6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算
基础过关练
题组一 数乘向量的概念
1.已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为( )
①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.
A.①④ B.①② C.①③ D.③④
2.已知λ∈R,则下列命题正确的是( )
A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a| D.|λa|>0
3.设a是非零向量,λ是非零实数,则( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|a
题组二 向量的线性运算
4.(多选题)下列命题中,正确的是 ( )
A.(-5)(6a)=-30a
B.7(a+b)+6b=7a+13b
C.若a=m-n,b=3(m-n),则a,b共线
D.(a-5b)+(a+5b)=2a,则a,b共线
5.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且,若=a,=b,则=( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
6.在△ABC中,=a,=b,则=( )
A.-a+b B.a+b
C.-a-b D.a-b
7.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是( )
A.
C.
8.如图所示,在 ABCD中,=a,=b,,M为BC的中点,则= .(用a,b表示)
题组三 三点共线问题
9.在△ABC中,若3,则点D( )
A.在直线AB上 B.在直线AC上
C.在直线BC上 D.为△ABC的外心
10.如图,在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使EP=BE,延长CF至点Q,使FQ=CF.试用向量的方法证明P,A,Q三点共线.
能力提升练
题组一 向量的线性运算
1.(多选题)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.||
B.=0
C.
D.
2.已知O是△ABC内一点,满足,则S△ABC∶S△OBC=( )
A.3∶1 B.1∶3
C.2∶1 D.1∶2
3.(多选题)已知某建筑物的底层玻璃的形状如图所示,其中间为一个正六边形,四周是以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出的六个正方形,则在该图形中,下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足(λ∈R),则点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心
5.如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F为BE的中点,若,则x+y= .
6.若M是△ABC所在平面内的一点,且满足5,则△ABM与△ABC的面积之比为 .
题组二 三点共线问题
7.已知向量a,b不共线,=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线
B.A,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线
D.B,C,D三点共线
8.(多选题)已知P是△ABC所在平面内一点,且=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.向量可能平行
B.点P在线段EF上
C.||=2∶1
D. S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶3
答案与分层梯度式解析
6.1.4 数乘向量
6.1.5 向量的线性运算
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.ABC 5.A 6.A 7.AC 9.A
1.B ①和②属于数乘向量的分配律,命题均正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,命题错误;④中,若a=0,则m,n的大小关系无法确定,命题错误.
2.C 当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;易知C正确;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.
故选C.
3.B 当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,A错误;
因为λ为非零实数,所以λ2>0,故a与λ2a的方向相同,B正确;
|-λa|=|-λ||a|,因为|-λ|与1的大小关系不确定,所以|-λa|与|a|的大小关系不确定,C错误;
|λ|a是向量,而|-λa|是实数,两者不能比较大小,D错误.
4.ABC (-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故A正确;
7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故B正确;
因为a=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共线,故C正确;
因为(a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共线,故D错误.
5.A 如图所示,a+b,故选A.
6.A 如图,由题意得,
所以b-a.
7.AC ,A正确;
,B错误;
,C正确;
,D错误.故选AC.
8.答案 b-a
解析 b-a+a.
9.A 因为3,
所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上.
10.证明 因为E是AC的中点,F是AB的中点,
所以.
因为BE=EP,CF=FQ,所以,
所以,所以.
又因为向量有公共点A,
所以P,A,Q三点共线.
能力提升练
1.BC 2.A 3.ACD 4.C
1.BC 三角形的重心到三个顶点的距离不一定相等,A错误;
由M为△ABC的重心可得,),
同理,),
所以=0,B正确;
因为,所以,C正确;
,D错误.
2.A ),∴O是△ABC的重心,
∴S△ABC∶S△OBC=3∶1.故选A.
3.ACD 易知,则,故,故A正确;
易知CF=2DE,故,故B错误;
,故C正确;
因为,故,故D正确.
4.C 易知方向上的单位向量,方向上的单位向量,
则表示的有向线段在∠BAC的平分线上,
由,
可得,即,
所以点P的轨迹为∠BAC的平分线所在直线,
故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.
故选C.
5.答案
解析 ,
所以x=,故x+y=.
6.答案 3∶5
解析 延长AC至点D,使AD=3AC,延长AM至点E,使AE=5AM,连接DE,BE,BD,如图所示.
∵5,
∴,
∴四边形ABED是平行四边形.
∵,
∴S△ABC=S△ABD,S△ABM=S△ABE,
∵S△ABD=S△ABE=S ABED,
∴S△ABM∶S△ABC=S△ABE∶S△ABD=3∶5.
7.C 因为a,b不共线,=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,所以易得互不共线,所以A,B,C三点不共线,B,C,D三点不共线,故A,D错误;
又=6a+6b,所以易得不共线,则A,C,D三点不共线,故B错误;
因为=2a+6b=2(a+3b)=2,所以A,B,D三点共线,故C正确.
8.BC 因为=0,所以=0,即,所以点P在线段EF上,向量不平行,||=2∶1,故A错误,B,C正确;设AB边上的高为h,因为E,F分别为AC,BC的中点,所以S△PAB=S△ABC,则S△PAC+S△PBC=S△ABC,又P为线段EF上靠近点F的三等分点,S△PAC=·PE·h,S△PBC=·PF·h,所以S△PAC=S△ABC,S△PBC=S△ABC,所以S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=3∶2∶1,故D错误.
10(共5张PPT)
知识 清单破
6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算
知识点 数乘向量
定义 给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,这种运算简称为数乘向量,记作λa.当λ=0或a=0时,λa=0
模 λa的模为|λ||a|(λ≠0且a≠0)
方向 当λ≠0且a≠0时,若λ>0,则λa与a的方向相同;若λ<0,则λa与a的方向相反
运算律 ①结合律:λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R);
②分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R);
③λa+μa=(λ+μ)a(λ,μ∈R)
向量的加法、向量的减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算.
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.实数λ与向量a的积还是向量. ( )
2.对于非零向量a,向量-6a与向量2a方向相反. ( )
3.向量-8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍. ( )
4.若b=λa(a≠0),则a与b的方向相同或相反. ( )
√
√
√
提示
当λ=0时,b=0,此时b的方向是任意的,不能得出a与b的方向相同或相反.
讲解分析
1.向量共线的判断思路是把两向量用共同的已知向量来表示,看它们能否互相表示,从而判断
是否共线.
2.向量共线的应用主要体现在利用向量法证明三点共线,关键是找到一个实数λ,使得b=λa,其
中a,b为由这三点构成的任意两个向量.证明步骤是先证明向量共线,再由表示这两向量的有
向线段有公共点证得三点共线.
疑难 情境破
疑难 向量共线的判断及应用
典例 如图所示,在△ABC中,D,F分别是边BC,AC的中点,且 = , =a, =b.求证:B,E,
F三点共线.
证明 如图,延长AD到G,使 =2 ,连接BG,CG,则四边形ABGC为平行四边形.
则 = + =a+b, = = (a+b), = = (a+b),
∴ = - = (a+b)-a= (b-2a).
∵ = = b,
∴ = - = b-a= (b-2a),
∴ = ,∴ ∥ .
又∵BE与BF有公共点B,
∴B,E,F三点共线.
