4.2.3 对数函数的性质与图象
基础过关练
题组一 对数函数的概念
1.给出下列函数:①y=log5x+1;②y=logax2(a>0且a≠1);
③y=(x>0且x≠1),其中对数函数的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知对数函数f(x)=(a2-3a+3)logax(a>0,且a≠1),则f的值为 .
3.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()= .
题组二 对数(型)函数的图象
4.若0
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.函数f(x)=的图象大致是( )
A B
C D
6.已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<-1
B.a>1,-1C.0D.07.已知函数f(x)=loga(2x-3)+1(a>0且a≠1),其图象恒过点P,则点P的坐标为 .
8.已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为 .
题组三 对数(型)函数的性质及其应用
9.设f(x)=,则函数f 的定义域为( )
A. B.[1,+∞)
C. D.[0,+∞)
10.已知a=log47,b=log930,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.a11.已知a>0且a≠1,若函数y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.(1,4)
12.(多选题)已知函数f(x)=ln(-x)+2,则( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.当x>0时,f(x)∈(0,2]
D.f(lg 3)+f=4
13.已知f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( )
A.∪(1,+∞)
C. D.(0,1)∪(10,+∞)
14.(多选题)已知函数f(x+1)=loga(x+2)(a>0且a≠1),则( )
A. f(x)=logax
B. f(x)的图象恒过原点
C. f(x)无最大值
D. f(x)是增函数
15.已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足当x1≠x2时,恒有 >0成立,那么实数a的取值范围为( )
A.(1,2) B.
C.(1,+∞) D.
16.设函数f(x)=lg,a∈R,若当x∈(-∞,1)时,f(x)都有意义,则实数a的取值范围为 .
17.已知函数y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
18.已知函数f(x)=的值域是R,则实数a的最大值是 .
19.已知f(x)=lo(x2-ax+5a).
(1)若a=2,求f(x)的值域;
(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
20.已知函数f(x)=x++b是奇函数,且f(1)=2.
(1)判断函数f(x)在区间[2,4]上的单调性,并给予证明;
(2)已知函数F(x)=logc(c>0且c≠1),F(x)在[2,4]上的最大值为2,求c的值.
能力提升练
题组一 对数(型)函数的图象
1.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是( )
ABCD
2.已知函数f(x)的图象如图所示,那么该函数的解析式可能为( )
A.f(x)=
C.f(x)=
题组二 对数(型)函数的性质及其应用
3.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),下列说法正确的是( )
A.若f(x)的定义域为R,则-4≤a≤0
B.若f(x)的值域为R,则a≤-4或a≥0
C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)
D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a≤
4.已知函数f(x)=|log3x|,当0A.9 B.4
C.3 D.2
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且 x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a=f(log5),b=f(log4324),c=f(22.5),则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.c>a>b
C.c>b>a D.b>c>a
6.若函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为 .
7.已知f(x)=log2(4m·x)log2,1≤log2x≤3,m为实数.
(1)当m=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)求函数f(x)的最大值g(m)的解析式.
8.已知函数f(x)=ln为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为ln,lnmβ-,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.2.3 对数函数的性质与图象
基础过关练
1.A 4.A 5.A 6.D 9.C 10.C 11.B 12.AD
13.A 14.BC 15.D
1.A ①中log5x后面加1,所以不是对数函数;②中真数不是自变量x,所以不是对数函数;显然③中函数是对数函数;④中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;⑤中底数是自变量x,而非常数,所以不是对数函数.故选A.
2.答案 -1
解析 ∵函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数,∴解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f=-1.
3.答案
解析 设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga=-2,所以,所以a=,所以f(x)=x,
所以f(.
4.A ∵0将y=logbx的图象向左平移a(a>1)个单位长度,得到y=logb(x+a)的图象,故函数y=logb(x+a)的图象不经过第一象限.
5.A 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
当x<0时,-x+1>1, f(x)==-lg(-x+1)<0;
当0当x>1时, f(x)==lg(x-1),该函数图象可以看成将函数y=lg x的图象向右平移一个单位长度得到的.故选A.
6.D 根据题图得函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0令loga(x-b)=0,得x=1+b,因为函数图象与x轴的交点在正半轴上,所以x=1+b>0,即b>-1,
又因为函数图象与y轴有交点,
所以b<0,所以-17.答案 (2,1)
解析 令2x-3=1,得x=2,则f(2)=1,所以f(x)的图象过定点(2,1),即P(2,1).
8.答案
解析 由题意得9.C 依题意得0<4x-3≤1,即3<4x≤4,解得所以f(x)的定义域为,所以+1≤1,
即-≤0,解得-所以函数f .
易错警示 求定义域问题时,需列出满足题意的不等式(组),列不等式(组)的依据:一是分式的分母不为零;二是偶数次方根的被开方数非负;三是对数的真数为正;四是对数的底数大于0且不等于1.解题时防止因错列、漏列不等式而出错.
10.C 由题可得c==c,所以a11.B 因为a>0且a≠1,所以y=4-ax在[1,2]上单调递减,又y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,所以a>1,又4-2a>0,所以a<2,所以112.AD 因为-x=|x|-x≥0,所以f(x)的定义域为R,因此A正确.
当x>0时, f(x)=ln(+2,
令u=,则g(t)=ln t+2,显然随着x增大,u增大,t减小,从而g(t)减小,
故f(x)在(0,+∞)上单调递减,因此B错误.
由B可知f(x)0时, f(x)<2,因此C错误.
f(x)+f(-x)=ln(-x)·(+x)]+4=ln 1+4=0+4=4,所以f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=4,因此D正确.故选AD.
13.A ∵函数f(x)为偶函数, f(lg x)>f(1),
∴f(|lg x|)>f(1).
又函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
∴|lg x|<1,即-1故x的取值范围是.
14.BC 因为f(x+1)=loga(x+2)=loga(x+1+1),所以f(x)=loga(x+1),A错误.
令x+1=1,得x=0,则f(0)=0,故f(x)的图象恒过原点,B正确.
当a>1时,u=x+1(x>-1)单调递增,y=logau单调递增,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)无最大值;
当0-1)单调递增,y=logau单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)无最大值,
所以C正确,D错误.
15.D 由题可知函数f(x)在R上为增函数,
则≤a<2.
16.答案 [0,+∞)
解析 f(x)=lg =lg(4x+2x+a).
由题意得4x+2x+a>0,即a>-(4x+2x)在x∈(-∞,1)上恒成立.
令t=2x,则t∈(0,2),g(t)=-t2-t=-.
易知g(t)在(0,2)上单调递减,∴g(t)∈(-6,0),
∴a≥0.
17.答案 [-5,-4]
解析 令g(x)=x2+ax+6,∴y=logg(x).
∵y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增,
∴g(x)在(-∞,2)上单调递减,且g(x)>0在(-∞,2)上恒成立,
∴
∴实数a的取值范围是[-5,-4].
18.答案 8
解析 当x<0时, f(x)=4-∈(-∞,3).
当x≥0时, f(x)单调递增,
要想f(x)的值域为R,则当x≥0时, f(x)min≤3,
即当x∈[0,+∞)时, f(0)≤3,即log2a≤3,解得019.解析 (1)若a=2,则f(x)=lo(x2-2x+10),
因为x2-2x+10=(x-1)2+9≥9>0,当且仅当x=1时,等号成立,
所以f(x)的定义域为R,且y=lox在定义域内单调递减,所以f(x)≤lo9=-2,
所以f(x)的值域为(-∞,-2].
(2)因为y=lox在定义域内单调递减,
所以y=x2-ax+5a在[1,+∞)上单调递增,且x2-ax+5a>0在[1,+∞)上恒成立,
所以解得-所以a的取值范围为.
20.解析 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(1)=1+a+b=2,∴f(-1)=-1-a+b=-2,
∴a=1,b=0.
经检验,a=1,b=0满足题意,∴f(x)=x+.
函数f(x)在区间[2,4]上是增函数.证明如下:
任取x1,x2∈[2,4]且x1∵x1,x2∈[2,4],x1∴x1x2>4,x1x2-1>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[2,4]上是增函数.
(2)当x∈[2,4]时, f(x)∈,
∴f(x)-.
若0F(x)有最大值logc;
若c>1,则y=logcx单调递增,当f(x)-=2时,F(x)有最大值logc2=2,
∴c=.
综上,c=或c=.
能力提升练
1.B 2.C 3.BD 4.A 5.B
1.B 因为log2a+log2b=0,所以log2(ab)=0,所以ab=1,则a>1,01,0当a>1,0当b>1,02.C 由题图可知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,当x>1时, f(x)>0.
f(x)=的定义域为(0,+∞),故排除A;
若 f(x)=则当x>1时, f(x)<0,故排除B;
若f(x)=则当x趋向于0+时, f(x)=趋向于-1,当x趋向于0-时, f(x)=(x+1)·ex趋向于1,故排除D.故选C.
3.BD 对于A,若f(x)的定义域为R,则x2+ax-a>0在R上恒成立,所以Δ=a2+4a<0,所以-4对于B,若f(x)的值域为R,则y=x2+ax-a能取到大于0的所有实数,则a2+4a≥0,所以a≥0或a≤-4,所以B正确;
对于C,若a=2,则f(x)=lg(x2+2x-2),易得函数的定义域为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞),设u=x2+2x-2,v=lg u,由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递减区间即为函数u=x2+2x-2(u>0)的单调递减区间,为(-∞,-1-),所以C错误;
对于D,若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则(-1)2+a×(-1)-a≥0且-≥-1,所以a≤,所以D正确.
4.A 作出f(x)的图象,如图所示.
由0易知n2-n=n(n-1)<0,所以 0f(n)=f(m),
所以f(x)在[n2,m]上的最大值为 f(n2)=|log3n2|=|2log3n|=-2log3n=2,所以log3n=-1,解得n=,所以 m==3,所以=9.
5.B 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
又因为 x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.由f(x)=f(2-x),得f(log5)=f(2+log25).
因为log24log4324=lo182=log218=1+log29,因为log28因为2+log25=log24+log25=log220,log4324=log218,所以4因为22.5=,所以5<22.5<6,所以4又函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(log4324)6.答案
解析 根据对数函数的概念得-x2+4x+5>0,解得-1易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=-=2,
由复合函数的单调性得函数f(x)=log(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需≤m<2,
故实数m的取值范围是.
7.解析 (1)∵1≤log2x≤3,
∴当m=1时, f(x)=(2+log2x)(2-log2x)=4-(log2x)2≤3,当log2x=1时,取等号,
故函数f(x)的最大值是3.
(2)f(x)=(2m+log2x)(2-log2x),
令log2x=s,s∈[1,3],
则h(s)=(2m+s)(2-s)=-s2+(2-2m)s+4m=-[s-(1-m)]2+m2+2m+1,
当1-m≤1,即m≥0时,h(s)在[1,3]上单调递减,故h(s)max=h(1)=2m+1;
当1<1-m<3,即-2当1-m≥3,即m≤-2时,h(s)在[1,3]上单调递增,故h(s)max=h(3)=-2m-3.
综上,g(m)=
8.解析 (1)因为函数f(x)=ln为奇函数,
所以f(x)+f(-x)=0,
即ln=0对定义域内任意x均成立,所以k2=1,即k=±1,
显然k≠-1,所以k=1.
经验证,k=1符合题意.
(2)函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数.
证明:由(1)知f(x)=ln ,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=ln -ln =ln ,
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
所以0<<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln <0,
即f(x1)同理可得, f(x)在(-∞,-1)上也为增函数.
所以函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数,
因为函数f(x)在[α,β]上的值域为
,
所以m>0,且
所以
即α,β是方程的两个不等实根,
问题等价于方程mx2-=0在(1,+∞)上有两个不等实根,其中m>0,
令h(x)=mx2-,x∈(1,+∞),
则
即故019(共18张PPT)
一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
知识点 1 对数函数
知识 清单破
4.2.3 对数函数的性质与图象
温馨提示 对数函数解析式的结构特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数;
(2)真数是自变量x,且x的系数是1;
(3)logax的系数是1.
知识点 2 对数函数的性质与图象
函数 y=logax(a>0且a≠1) a>1 0图象
性 质 定义域 (0,+∞) 值域 R 奇偶性 非奇非偶函数 定点 图象过定点(1,0) 性 质 函数值 的变化 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈(0,+∞);
x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
单调性 增函数 减函数
注:对数函数y=logax与y=lo x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称.
知识拓展 单调性相同的对数函数,它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的
规律.利用此性质可比较不同对数函数的底数大小,具体方法如下:作直线y=1与各个对数函数
的图象,在第一象限内,从左到右,对数函数的底数逐渐增大.
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.y=log2x2与y=logx3都不是对数函数.( )
2.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).( )
3.y=log2x2在[0,+∞)上为增函数.( )
4.函数y=log2(x+2)-1的图象恒过点(-1,-1). ( )
5.函数y=ln 的图象可由y=ln x的图象平移得到. ( )
√
由x+1>0可得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞).
提示
x不能为0.
提示
√
令x+2=1,得x=-1,此时y=-1,所以函数y=log2(x+2)-1的图象恒过点(-1,-1).
提示
√
函数y=ln =ln x-1的图象可由y=ln x的图象向下平移1个单位长度得到.
提示
讲解分析
1.同底数的利用对数函数的单调性进行判断.
2.同真数的利用对数函数的图象进行判断,或先用换底公式进行转化,然后判断.
3.底数和真数都不同的,找中间量.
4.若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
疑难 情境破
疑难 1 比较对数值的大小
典例 下列选项正确的是 ( )
A.log25.3B.log0.27C.log3π>logπ3
D.loga3.10且a≠1)
C
解析 对于A,因为y=log2x是(0,+∞)上的增函数,所以log25.3>log24.7,故A错误.
对于B,因为y=log0.2x是(0,+∞)上的减函数,所以log0.27>log0.29,故B错误.
对于C,因为log3π>log33=1,logπ3logπ3,故C正确.
对于D,当0loga5.2;当a>1时,y=logax是(0,+∞)
上的增函数,所以loga3.1讲解分析
1.形如loga f(x)>logab(a>0且a≠1)的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确
定,则需分a>1与02.形如loga f(x)>b(a>0且a≠1)的不等式,先将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),再
借助函数y=logax的单调性求解.
3.形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图象求解.
疑难 2 解对数不等式
典例 解下列关于x的不等式:
(1)loga(2x-5)>loga(x-1);(2)logx >1.
解析 (1)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4.当0 解得 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};当0(2)当x>1时,由logx >logxx,解得0logxx,解得x> ,所以 所以原不等式的解集为 .
讲解分析
1.对数型函数的定义域
(1)求对数型函数的定义域,要注意真数必须大于0,如在y=loga f(x)(a>0且a≠1)中应首先保证
f(x)>0;
(2)若底数中也含有变量,则底数应大于0且不等于1.
2.求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法:根据函数解析式的特征,由函数自变量的范围直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(a>0且a≠1,m≠
0))时,可以用配方法求函数的值域.
疑难 3 与对数函数有关的函数的定义域、值域
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个非空子集)上的单调性,求出函数的
值域.
(4)换元法:求形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的函数的值域时,先换元,令u=f(x),利用此函数的图象
和性质求出u的范围,再利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.
典例 (1)求函数y= 的定义域;
(2)设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)的定义域为 ,求函数f(x)的最小值和最大值,并求出f(x)取
最值时对应的x的值.
解析 (1)由题意得
解得x<-1- 或-1- 所以函数的定义域为(-∞,-1- )∪(-1- ,-3)∪[2,+∞).
(2)f(x)=log2(4x)·log2(2x)=(log24+log2x)(log22+log2x)=(2+log2x)(1+log2x).
令t=log2x,因为x∈ ,所以t∈[-2,2].
令y=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,t∈[-2,2],根据二次函数的性质可得当t=- 时,y=t2+3t+2取得最小值,最
小值为 +3× +2=- ,此时x= = ;当t=2时,y=t2+3t+2取得最大值,最大值为22+3×2
+2=12,此时x=22=4.
故当x= 时, f(x)取得最小值- ;当x=4时, f(x)取得最大值12.
讲解分析
1.“定义域优先”原则
单调区间是定义域的非空子集.求函数的单调区间时一定要先求其定义域.
2.与对数函数有关的函数的单调性的判断方法
形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)的复合函数,当a>1时,y=loga f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相
同;当0 形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数,一般用复合函数单调性的规律判断,先令t=logax,
然后只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.
疑难 4 与对数函数有关的函数的单调性
典例 (1)函数y=log (-x2+4x-3)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(2,3)
(2)若函数y=log (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,1] B.[-1,1] C.(0,1] D.[0,1]
A
C
解析 (1)令u=-x2+4x-3.由u=-x2+4x-3>0,得1为函数y=log u是减函数,当x∈(1,2)时,u=-x2+4x-3单调递增,当x∈(2,3)时,u=-x2+4x-3单调递
减,所以y=log (-x2+4x-3)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,所以函数y=log (-x2+4x-3)的
单调递减区间是(1,2).故选C.
(2)令u=ax2-4x+12.因为y=log u是(0,+∞)上的减函数,函数y=log (ax2-4x+12)在区间[1,2]上单
调递增,
所以u=ax2-4x+12在区间[1,2]上单调递减且u>0.
当a=0时,u=-4x+12在[1,2]上单调递减,且u∈[4,8],符合题意;
当a>0时,则有
解得0当a<0时,则有
解得-1综上所述,实数a的取值范围是(-1,1].
故选A.