第4章指数函数、对数函数与幂函数 本章复习提升

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易混易错练
易错点1　忽视底数或真数的范围致错
1.使式子log(x-2)(-x2+x+6)有意义的x的取值范围是(　　)
A.(-2,3)　　　　B.(2,3)
C.[-2,3]　　　　D.(2,3]
2.(2024江苏苏州月考)已知log0.3(3x)A.
C.
易错点2　忽视对底数的分类讨论致错
3.若函数f(x)=loga(x2-ax+12)在(2,3)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
4.已知函数f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
易错点3　换元时忽视中间变量的取值范围致错
5.函数y=log0.5(2-x-x2)的单调递增区间为(　　)
A.
C.
6.已知函数y=ln(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞)　　　　B.(0,4]
C.[4,+∞)　　　　D.(-4,4]
7.求函数y=(log2x)2+log2x,x∈的值域.
易错点4　利用函数解决实际问题时忽略自变量的实际意义致错
8.神舟十二号载人飞船搭载三名宇航员进入太空,在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务,其间进行了很多空间实验.在太空中水资源有限,一般要通过回收水然后经过特殊的净水器处理成饮用水.净化水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的,要使水中杂质减少到原来的1%以下,则至少需要过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
思想方法练
一、方程思想在解决函数问题中的应用
1.函数的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0且c≠1)是“减半函数”,则t的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,1]
C.
2.若函数f(x)满足:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之,则称函数f(x)不具有性质M.
(1)证明函数g(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值;
(2)已知函数h(x)=lg 具有性质M,求实数a的取值范围.
二、数形结合思想在解决函数问题中的运用
3.若x1,x2分别是方程ex+x-2 023=0,ln x+x-
2 023=0的根,则x1+x2=(　　)
A.2 022　　　　B.2 023
C.+1
4.已知函数f(x)=设m>n>0,若f(n)=f(m),则n·f(m)的取值范围是　　　　.
三、转化与化归思想在解决函数问题中的运用
5.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(1)=1+e,当x2>x1>0时,有x2f(x1)-x1f(x2)>x2,则不等式f(ln x)>x+ln x的解集为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(e,+∞)
C.(1,e)　　　　D.(0,e)
6.(多选题)若f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)是偶函数,当x∈(0,2]时,f(x)=log2x,则(　　)
A.f(x)在(-4,-2)上单调递减
B.f=-1
C.f(x)在[-4,2]上恰有5个零点
D.f(x-2)是偶函数
四、分类讨论思想在解决函数问题中的应用
7.若函数f(x)=ex+ln(x-a)在(0,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=2-(a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数.
(1)判断并证明f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=(log2x)2-mlog2x2+m,x∈[2,4],对于任意x1∈[2,4],总存在x2∈[-1,1],使得g(x1)=f(x2)成立,求m的取值范围.
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易混易错练
1.B 2.A 5.D 6.D 8.B
1.B　要使式子log(x-2)(-x2+x+6)有意义,需满足解得22.A　因为y=log0.3x在(0,+∞)上单调递减,log0.3(3x)所以解得x>,
故x的取值范围是.
3.答案　(0,1)∪[6,7]
解析　令t=x2-ax+12,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=.
当a>1时,y=logat在定义域上单调递增,则t=x2-ax+12在(2,3)上单调递减,
所以解得6≤a≤7.
当0所以解得a≤4,
又0综上,实数a的取值范围为(0,1)∪[6,7].
4.解析　(1)由题意可知解得-2(2)函数f(x)为奇函数.
证明:由(1)知f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)的定义域为(-2,2),关于原点对称,
且f(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(3)f(x)=loga(2+x)-loga(2-x)=loga.
当a>1时, f(x)>0即loga>0,即>1且x∈(-2,2),所以x∈(0,2);
当00即loga>0,即0<<1且x∈(-2,2),所以x∈(-2,0).
综上所述,当a>1时,使f(x)>0的x的取值范围为(0,2);当00的x的取值范围为(-2,0).
5.D　由2-x-x2>0,解得-2令u=2-x-x2=-,则该函数在上单调递增,在上单调递减,且u>0,
因为函数y=log0.5u在定义域内是减函数,
所以根据复合函数的单调性可知,函数y=log0.5(2-x-x2)的单调递增区间是.
6.D　令t=x2-ax+3a,由题意可知,t=x2-ax+3a在[2,+∞)上单调递增,且t>0,
∴解得-4∴实数a的取值范围为(-4,4],故选D.
7.解析　当≤x≤2时,-1≤log2x≤1,令t=log2x,则t∈[-1,1],则y=t2+t,易知其图象开口向上,对称轴为直线t=-,
所以当t=-时,ymin=.
当t=-1时,y=(-1)2-1=0,当t=1时,y=12+1=2,
所以函数y=(log2x)2+log2x,x∈.
易错警示　求复合函数的定义域、值域、单调区间时,为了叙述简便,常需要利用换元法,此时务必注意新元的取值范围,否则极易出现错解.
8.B　设过滤的次数为n,原来水中杂质为1,则<1%,即,所以lg,所以-nlg 4<-2,所以n>≈3.322,
因为n∈N+,所以n的最小值为4,所以要使水中杂质减少到原来的1%以下,则至少需要过滤4次.
易错警示　利用函数知识解决实际问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合函数的实际问题写出自变量的限制条件.
思想方法练
1.D 3.B 5.C 6.ACD
1.D　显然f(x)=logc(2cx+t)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则
即f(x)=有两个不等实根.
根据函数的性质构建方程.
logc(2cx+t)=,即2cx+t=.
令=u,则u>0,原方程可转化为2u2-u+t=0.
依题意知此方程有两个不等正实根,
换元后得到关于u的一元二次方程,根据方程根的情况求解.
∴解得0故选D.
2.解析　(1)令g(x0+1)=g(x0)+g(1),得+2,
利用新定义列出关于x0的方程,通过方程的解的情况求解.
即=2,解得x0=1,
所以函数g(x)=2x具有性质M.
(2)易知h(x)的定义域为R,且a>0.
因为h(x)具有性质M,所以在R上存在x0,使h(x0+1)=h(x0)+h(1),
利用新定义列出关于x0的方程.
则lg =lg +lg ,
即2(+1)=a(x0+1)2+a,
整理得(a-2)+2ax0+2a-2=0.
若a=2,则x0=-,符合题意;
若a≠2,则Δ≥0,即a2-6a+4≤0,解得3-≤a≤3+,所以a∈[3-,2)∪(2,3+].
综上可得实数a的取值范围为[3-].
思想方法　在指数函数与对数函数的有关问题中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合指数、对数运算解题,是一种最基本的方法.
3.B　利用函数图象的对称性,通过数形结合,利用中点坐标公式求x1+x2的值.
作出函数y=ex,y=-x+2 023,y=ln x,y=x的图象,如图所示.
设函数y=ex的图象与直线y=-x+2 023的交点为A,
函数y=ln x的图象与直线y=-x+2 023的交点为B.
由题意可得x1是A的横坐标,x2是B的横坐标,
因为y=ex的图象与y=ln x的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2 023也关于直线y=x对称,
所以线段AB的中点就是直线y=-x+2 023与直线y=x的交点,
由
所以线段AB的中点为,
所以,所以x1+x2=2 023,故选B.
4.答案　
解析　作出函数f(x)的图象,通过数形结合求出n的取值范围,再将n·f(m)转化为关于n的式子,从而得出n·f(m)的取值范围.
作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可知, f(n)=f(m),m>n>0同时成立时n的取值范围为≤n<1.
又n·f(m)=n·f(n)=n(5n-1)=5n2-n=,所以≤n·f(m)<4.
思想方法　利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①能准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,正确掌握参数的取值范围.
5.C　∵当x2>x1>0时,有x2f(x1)-x1f(x2)>x2],
即.
设F(x)=,x>0,
则当x2>x1>0时,F(x1)>F(x2),
∴F(x)在(0,+∞)上单调递减.
由f(x)的定义域为(0,+∞),且f(ln x)>x+ln x,可得x∈(1,+∞),F(ln x)=>1,
∵f(1)=1+e,∴F(1)==1,
∴F(ln x)>F(1),
将所求不等式进行等价转化,再根据函数的单调性将其转化为自变量间的大小关系.
∴06.ACD　由f(x)是定义在R上的奇函数得f(x)=-f(-x), f(0)=0,
由f(x+2)是偶函数得f(x+2)=f(-x+2),即f(x)的图象关于直线x=2对称,
结合f(x)是奇函数可得f(x)的图象关于直线x=-2对称,
∴f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),∴f(x)=-f(x-4)=f(x-8).
通过函数的奇偶性和函数图象的对称性进行转化得出f(x)=f(x-8).
当x∈(0,2]时, f(x)=log2x,则f(x)在(-6,2]上的图象如图所示.
由图可得f(x)在(-4,-2)上单调递减,A正确;
f=1,B错误;
由图可得f(x)在[-4,2]上恰有5个零点,C正确;
∵函数f(x)的图象关于直线x=-2对称,∴f(x-2)=f(-x-2),故f(x-2)是偶函数,D正确.
思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中的运用如下:利用函数奇偶性对原点左、右两侧的点进行转化;利用换元法将复杂的函数解析式化为简单的解析式;通过构造函数将复杂的问题化为简单的问题等.
7.答案　
解析　令f(x)=ex+ln(x-a)=0,则-ex=ln(x-a),
若f(x)在(0,+∞)上存在零点,则函数y=-ex与y=ln(x-a)的图象在(0,+∞)上有交点,
易知y=-ex在(0,+∞)上单调递减,且当x=0时,y=-1;y=ln(x-a)在(a,+∞)上单调递增,
a的大小影响函数图象的相对位置,故应分情况讨论.
当a≥0时,易知两函数图象在(0,+∞)上必有交点,满足题意;
当a<0时,如图所示,
只需ln(-a)<-1,所以-综上所述,实数a的取值范围是.
8.解析　(1)由函数f(x)=2-(a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数,得f(0)=2-=0,解得a=3.
∴f(x)=2-,其定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=2-, f(-x)+f(x)=2-=0,
∴f(x)=2-为奇函数.
任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=2-,
∵x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)∴函数f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)知, f(x)在R上单调递增,
∴当x∈[-1,1]时, f(x)的值域为[-1,1],设为A.
g(x)=(log2x)2-mlog2x2+m=(log2x)2-2mlog2x+m,x∈[2,4],
令log2x=t,则t∈[1,2],设h(t)=t2-2mt+m,t∈[1,2],其值域为B,
由题意知B A.
易知y=t2-2mt+m的图象开口向上,对称轴为直线t=m,
解决含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题时,要注意分类讨论,讨论的标准是考虑函数图象的对称轴与给定区间的位置关系,结合函数单调性,即可确定值域.
当m<1时,h(t)在[1,2]上单调递增,B=[1-m,4-3m],
∴解得1≤m≤2,与m<1矛盾,舍去;
当1≤m<时,h(t)在[1,m]上单调递减,在[m,2]上单调递增,且h(1)∴B=[-m2+m,4-3m],∴
解得1≤m≤,∴1≤m<;
当≤m<2时,h(t)在[1,m]上单调递减,在[m,2]上单调递增,且h(1)>h(2),∴B=[-m2+m,1-m],
∴解得0≤m≤≤m≤;
当m≥2时,h(t)在[1,2]上单调递减,B=[4-3m,1-m],
∴解得0≤m≤,与m≥2矛盾,舍去.
综上所述,m的取值范围为.
思想方法　在指数、对数函数问题中,要注意底数对函数的图象和性质的影响,解题时通常需要对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.
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