(共8张PPT)
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在
唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标.
在数轴上,指定与数轴正方向同向的单位向量e后,如果数轴上一点A对应的数为x(记为A(x),
也称点A的坐标为x),那么向量 对应的坐标为x;反之,这一结论也成立.
知识点 1 直线上向量的坐标
知识 清单破
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 6.2.3 平面向量的坐标及其运算
假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,即a=x1e,b=x2e,则a=b x1=x2.另外,a+b=(x1+
x2)e.
知识点 2 直线上向量的运算与坐标的关系
1.平面向量的正交分解
(1)平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作
a⊥b.
规定:零向量与任意向量都垂直.
(2)如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解
称为向量的正交分解.
2.平面向量的坐标
一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则
称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
知识点 3 平面向量的正交分解与坐标表示
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);a-b=(x1-x2,y1-y2);λa=(λx1,λy1);|a|= ;a∥b
x2y1=x1y2.
知识点 4 平面向量的坐标运算
1.两点之间的距离公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则A,B两点之间的距离为AB=| |=
.
2.中点坐标公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),则x= ,y= .
知识点 5 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( )
2.向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
3.在平面直角坐标系中,两个相等向量的坐标相同. ( )
4.向量a=(1,2)与b=(-3,-6)共线且同向. ( )
5.若a=(-3,2),b=(6,y),a∥b,则y=4.( )
提示
提示
提示
提示
向量的坐标与其始点、终点的具体位置无关,只与其始点、终点的相对位置有关.
只有以坐标原点O为始点的向量的坐标才是其终点的坐标.
√
因为b=(-3,-6)=-3(1,2)=-3a,所以a与b共线且反向.
∵a∥b,∴-3y=12,解得y=-4.
讲解分析
1.向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用向量的坐标运算法则进行求解;
(2)若已知向量始点和终点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),判断三点是否共线的方法:
任意写出由这三点构成的两个向量,计算出这两个向量的坐标,再通过向量共线的条件
进行判断.
3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),利用“a∥b x1y2-x2y1=0”可判断向量是否共线,也可以据此来求解向
量共线问题中的参数.
疑难 情境破
疑难 平面向量线性运算的坐标表示及应用
典例 已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线
(2)若 =2a+3b, =a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解析 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),
∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-5×(-1)=0,
即2k-4+5=0,
解得k=- .
(2)解法一:∵A,B,C三点共线,
∴设 =λ (λ∈R),
即2a+3b=λ(a+mb),
∴ 解得m= .
解法二: =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).
∵A,B,C三点共线,∴ ∥ ,
∴8m-3(2m+1)=0,
即2m-3=0,
解得m= .6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
基础过关练
题组 直线上向量的坐标及其运算
1.已知e为直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,且a=3e,b=-2e,则a,b的坐标分别为( )
A.3,-2 B.3,2
C.-3,2 D.-3,-2
2.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-1),则向量的坐标为( )
A.4 B.-4
C.±4 D.2
3.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-a),且的坐标为4,则a=( )
A.-1 B.-7
C.4 D.-4
4.若直线上的两向量a,b的坐标分别为-3,5,则向量3a-2b的坐标和模分别是( )
A.-19,19 B.21,21
C.-19,5 D.1,1
5.已知数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论错误的是( )
A.的坐标是2 B.
C.的坐标是4 D.
6.(多选题)已知e是直线l上的一个单位向量,a与b都是直线l上的向量,且a=-e,b=e,则下列式子正确的是( )
A.b=-a B.b=2a
C.|a+3b|= D.|a-b|=2
7.已知e为数轴上一单位向量,若=-4e,且B点坐标为2,则A点坐标为 ,线段AB的中点的坐标为 .
8.已知A,B,C三点在数轴上,且点B的坐标为3,||=2,则点C的坐标为 .
9.已知数轴上的点A(-2),B(x),C(3).
(1)若点A是线段BC的一个三等分点,求x的值;
(2)求||的最小值.
10.已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d.
(1)若的坐标为5,求c 的值;
(2)若||=6,求d的值;
(3)若,求证:3.
答案与分层梯度式解析
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
基础过关练
1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.AC
1.A
2.B 向量的坐标等于终点B的坐标减去始点A的坐标,即-1-3=-4.故选B.
3.B 的坐标为终点B的坐标减去始点A的坐标,即-a-3=4,∴a=-7.
故选B.
4.A 由题可知,向量3a-2b的坐标为3×(-3)-2×5=-19,向量3a-2b的模为|-19|=19.
5.C 易得的坐标为1-(-1)=2,故A中结论正确;向量的坐标为-1-5=-6,-3的坐标为-3×2=-6,所以,故B中结论正确;向量的坐标为1-5=-4,故C中结论不正确;向量的坐标为5-1=4,2=2×2=4,所以,故D中结论正确.
6.AC 由题意知a,b的坐标分别为-,∴a+3b的坐标为-,a-b的坐标为-=-1,
∴|a+3b|=,|a-b|=1.易知a=-2b,即b=-a.
故选AC.
7.答案 6;4
解析 设A点坐标为xA,由题意知-4=2-xA,
∴xA=6,∴线段AB的中点的坐标为=4.
8.答案 -4或0或6或10
解析 设A,C的坐标分别为xA,xC,则||=3-xA=5或||=xA-3=5,∴xA=-2或xA=8,∴||=xC-xA=xC-(-2)=2或||=xC-xA=xC-8=2或||=xA-xC=-2-xC=2或||=xA-xC=8-xC=2,解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6.
9.解析 (1)由题意得,所以-2-x=(3-x)或-2-x=(3-x),解得x=-或x=-12.
(2)||≥||=5,当且仅当同向时取等号,故||的最小值为5.
10.解析 (1)∵的坐标为5,∴c-(-4)=5,∴c=1.
(2)∵||=6,∴|d-(-2)|=6,
即d+2=6或d+2=-6,∴d=4或d=-8.
(3)证明:∵的坐标为c+4,的坐标为d+4,,∴c+4=
-3(d+4),即c=-3d-16.
∴3的坐标为3(d-c)=3d-3c=3d-3(-3d-16)=12d+48,
-4的坐标为-4(c+4)=-4c-16=-4(-3d-16)-16=12d+48,
∴3.
56.2.3 平面向量的坐标及其运算
基础过关练
题组一 平面向量的坐标表示
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是( )
A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)
2.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则=( )
A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j
3.已知A(1,2),B(5,4),C(x,3),D(-3,y),且,则x,y的值分别为 ( )
A.-7,-5 B.7,-5
C.-7,5 D.7,5
4.已知{a,b}是平面向量的一组基底,若m=xa+yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标.给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a-b,a+b}下的坐标为 .
题组二 平面向量的坐标运算
5.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则的值为( )
A.
C.
6.已知点O(0,0),向量=(6,-3),点P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是( )
A.
C.
7.(多选题)已知向量=(-2,4),则( )
A.=(-3,2)
B.||
C.
D.与
8.(多选题)如图所示,给出下列四个结论,其中正确的是( )
A.a+b B.a+b
C.a-b D.a+b
9.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).在以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线中,较长的对角线的长为( )
A.4
C.2
10.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),a,b,c,d∈R,规定运算“ ”:m n=(ac-bd,bc+ad),运算“※”:m※n=(a+c,b+d).设f=(p,q),若(1,2) f=(5,0),则(1,2)※f等于 ( )
A.(4,0) B.(2,0)
C.(0,2) D.(0,-4)
11.已知向量a=(1,x),b=(x-2,x),若|a+b|=|a-b|,则实数x等于 .
12.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,,AC与MN相交于点E.
(1)若(λ,μ∈R),求λ和μ的值;
(2)用向量.
题组三 向量平行的坐标表示
13.设向量a=(2,-1),b=(m,2)(m∈R),若向量a与a-b共线,则a+b=( )
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-4,2) D.(-2,-4)
14.已知向量a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),若b-c与a-c共线,则实数m= .
15.已知向量a=(4,-2),b=(-2,λ)(λ∈R),且a与b共线,则|3a+2b|= .
16.向量a,b,c在正方形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示,若向量λa+b(λ∈R)与c共线,则|λa-b|= .
17.平面内给定两个向量a=(1,2),b=(-3,2).
(1)若(ka+2b)∥(2a-4b),求实数k的值;
(2)若向量c为单位向量,且|c-b|=2,求c的坐标.
能力提升练
题组一 平面向量的坐标运算
1.(多选题)在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是( )
A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1)
2.将一圆周的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形去掉内部六条线段后可以形成一个正六角星,如图所示的正六角星以原点O为中心.若以O为始点,正六角星的12个顶点为终点的有向线段所表示的向量都能写成ax+by(a,b∈R)的形式,则a+b的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.窗花是贴在窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )
图1 图2
A. D.4
4.已知正方形PQRS的两条对角线交于点M,坐标原点O不在正方形内部,=(4,0),则向量等于 ( )
A.
C.
5.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为线段AB上靠近点B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点(包含端点).
(1)用;
(2)设,求λ,μ的取值范围.
题组二 向量平行的坐标表示
6.(多选题)已知向量=(t+3,t-8),若以A,B,C为顶点能构成三角形,则实数t可以为( )
A.-2 B. C.1 D.-1
7.设向量=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.9
8.已知两点P1(2,-1),P2(-1,3),点P在直线P1P2上,且||,则点P的坐标为 .
答案与分层梯度式解析
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
基础过关练
1.C 2.C 3.C 5.A 6.C 7.ABD 8.ACD 9.B
10.B 13.A
1.C 根据题中的平面直角坐标系,可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
2.C 记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=2i-j.
3.C 易得=(-3-x,y-3).
∵故选C.
4.答案
解析 由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),得p=a+2b.
设p在基底{a-b,a+b}下的坐标为(m,n),则p=m(a-b)+n(a+b),
所以p=(m+n)a+(n-m)b,
所以
所以p在基底{a-b,a+b}下的坐标为.
5.A 因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),
所以.
6.C 因为=(6,-3),
所以=(4,-6),
又因为点P是线段AB的三等分点,所以,
所以,
即点P的坐标为.
7.ABD =(-2,4)-(1,2)=(-3,2),A正确;|,
∴||,B正确;因为1×4≠2×(-2),所以不平行,C错误;与,D正确.
8.ACD 设每个小方格的长度为1,
则a=(1,1),b=(-1,1).
对于A,=(0,3),设=m1a+n1b(m1,n1∈R),则(0,3)=(m1-n1,m1+n1),解得m1=n1=,故a+b,A正确;
对于B,=(3,0),设=m2a+n2b(m2,n2∈R),则(3,0)=(m2-n2,m2+n2),解得m2=,故a-b,B错误;
对于C,=(2,1),设=m3a+n3b(m3,n3∈R),则(2,1)=(m3-n3,m3+n3),解得m3=,故a-b,C正确;
对于D,=(1,2),设=m4a+n4b(m4,n4∈R),则(1,2)=(m4-n4,m4+n4),解得m4=,故a+b,D正确.
9.B 以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为||.
因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),
所以=(-1,1),
所以=(4,4),
所以|,
因为2,所以较长的对角线的长为2.
10.B 由(1,2) f=(5,0),得
所以f=(1,-2),所以(1,2)※f=(1+1,2-2)=(2,0).
11.答案 1或-2
解析 ∵a+b=(x-1,2x),a-b=(3-x,0),∴|a+b|=,|a-b|=,
又∵|a+b|=|a-b|,∴x2+x-2=0,解得x=1或x=-2.
12.解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,1),B(2,0),C(2,1),M.
(1)易得=(0,1),
因为,即=(2λ,μ),所以所以λ=
.
(2)由题可设,t,m,n∈R.因为=(2,1),
所以(2,1)=,解得m=,
即,所以,
又因为M,E,N三点共线,所以t=1,解得t=,所以.
13.A 由题意得a-b=(2-m,-3),
若向量a与a-b共线,则2×(-3)=-(2-m),解得m=-4,则b=(-4,2),所以a+b=(-2,1).
14.答案
解析 ∵a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),∴b-c=(-1,2-m),a-c=(-3,3-m),
∵b-c与a-c共线,∴-1·(3-m)-(-3)(2-m)=0,解得m=.
15.答案 4
解析 因为a与b共线,所以4λ-(-2)×(-2)=0,解得λ=1,所以b=(-2,1),
所以3a+2b=(8,-4),
所以|3a+2b|=.
16.答案
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),
∴λa+b=(λ,λ-1).
∵λa+b与c共线,∴λ-2(λ-1)=0,∴λ=2,
∴λa-b=2(1,1)-(0,-1)=(2,3),
∴|λa-b|=.
17.解析 (1)ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4),因为(ka+2b)∥(2a-4b),
所以(k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0,解得k=-1.
(2)设向量c=(x,y),因为向量c为单位向量,
所以|c|==1①,
又因为c-b=(x+3,y-2),所以|c-b|=②,
由①②解得
所以c=(1,0)或c=.
能力提升练
1.BCD 2.D 3.A 4.D 6.ABD 7.C
1.BCD 设第四个顶点为C(x,y),
当OA是平行四边形OBAC的对角线时,有,即(1-x,1-y)=(3,0),解得即C(-2,1),
当OB是平行四边形OABC的对角线时,有,即(2,-1)=(x,y),解得即C(2,-1),
当OC是平行四边形OACB的对角线时,有,即(x-1,y-1)=(3,0),解得即C(4,1).
故选BCD.
2.D 建立如图所示的平面直角坐标系.
设x=(1,0),则y=).
由=ax+by得
则a+b=4.
同理,可得对应的a+b的值分别为5,1,由对称性知对应的a+b的值分别为-4,-5,-1,故a+b的最大值为5.故选D.
3.A 不妨设AB=2,以点A为坐标原点,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
因为正八边形内角和为(8-2)×180°=1 080°,
所以∠HAB=×1 080°=135°,
所以D(2+),
所以),
因为,
所以(2,2+2),
所以
解得所以λ+μ=.
4.D 由=(4,0),得P(0,3),S(4,0).根据题意作出如图所示的正方形PQRS,过R作RN⊥x轴,垂足为N,易知Rt△OSP≌Rt△NRS,所以SN=OP=3,RN=OS=4,则ON=7,所以点R的坐标为(7,4),所以.故选D.
5.解析 (1)因为M为线段AB上靠近点B的三等分点,所以),
又CB∥OA,且OA=2BC,故,
则,即.
(2)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),
因为点P在线段BC上运动(包含端点),所以可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,则=(m,1),由可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,
则μ=,λ=μ-1,因为m∈[0,1],所以m+2∈[2,3],故μ∈,λ∈.
6.ABD 由题意得=(t+5,t-9).
若以A,B,C为顶点能构成三角形,则A,B,C三点不共线,则向量不共线,
所以-3(t-9)-4(t+5)≠0,解得t≠1.故选ABD.
7.C 由题意得=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴≥4+2=8,当且仅当,即a=时取等号,故的最小值为8,故选C.
8.答案 (8,-9)或
解析 设P(x,y),则=(-1-x,3-y).
若点P在线段P1P2的反向延长线上,则.
所以即P(8,-9).
若点P在线段P1P2上,则.
所以即P.
若点P在线段P1P2的延长线上,显然不成立.
综上,点P的坐标为(8,-9)或.
15
