4.3 指数函数与对数函数的关系
基础过关练
题组 反函数
1.若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)=2x B.g(x)=
C.g(x)=4x D.g(x)=x2
2.若函数y=f(x)的图象经过第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象必经过( )
A.第一、二象限 B.第三、四象限
C.第二、三象限 D.第一、四象限
3.已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是( )
A B
C D
4.函数f(x)=log3(3x+9)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(0,+∞) D.(2,+∞)
5.若函数f(x)的图象向右平移一个单位长度后所得图象与曲线y=ex关于直线y=x对称,则f(x)=( )
A.ex-1 B.ex+1
C.ln(x-1) D.ln(x+1)
6.已知函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称,函数g(x)是奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则
g(-9)=( )
A.-6 B.6 C.-7 D.7
7.已知函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),其反函数y=f -1(x)的图象过点(8,2),则a的值为 .
8.函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为 .
9.已知函数y=f(x)(x<0)的反函数为y=f -1(x),且函数g(x)=是奇函数,则不等式f -1(x)≥-2的解集为 .
10.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数f -1(x);
(3)若k∈(0,+∞),解不等式f -1(x)>log2.
答案与分层梯度式解析
4.3 指数函数与对数函数的关系
基础过关练
1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.D
1.A 设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为函数f(x)的图象经过点(4,2),所以f(4)=loga4=2,所以a2=4,所以a=2,所以f(x)=log2x,所以它的反函数g(x)=2x.
2.D 原函数与反函数的图象关于直线y=x对称,因为原函数的图象经过第一、二象限,所以其反函数y=f-1(x)的图象必经过第一、四象限.
3.C 令y=f(x),则y=3x-1,y>0,∴x-1=log3y,即x=log3y+1,
∴f-1(x)=log3x+1,
易知f-1(x)在(0,+∞)上单调递增,且f-1+1=0,结合选项知选C.
4.D ∵3x>0,∴3x+9>9,∴log3(3x+9)>log39=2,则f(x)的值域为(2,+∞),
∵反函数的定义域为原函数的值域,∴反函数y=f-1(x)的定义域为(2,+∞),故选D.
5.D 曲线y=ex关于直线y=x对称的曲线的方程为y=ln x,即f(x-1)=ln x,令t=x-1,则x=t+1, f(t)=ln(t+1),所以f(x)=ln(x+1).
6.D 由已知得,函数f(x)与函数y=3x互为反函数,则f(x)=log3x.
由题意知,当x>0时,g(x)=log3x-x,则g(9)=log39-9=2-9=-7.
因为g(x)为奇函数,所以g(-9)=-g(9)=7.
7.答案 2
解析 由反函数y=f-1(x)的图象过点(8,2),可得函数f(x)的图象过点(2,8),又函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),所以
8.答案 y=1-(x≥3)
解析 由题意可得y=x2-2x+3=(x-1)2+2在(-∞,0]上单调递减,故y≥3,
则x-1=-,即x=1-(y≥3),
故函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为y=1-(x≥3).
9.答案 [-log23,0)
解析 令h(x)=log2(x+1),x≥0.
当x<0时,-x>0,则h(-x)=log2(1-x)=-h(x),
所以y=f(x)=h(x)=-log2(1-x),x<0.
令x=-log2(1-y),y<0,得y=1-2-x.
由1-2-x<0,得x<0.
所以f-1(x)=1-2-x,x<0.
不等式f-1(x)≥-2可化为1-2-x≥-2,
解得x≥-log23,又x<0,所以-log23≤x<0.
10.解析 (1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.
因为f(x)+f(-x)==0,
所以f(-x)=-f(x),
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
(2)令y=,则2x=(-1所以f -1(x)=log2(-1(3)f -1(x)>log2即log2,-1所以
所以当0当k≥2时,原不等式的解集为{x|-15(共7张PPT)
1.反函数的概念
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函
数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).
2.函数y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域正好互换,且它们的图象关于直线y=x对称.
4.3 指数函数与对数函数的关系
知识 清单破
知识点 反函数
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.函数y= 的反函数是y=logx .( )
2.函数y=log3x的反函数的值域为R. ( )
3.函数y=ex的图象与y=lg x的图象关于直线y=x对称. ( )
4.任何一个函数都有反函数. ( )
5.存在一个函数,它和它的反函数是同一函数. ( )
6.函数与其反函数图象的交点必在直线y=x上. ( )
√
如函数y= .
提示
提示
如函数y= 与其反函数图象有无数个交点,但交点中只有两个在直线y=x上.
讲解分析
1.对反函数概念的理解
(1)并不是任意一个函数y=f(x)都存在反函数,只有当函数的定义域与值域中的值是一一对应
的关系时,这个函数才存在反函数.
(2)反函数也是函数.
(3)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.
(4)奇函数不一定存在反函数,若存在,它的反函数也是奇函数;偶函数一定不存在反函数.
(5)因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,所以若y=f(x)的图象过点(a,b),则点
(b,a)必在其反函数的图象上.
疑难 情境破
疑难 反函数
2.求反函数的基本步骤
(1)求函数y=f(x)的值域,它是反函数的定义域;
(2)由y=f(x)解出x=f-1(y);
(3)交换x,y,得y=f-1(x);
(4)写出反函数的定义域.
典例1 已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,7),其反函数f-1(x)的图象过点(4,0),则f(x)=
( )
A.4x+3 B.3x+4 C.5x+2 D.2x+5
A
解析 因为f-1(x)的图象过点(4,0),
所以f(x)的图象过点(0,4).
又f(x)的图象过点(1,7),
所以 解得 所以f(x)=4x+3.
典例2 已知函数y=f(x)是函数y= (x∈R)的反函数.
(1)求函数y=f(x)的表达式,并写出其定义域;
(2)判断函数y=f(x)的单调性,并加以证明.
解析 (1)∵y= = =1- ,
∴y≠1,∴3x= ,
∴x=log3 ,则 >0,∴-1∴所求表达式为y=f(x)=log3 ,定义域为{x|-1(2)y=f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1易得f(x1)-f(x2)=log3 -log3 =log3 ,
∵0∴0< · <1,∴log3 <0,
∴f(x1)
