(共8张PPT)
1.最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.一
般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
2.平均数
(1)如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为 = (x1+x2+…+xn),简记为 = xi.
(2)求和符号 的性质:① (xi+yi)= xi+ yi;② (kxi)=k xi;③ t=nt.
(3)若x1,x2,…,xn的平均数为 ,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a +b.
知识 清单破
5.1.2 数据的数字特征
知识点 数据的数字特征
3.中位数
如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位
数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称 为这组数的中位
数.
4.百分位数
(1)一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于
该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.
(2)求p%分位数的步骤:
①将数据按照从小到大排列(假设排列后的数据为x1,x2,…,xn);
②计算i=np%的值;
③如果i不是整数,设 为大于i的最小整数,取 为p%分位数;如果i是整数,取 为p%分位
数.
规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).
(3)常用的百分位数:25%分位数(第一四分位数),50%分位数(中位数),75%分位数(第三四分位
数).
5.众数
一组数据中,出现次数最多的数据.
6.极差
一组数的最大值减去最小值所得的差.
7.方差与标准差
(1)如果x1,x2,…,xn的平均数为 ,则方差为s2= (xi- )2.方差的算术平方根称为标准差.
(2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2,x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2.
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.平均数受数据的极端值影响较大. ( )
2.中位数、众数一定是样本数据中的某个数. ( )
3.一组数据的标准差越小,数据越稳定,且稳定在平均数附近. ( )
4.某次数学测试成绩的70%分位数是85分,则有70%的同学测试成绩小于或等于85分.( )
√
中位数可能是样本数据中的某个数,也可能是通过将样本数据按照从小到大排列后,计
算中间两个数的平均值得到的,此时中位数不一定是样本数据中的数.若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.
提示
√
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 对数据的数字特征的理解
平均数 中位数/百分位数 方差/标准差
意义 数据的代表值 描述数据百分位置的量 描述数据相对于平均数的离散程度的量
优点 计算方便,性质优良,
应用广泛 受极端值影响小 计算方便,性质优良,应用广泛
缺点 数据中有极端值时,平均数的代表性差 没有利用数据的全部信息 方差受数据单位或量纲的影响
适用 范围 反映变量的一般水平,常用于比较 确定定额,制订标准 评价生产的稳定性,加工零件的精度等
典例1 已知一组数据为7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据的
25%分位数是 ( )
A.8 B.9
C.10 D.11
A
解析 将这组数据从小到大排列,依次是7,7,8,8,8,8,9,9,10,10,10,10,11,11,12,12,13,13,14,20,共
20个数据,且20×25%=5,
所以这组数据的25%分位数是第5项与第6项数据的平均数,即8,故选A.
典例2 (多选)某赛季甲、乙两名篮球运动员的5场比赛得分如下(其中x,y处的数字被污损):
甲:6,14,28,34,3x;
乙:12,25,26,2y,31.
已知甲得分的极差为32,乙得分的平均数为24,则( )
A.x=8
B.甲得分的方差是736
C.乙得分的中位数和众数不相等
D.乙得分的方差小于甲得分的方差
AD
解析 由甲得分的极差为32,得30+x-6=32,
解得x=8,A正确;
甲得分的平均数为 ×(6+14+28+34+38)=24,
故甲得分的方差为 ×[(6-24)2+(14-24)2+(28-24)2+(34-24)2+(38-24)2]= ,故B错误;
由乙得分的平均数为24,得 ×(12+25+26+20+y+31)=24,解得y=6,
所以乙得分的中位数、众数都是26,故C错误;
乙得分的方差为 ×[(12-24)2+(25-24)2+(26-24)2+(26-24)2+(31-24)2]= , < ,
即乙得分的方差小于甲得分的方差,故D正确.5.1.2 数据的数字特征
基础过关练
题组一 最值、平均数、中位数、百分位数、众数
1.一个车间里有10名工人装配同种电子产品,现记录他们某天装配电子产品的件数如下:10,12,9,7,10,12,9,11,9,8,若这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b
2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了10个班的比赛得分如下:91,89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的80%分位数为( )
A.92 B.93 C.92.5 D.93.5
3.在从小到大排列的数据20,21,25,31,31,■,34,42,43,45,47,48中,有一个数据被污染而模糊不清,但曾计算得该组数据的最小值与中位数之和为53,则被污染的数据为( )
A.31 B.33 C.32 D.34
4.若数据x1,x2,…,x12的平均数为10,则新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
已知某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表所示:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理
人数 1 1 2 1
月工资/元 55 000 50 000 35 000 20 000
职务 经理 管理员 职员
人数 5 3 20
月工资/元 10 000 8 000 4 500
(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数;(精确到整数)
(2)假设副董事长的月工资从50 000元提升到100 000元,董事长的月工资从55 000元提升到200 000元,求新的平均数、中位数、众数;(精确到整数)
(3)哪个统计量更能反映该公司职工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法.
题组二 极差、方差与标准差
6.在某项体育比赛中,七位裁判为某一选手打出的分数如下:90,89,90,95,93,94,93,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A.92,2 B.92,2.8
C.93,2 D.93,2.8
7.小张、小陈为了了解自己的数学学习情况,他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析,其中小张全年测试的平均成绩是135分,全年测试成绩的标准差为6.3;小陈全年测试的平均成绩是130分,全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是( )
A.小张数学测试的最高成绩一定比小陈高
B.小张数学成绩的极差较小陈的大
C.小陈比小张的测试发挥水平更稳定
D.平均来说,小陈比小张数学成绩更好
8.一次投篮练习后,体育老师统计了第一小组10名同学的命中次数作为样本,计算出该样本的平均数为6,方差为3,后来这个小组又增加了一名同学,投篮命中次数为6,那么这个小组11名同学投篮命中次数组成的新样本的方差是( )
A.3 B.
9.一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中x≠5,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的极差和标准差分别为( )
A.9,9 B.8,4
C.9,3 D.5,2
10.(多选题)下列说法正确的是( )
A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
B.将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变
C.一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],则这组数据的总和等于60
D.数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为2s2
11.(多选题)某人投掷骰子5次,记录向上的点数,由于记录遗失,只知道这5个点数的平均数为3,方差不超过1,则这5个点数中( )
A.众数可能为3 B.中位数可能为2
C.极差可能为2 D.最大点数可能为5
12.某班的数学平均分为125分,方差为.经分析发现有三名同学的成绩录入有误,A同学实际成绩为137分,被错录为118分;B同学实际成绩为115分,被错录为103分;C同学实际成绩为98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则的大小关系为 .
13.某人5次下班途中所花的时间(单位:分钟)分别为m,n,5,6,4.已知这组数据的平均数为5,方差为2,则|m-n|= .
题组三 数据的数字特征的应用
14.在两块面积相等的试验田中,分别种植甲、乙两种水稻,观测它们连续6年的产量(单位:kg)如表所示:
甲、乙两种水稻连续6年的产量
第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年
甲 2 890 2 960 2 950 2 850 2 860 2 890
乙 2 900 2 920 2 900 2 850 2 910 2 920
根据以上数据,下列说法正确的是( )
A.甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小
B.甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D.甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
15.一次数学知识竞赛中,两组学生的成绩(单位:分)如下表:
成绩/分 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两组在这次竞赛中的成绩谁优谁次,并说明理由.
能力提升练
题组一 数据的数字特征
1.(多选题)某市举行高中英语演讲比赛,已知12位评委对某位选手评分数据具体如下:7,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则( )
A.中位数为8.3
B.极差为3
C.75%分位数为9.15
D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分
2.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,4,x,7,8,若该组数据的60%分位数是众数的倍,则该组数据的方差是( )
A.5 B.
3.(多选题)某篮球爱好者在一次篮球训练中需进行五轮投篮,每轮投篮5次.已知其前四轮投中的次数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列可能发生的是( )
A.五轮投中次数的平均数是3,极差是3
B.五轮投中次数的中位数是3,第五轮投中的次数是1
C.五轮投中次数的平均数是3,方差是0.8
D.五轮投中次数的中位数是3,极差是3
4.现有一组数据不知道其具体个数,只知道该组数据平方后的数据的平均值是a,该组数据扩大到原来的m倍后的数据的平均值是b,则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大到原来的m倍后的数据的方差三个量中,能用a,b,m表示的量的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知两组数据:27,28,37,m,40,50;24,n,34,43,48,52.若这两组数据的30%分位数、50%分位数分别对应相等,则等于 .
6.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .
7.一个容量为9的样本,它的平均数为,方差为,把这个样本中一个为4的数据去掉,变成一个容量为8的新样本,则新样本的平均数为 ,方差为 .
题组二 数据的数字特征的应用
8.某零件加工厂认定工人通过试用期的方法如下:随机选取试用期中的5天,再从每天生产的零件中分别随机抽取25件,要求每天的合格品均不少于22件.若甲、乙、丙三人在各自5天试用期内抽检样本中的合格品件数统计如下,甲:中位数为24,极差不超过2;乙:平均数为23,方差不超过1;丙:众数为23,方差不超过1,则他们三人中一定能通过试用期的有( )
A.甲、乙 B.甲、丙
C.乙、丙 D.甲、乙、丙
9.在某病毒流行期间,为了让居民能及时了解病毒是否被控制,专家组通过会商一致认为:病毒被控制的标志是“连续7天每天新增感染人数不超过5”.记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇,根据最新的连续四个预报簇依次计算得到如下结果:①平均数≤3;②平均数≤3,且标准差s≤2;③平均数≤3,且极差m≤2;④众数等于1,且极差m≤4.其中能够说明病毒被控制住的预报簇为 .(填序号)
答案与分层梯度式解析
5.1.2 数据的数字特征
基础过关练
1.C 2.D 3.C 4.B 6.B 7.C 8.B 9.C
10.ABC 11.AC 14.B
1.C 将数据从小到大排序,依次为7,8,9,9,9,10,10,11,12,12,
所以它们的平均数a=×(7+8+9+9+9+10+10+11+12+12)=9.7,中位数b==9.5,众数c=9,所以a>b>c.
2.D 将数据从小到大排列为85,87,89,90,91,91,92,93,94,96,而10×80%=8,
所以这组数据的80%分位数为=93.5.
3.C 设被污染的数据为x,因为该组数据的最小值为20,所以中位数为53-20=33,所以=33,解得x=32,则被污染的数据为32.故选C.
4.B 因为数据x1,x2,…,x12的平均数为10,所以x1+x2+…+x12=12×10=120,所以新数据x1+1,x2+1,…,x12+1,24的平均数为(x1+1+x2+1+…+x12+1+24)=×(120+12+24)=12.
5.解析 (1)平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+50 000+55 000)≈10 879(元),
中位数是4 500元,众数是4 500元.
(2)新的平均数是×(4 500×20+8 000×3+10 000×5+20 000+35 000×2+100 000+200 000)≈16 788(元),
中位数是4 500元,众数是4 500元.
(3)中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平.该公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大,导致平均数与中位数、众数偏差较大,所以平均数不能反映该公司职工的工资水平.
6.B 去掉一个最高分95与一个最低分89后,所剩的5个数据分别为90,90,93,94,93,其平均数为×(90+90+93+94+93)=92,方差为×[2×(90-92)2+2×(93-92)2+(94-92)2]=2.8,故选B.
7.C 平均成绩和标准差不能反映最高成绩,故A错误;
极差是一组数的最大值减去最小值所得的差,而小张和小陈具体的测试成绩未知,所以无法判断极差的大小,故B错误;
标准差反映数据的波动程度,而3.5<6.3,说明小陈的成绩更稳定,小张的成绩波动比较大,故C正确;
小张的平均成绩高于小陈的平均成绩,所以平均来说小张比小陈数学成绩更好,故D错误.
8.B 设开始10名同学的命中次数分别为x1,x2,…,x9,x10,
则有=6,得x1+x2+…+x9+x10=60,
则新样本的平均数为=6,记为,
则新样本的方差s2=+…++…+.
9.C 由题意得该组数据的极差为10-1=9,中位数为,众数为2,∴1+,∴x=4.
∴该组数据的平均数为=×(1+2+2+4+5+10)=4,
方差s2=×[(1-4)2+(2-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(10-4)2]=9,
∴该组数据的标准差为3.故选C.
10.ABC 根据极差和标准差的定义可知二者均可描述一组数据的离散程度,故A正确;
根据平均数及方差的计算公式可得,将一组数中每个数减去同一个非零常数后,这一组数的平均数改变,方差不改变,故B正确;
由一个样本的方差s2=[(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x20-3)2],可知该样本的平均数为3,故这组数据的总和等于60,故C正确;
数据a1,a2,…,an的方差为s2,则数据2a1,2a2,…,2an的方差为4s2,故D错误.故选ABC.
11.AC 对于A,当这5个点数都为3时,满足题意,且众数为3,故A正确;
对于B,若中位数为2,则方差最小时该组数据为2,2,2,4,5,方差为1.6,大于1,不符合题意,故B错误;
对于C,当5个点数分别为2,3,3,3,4时,满足题意,且极差为2,故C正确;
对于D,若最大点数为5,则方差最小时该组数据为2,2,3,3,5,方差为1.2,大于1,不符合题意,故D错误.
12.答案
解析 设班级人数为n(n>0,n∈N*),因为118+103+129=137+115+98,所以更正前后平均分不变,
又(118-125)2+(103-125)2+(129-125)2=549,(137-125)2+(115-125)2+(98-125)2=973,
所以.
13.答案 4
解析 由题意得,m+n+5+6+4=25,即m+n=10.根据方差公式得(m-5)2+(n-5)2=8.设m=5+t,n=5-t,则2t2=8,解得t=±2,∴|m-n|=2|t|=4.
14.B 对于A,甲种水稻产量的平均数为=2 900(kg),
乙种水稻产量的平均数为=2 900(kg),
所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等,故A不正确;
对于B,甲种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 860,2 890,2 890,2 950,2 960,中位数为2 890,
乙种水稻产量的数据从小到大排列为2 850,2 900,2 900,2 910,2 920,2 920,中位数为=2 905,
所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小,故B正确;
对于C,甲种水稻产量的极差为2 960-2 850=110,乙种水稻产量的极差为2 920-2 850=70,
所以甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等,故C不正确;
对于D,甲种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 860-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 890-2 900)2+(2 950-2 900)2+(2 960-2 900)2]=,
乙种水稻的产量的方差为×[(2 850-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 900-2 900)2+(2 910-2 900)2+(2 920-2 900)2+(2 920-2 900)2]=,
所以乙种水稻产量的方差小于甲种水稻产量的方差,所以乙种水稻的产量比甲种水稻的产量稳定,故D不正确.故选B.
15.解析 答案不唯一.
(1)从成绩的众数看,甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,所以甲组成绩好些.
(2)从成绩的方差看,×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172,
×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256.
因为,所以甲组成绩比乙组成绩稳定.
(3)从不低于平均分的人数看,甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,所以甲组成绩总体较好.
(4)从题中成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20,乙组成绩大于或等于90分的人数为24,所以乙组成绩在高分段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多6人,所以乙组成绩较好.
能力提升练
1.BCD 中位数为=8.4,A错误;
极差为10-7=3,B正确;
因为12×75%=9,所以75%分位数为=9.15,C正确;
这位选手的平均分为
=8.5,
去掉最高分和最低分后的平均分为
=8.5,
故去掉最高分和最低分,不会影响到这位选手的平均得分,D正确.故选BCD.
2.B 该组数据共7个数,7×0.6=4.2,故60%分位数为从小到大第5个数x,又众数为4,故x=4×=7,故该组数据的平均数为×(1+4+4+4+7+7+8)=5,
故该组数据的方差是.
3.BCD 2+3+4+4=13.若平均数为3,则第五轮投中的次数为3×5-13=2,所以极差为4-2=2,方差为×[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,故A错误,C正确;若中位数为3,则第五轮投中的次数可能为0,1,2,3,其极差分别为4,3,2,2,故B,D正确.
4.C 设该组数据为x1,x2,…,xn,则平均值,
所以a=,
所以.
原数据的方差,可以用a,b,m表示.
扩大到原来的m倍后的数据的方差
=m2·
=m2=m2a-b2,可以用a,b,m表示.
平方后的数据的方差
-a2,不能用a,b,m表示.
5.答案
解析 因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以第一组数据的30%分位数为28,50%分位数为,第二组数据的30%分位数为n,50%分位数为.
所以.
6.答案 1,1,3,3
解析 不妨设x1≤x2≤x3≤x4,则x1,x2,x3,x4均为正整数,且
∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1,x2=x3=2,x4=3或x1=x2=1,x3=x4=3.
∵标准差为1,
∴=1,
∴x1=x2=1,x3=x4=3.
由此可得这组数据为1,1,3,3.
7.答案 5;2
解析 设9个样本数据分别为x1,x2,…,x9,则,所以新样本的平均数为×-4=5.因为=
=17,所以新样本的方差为(xi-5)2-(4-5)2=×(17-1)=2.
8.A 由甲的统计数据可知,甲至少有3天的合格品件数不小于24,且最小的合格品件数不小于22,所以甲一定能通过.
设乙的抽检样本中每天的合格品件数为ai(i=1,2,3,4,5),
ai∈N,则≤1,即≤5,若乙有不止一天的合格品件数小于22,则>5,不合题意;若乙只有一天的合格品件数小于22,不妨取a1=21,则=4,由平均数为23,可知有一天的合格品件数为25或至少有两天的合格品件数为24,无论哪种情况,都可以得到>5,不合题意,所以乙每一天的合格品件数都不小于22,故乙一定能通过.
对于丙,若丙5天的合格品件数分别为21,22,23,23,23,则众数为23,方差为0.64,符合丙的统计数据,但丙不能通过试用期.故选A.
9.答案 ③④
解析 若连续7天每天记录的数据为0,0,0,0,2,6,6,则满足平均数=2≤3,但不能说明病毒被控制住,故①不符合;
若连续7天每天记录的数据为0,3,3,3,3,3,6,则满足平均数≤3且标准差s=≤2,但不能说明病毒被控制住,故②不符合;
假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m>6-,由≤3得6-≥3,即m>3,故假设不成立,故③符合;
假设7天中某一天新增感染人数x超过5,即x≥6,则极差m≥6-1=5,故假设不成立,故④符合.
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