(共7张PPT)
1.向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量).向量的大小也称为向量的模(或长度).
2.向量的表示
(1)用有向线段表示:通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端
点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为
B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为 ,此时向量的模用| |表示.
(2)用加粗的斜体小写字母表示:如a,b,c.
3.零向量:始点和终点相同的向量称为零向量,记作0.零向量的模为0.
6.1 平面向量及其线性运算
知识点 1 向量的相关概念及表示
知识 清单破
6.1.1 向量的概念
4.单位向量:模等于1的向量称为单位向量.
1.相等向量:大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.
2.平行(共线)向量:如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行(或共线).
规定:零向量与任意向量平行.
知识点 2 向量的相等与平行
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.温度有正有负,所以温度是向量. ( )
2.两个向量中长度大的向量较大. ( )
3.把平面内所有表示单位向量的有向线段的始点都平移到同一点时,它们的终点构成的图形
是线段. ( )
提示
提示
提示
既有大小又有方向的量称为向量,温度没有方向,故它不是向量.
向量不能比较大小,向量的模可以比较大小.
它们的终点构成的图形是圆.
4.相等向量一定是共线向量. ( )
5.平行于同一向量的两个向量平行. ( )
6.当两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行. ( )
√
提示
提示
因为零向量与任意向量平行,所以平行于零向量的两个向量不一定平行.
不一定平行,也可能重合.
讲解分析
1.对相等向量与平行(共线)向量的理解
(1)相等向量一定是共线向量,但平行(共线)向量不一定是相等向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是不同的,平行直线不包括重合的情况,而对于平行向量,表
示它们的有向线段所在的直线是可以重合的.
(3)向量的相等具有传递性,而向量的平行不具有传递性(考虑零向量).
2.在图形中寻找平行(共线)向量、相等向量的方法
(1)寻找平行(共线)向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与
反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为始点,始点为终点的向量.
疑难 情境破
疑难 相等向量与平行(共线)向量
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的线段所表示的向量,再确定这
些向量中哪些是与已知向量方向相同的向量.
典例 如图所示,O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,四边形OCFB都是正方形.
(1)写出与 相等的向量;
(2)写出与 共线的向量.
解析 (1)与 相等的向量有 , , .
(2)与 共线的向量有 , , , , , , , , .第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
基础过关练
题组一 向量的概念及表示
1.给出下列物理量:(1)质量;(2)速度;(3)力;(4)加速度;(5)路程;(6)密度;(7)功;(8)电流强度;(9)体积,其中不是向量的有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
2.下列说法正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
3.下列结论正确的是 .(填序号)
①向量必须用有向线段来表示;
②表示一个向量的有向线段不是唯一的;
③单位向量都相等;
④0的长度为0,且方向是任意的.
题组二 相等向量与共线向量
4.(多选题)下列命题的判断正确的是( )
A.若向量共线,则A,B,C,D四点在一条直线上
B.若A,B,C,D四点在一条直线上,则向量共线
C.若A,B,C,D四点不在一条直线上,则向量不共线
D.若向量共线,则A,B,C三点在一条直线上
5.下列命题正确的是( )
A.零向量没有方向
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
6.(多选题)如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断正确的是( )
A.
C.|
7.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与向量是共线向量,则m= .
8.如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,在以A,B,C,D,E,F为始点或终点的所有有向线段表示的向量中:
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
答案与分层梯度式解析
第六章 平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.1 向量的概念
基础过关练
1.A 2.D 4.BD 5.C 6.ABC
1.A 看一个量是不是向量,就要看它是否具备向量的两个要素:大小和方向.(2)(3)(4)既有大小又有方向,是向量,(1)(5)(6)(7)(8)(9)只有大小没有方向,不是向量.
2.D
3.答案 ②④
解析 向量除了可以用有向线段表示外,还可以用加粗的斜体小写字母表示,故①中结论错误;向量为自由向量,只要大小相等,方向相同就为同一向量,与它的具体位置无关,故②中结论正确;单位向量的长度都为1,但方向不确定,故③中结论错误;显然④中结论正确.
4.BD 对于A,平行四边形ABCD中,,满足向量共线,而A,B,C,D四点不共线,故A错误;
对于B,A,B,C,D四点在一条直线上,则向量的方向相同或相反,即向量共线,故B正确;
对于C,平行四边形ABCD中,满足A,B,C,D四点不共线,而,即向量共线,故C错误;
对于D,向量共线,而向量有公共点B,因此A,B,C三点在一条直线上,故D正确.
5.C 对于A,零向量的方向是任意的,并不是没有方向,故A错误;
对于B,因为两个向量的模相等,但方向不确定,所以这两个向量不一定相等,故B错误;
对于C,因为a=b,b=c,所以a=c,故C正确;
对于D,当b=0时,a与c不一定共线,故D错误.
6.ABC 由正六边形的结构特征可知,的方向相同,长度相等,∴,故A正确;
的方向相反,∴,故B正确;
||,故C正确;
不共线,所以不相等,故D错误.
7.答案 0
解析 由向量m与向量是平行向量,可得向量m与向量的方向相同或相反,
由向量m与向量是共线向量,可得向量m与向量的方向相同或相反,
又由A,B,C是不共线的三点,可知向量的方向不同,所以m=0.
8.解析 因为E,F分别是AC,AB的中点,
所以EF∥BC,EF=BC.
又因为D是BC的中点,所以BD=DC=BC=EF.
(1)与.
(2)与.
(3)与.
6
