.54 h B.0.64 h
C.0.74 h D.0.84 h
10.(1)甲、乙两人同时解关于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲写错了常数b,得两根为3,,乙写错了常数c,得两根为,81,求这个方程的根;
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.(参考数据:lg 2 019≈3.305)
答案与分层梯度式解析
4.2.2 对数运算法则
基础过关练
1.A 2.B 3.B 5.A 6.C 9.B 10.B 11.A
1.A 根据对数的运算法则logaMα=αlogaM(M>0,a>0且a≠1)知③与⑤正确.
2.B 由ln 22m+ln 2n=ln(22m×2n)=ln 22m+n=ln 2(m>0,n>0),得2m+n=1.
3.B 由题意可知,lg a+lg b=-2,lg a·lg b=,
所以=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=4-4×=2.
4.答案 3
解析 原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5×lg 2+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
5.A ∵2x=≈1.322.
6.C ∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510.
∴=5.
7.答案 -8
解析 原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532
=loga1-8log25×log32×log53=-8×=-8.
8.答案
解析 由题意得log3a·log2b=.
9.B 由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg =0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
10.B 由题意,知经过10 h过滤后还剩余80%的污染物,则0.8P0=P0e-10k,解得e10k=,
设污染物减少50%大约需要t h,则0.5P0=P0e-kt,即ekt=2,则(e10k)t=210,即=210,
两边取对数得tlog2=10,因此t=≈31,所以污染物减少50%大约需要31 h.
11.A 由题可知104以内的素数的个数为π(104)≈=2 500lg e≈2 500×0.434=1 085,
故选A.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 9.B
1.B 依题意得logmx=,
logm(xyz)= logmx+logmy+logmz=.
∴logmz=.
∴logzm=60,故选B.
2.C 由a=lg 6,b=lg 20,可得a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=lg 10+lg 2=1+
lg 2,
联立所以log43=.
3.B 令2x=3y=5z=t,t>1,
则x=log2t=,
∴3x-6z=3>0,
即3x>6z;
6z-4y=2>0,
即6z>4y.
∴3x>6z>4y.
故选B.
4.答案 8
解析 原式=+log62+log63=7+1=8.
5.答案
解析 由log2p=log4q可知log2p=,即p=,
由log2p=log8(2p+q)可知log2p=,即p=,
消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),
当p=2时,q=4,所以.
6.答案 2+1
解析 ∵3logab+6logba=11,即3logab+-11=0,
∴3(logab)2-11logab+6=0,即(3logab-2)(logab-3)=0,∴logab=或logab=3,
又 b>a>1,∴logab>1,∴logab=3,∴a3=b,
∴a3++1≥2+1,当且仅当(b-1)2=2,即b=1+时取等号.
∴a3+的最小值为2+1.
7.答案
解析 利用对数的换底公式把方程log(3x)3+log27(3x)=-,即,
∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,
∴1+log3x=-1或1+log3x=-3,
∴log3x=-2或log3x=-4,
∴x=或x=.
8.解析 (1)原式=.
(2)令3x=4y=6z=a,则a>0,
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以.
9.B 当t=1时,S(1)=60eK=80,得K=ln=ln 8-ln 6,
令S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化简得Kt≥ln =ln 19-ln 12,
所以t≥≈1.64.
因为已经给氧1 h,所以给氧时间至少还需要约0.64 h.
10.解析 (1)由题意可得(log3x)2+clog3x-b=0,
所以log33+log3=-1=-c,即c=1;
log381×log3=-12=-b,即b=12.
所以原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
所以log3x=-4或log3x=3,
所以x=或x=27,故这个方程的根为27或.
(2)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N+,
两边取常用对数,得k因此k<2 020lg 2 019又lg 2 019≈3.305,
所以k<2 020×3.305解得6 675.1又k∈N+,所以k=6 676,
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,
又lg 2 019≈3.305,
所以lg N=2 020×3.305=6 676.1,
因此N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,
即2 0192 020的位数为6 677.
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