4.5 增长速度的比较
基础过关练
题组一 函数的平均变化率
1.已知函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为4,则m的值为( )
A.2 B.4 C.3 D.1
2.若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别为m1,m2,m3,则下面结论正确的是( )
A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3 D.m1
3.(多选题)两个学校W1,W2开展节能活动,活动开始后两个学校的用电量W1(t),W2(t)与时间t的关系如图所示,则一定有 ( )
A.W1比W2节能效果好
B.W1的用电量在[0,t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0,t0]上的平均变化率小
C.两个学校节能效果一样好
D.W1与W2自节能以来用电量总是一样大
4.函数f(x)=2x2,若函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是 .
题组二 不同函数增长速度的比较
5.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防这些细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义.科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究,设经过时间x(单位:min),菌落的覆盖面积为y(单位:mm2).团队提出如下假设:①当x≥0时,y>0;②y随x的增加而增加,且增加的速度越来越快.则下列选项中,符合团队假设的模型是( )
A.y=kax(k>0,a>1)
B.y=logbx+c(b>1,c>0)
C.y=kx+b(k>0,b>0)
D.y=p+q(p>0,q>0)
6.当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时,水面的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应 ;B对应 ;C对应 ;D对应 .
7.(1)求y=2x在[1,1+Δx]与[2,2+Δx]上的平均变化率,并比较大小;
(2)求y=4x与y=log3x在[a,a+2](a>1)上的平均变化率,并比较大小.
答案与分层梯度式解析
4.5 增长速度的比较
基础过关练
1.C 2.A 3.AB 5.A
1.C 由题意得=m+1=4,解得m=3.
2.A 函数f(x)=x在[0,1]上的平均变化率m1==1,函数g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率m2==1,函数h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率m3==1,∴m1=m2=m3.
3.AB 由题图可知,<0,则W1的用电量在[0,t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0,t0]上的平均变化率要小,W1比W2节能效果好,故A,B正确,C错误;因为题中两曲线并不重合,所以D错误.故选AB.
4.答案 k1>k2
解析 依题意得k1==4x0-2Δx,所以k1-k2=4Δx,而Δx>0,所以k1>k2.
5.A
6.答案 (4);(1);(3);(2)
解析 A容器下粗上细,水面高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水面高度的变化为快→慢→快,故与(1)对应;C,D容器都是柱形,水面高度的变化都是直线形,但C容器细,D容器粗,故C容器的水面高度的变化快,与(3)对应,D容器的水面高度的变化慢,与(2)对应.
7.解析 (1)在[1,1+Δx]上,,
在[2,2+Δx]上,,
因为<1,所以y=2x在[2,2+Δx]上的平均变化率大于其在[1,1+Δx]上的平均变化率.
(2)对于y=4x,·4a>30,
对于y=log3x,=
,所以y=log3x在[a,a+2](a>1)上的平均变化率小于y=4x在[a,a+2](a>1)上的平均变化率.
3(共5张PPT)
1.定义:函数f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率为 = .
2.实质:平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.作用:平均变化率可以用来比较函数值变化的快慢.
4.5 增长速度的比较
知识 清单破
知识点 平均变化率
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.对于函数y=2x-3,x每增加一个单位长度,y减少3个单位长度. ( )
2.y=lo x的函数值减小的速度越来越慢. ( )
3.增长速度是非零常数的函数呈线性增长. ( )
4.若定义在R上的连续函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为正数,则函数为增函数.
( )
5.当0
√
√
√
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 指数函数、对数函数、幂函数的增长比较
函数 性质 y=ax,a>1 (x≥0) y=logax,a>1 (x>0) y=xn,n>0
(x≥0)
图象
单调性 单调递增 增长 速度 先慢后快 先快后慢 n>1时,越来越快;
n=1时,不变;
0典例 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)
关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1),有以下结论:
①当x>1时,甲在最前面;②当x>1时,乙在最前面;③当01时,丁在最后
面;④丙不可能在最前面,也不可能在最后面;⑤如果它们一直运动下去,那么最终在最前面的
是甲.其中,所有正确结论的序号为 .
③④⑤
解析 f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x, f4(x)=log2(x+1)分别是指数型函数、二次函数、一次函数和
对数型函数.
当x=2时, f1(2)=3, f2(2)=4,∴①不正确;
当x=5时, f1(5)=31, f2(5)=25,∴②不正确;
根据四种函数的变化特点,画出四个函数的图象,可知当x=1时,
甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等,而对数型函数的增长速
度是先快后慢,从而当01时,丁在最
后面,∴③正确;
结合各函数图象的变化情况,可知丙不可能在最前面,也不可能在最后面,∴④正确;
指数型函数的增长速度逐渐变快,故若运动的时间足够长,则最前面的物体一定是按照指数
型函数运动的物体,即一定是甲,∴⑤正确.