(共8张PPT)
§１ 指数幂的拓展
§2 指数幂的运算性质
知识点 1 指数幂的拓展
知识 清单破
1.分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn
=am,则称b为a的 次幂,记作b= .有时,也把 写成 的形式.
(2)正数的负分数指数幂:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义 = = .
2.无理数指数幂与实数指数幂
(1)若a>0,且α是一个无理数,则无理数指数幂aα是一个确定的实数.
(2)当a>0,α为任意实数时,实数指数幂aα都是有意义的,由此可以将有理数指数幂扩充到实数
指数幂.
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
知识点 2 指数幂的运算性质
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1. ∈R. ( )
√
2.当a>0时,(ar)s=(as)r. ( )
√
3. =π-3. ( )
√
4.分数指数幂 就是 个a(a>0)相乘. ( )
5.am÷an= (a>0). ( )
6.已知x>0,y>0,则 =(x+y . ( )
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 根式与分数指数幂的化简与计算
指数幂运算的原则与技巧
1.有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
2.负指数幂化为正指数幂的倒数.
3.底数是小数的,要先化成分数;底数是带分数的,要先化成假分数,尽可能用幂的形式表示,便
于利用指数幂的运算性质.
注意:化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数幂.
典例 (1)计算: × + +(-6)0+ ;
(2)化简: ÷ .
解析 (1) × + +(-6)0+ = × + +1+|2- |= + +1+ -2=2+ .
(2)因为 有意义,所以a>0,
所以原式= ÷ = ÷ =a÷a=1.
讲解分析
疑难 2 条件求值问题
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
1.对于条件求值问题,通常将已知条件或所求代数式进行恰当变形,从而通过“整体代入法”
求出代数式的值,“整体代入法”是代数式求值很常见的一种方法,其关键是观察式子的结
构特点灵活变形.
2.利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下(a>0,b>0):
(1)a±2 +b=( ± )2;
(2)( + )( - )=a-b;
(3) + =( + )(a- +b);
(4) - =( - )(a+ +b).
典例 已知 + = (a>0),求下列各式的值.
(1)a2+a-2;(2) .
解析 (1)将 + = 两边平方,得a+a-1+2=7,所以a+a-1=5,再将a+a-1=5两边平方,得a2+a-2+2=
25,故a2+a-2=23.
(2)由(1)得a+a-1=5,
因为 - =( )3-( )3,
所以原式= =a+a-1+1=5+1=6.第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质
基础过关练
题组一 根式与分数指数幂
1.已知x6=6,则x等于( )
A. B. C.- D.±
2.(多选题)下列选项中的值相等的是( )
A.(-1 B.
C.-和- D.
3.下列各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
题组二 指数幂的运算性质及其应用
4.若10x=3,10y=4,则103x-2y=( )
A.-1 B.1 C. D.
5.化简()÷(a,b>0)的结果为( )
A.6a B.-a C.-9a D.9a2
6.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β= ,(2α)β= .
7.计算:+0.2-2×-0.0810= .
8.若=am(a>0),则m= .
题组三 指数幂的条件求值问题
9.若x=1+2b,y=1+2-b,则y=( )
A. B. C. D.
10.设=m(a>0),则=( )
A.m2-2 B.2-m2 C.m2+2 D.m2
11.若10x=5,1=5,则10y-x= .
12.化简求值:
(1)-0.752+6-2×;
(2)若x+x-1=3,求下列各式的值:
①x2+x-2;②.
13.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:.
能力提升练
题组一 指数幂的运算性质及其应用
1.若3α=5,3β=6,则=( )
A. B.33α-2β C. D.325α-6β
2.化简(1+)·(1+)的结果是( )
A. B.
C.1- D.)
3.化简:(a>0,b>0)= .
4.计算或化简下列各式:
(1)+80.25×;
(2)(a,b>0).
题组二 指数幂的条件求值问题
5.a2x=-1(a>0),则等于( )
A.2-1 B.2-2
C.2+1 D.+1
6.若x+x-1=3,则=( )
A. B. C. D.
7.(多选题)设m,n是方程2x2+3x-1=0的两个实数根,则下列各式的值等于8的有( )
A.m2+n2 B.
C.64mn D.
8.若3a+2b=2,则= .
9.已知,求下列各式的值:
(1)+3;
(2)x2-x-2.
答案与分层梯度式解析
第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质
基础过关练
1.D 指数6是偶数,故当x6=6时,x=±,故选D.
2.BC 对于A,(-1=1,不符合题意;
对于B,,符合题意;
对于C,-,符合题意;
对于D,≠,不符合题意.
故选BC.
3.D 对于A,=n7m-7,故A错误;
对于B,,故B错误;
对于C,当x=1,y=2时,,此时≠(x+y,故C错误;
对于D,,故D正确.故选D.
4.C 103x-2y=.故选C.
5.C (·=-9a,故选C.
6.答案
解析 利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β=2-2=.
7.答案 -
解析 原式=.
8.答案
解析 ,所以m=.
9.D ∵x=1+2b,∴2b=x-1,∴y=1+2-b=1+.故选D.
10.C 将=m两边平方,得()2=m2,即a-2+a-1=m2,所以a+a-1=m2+2,即a+=m2+2,即=m2+2.故选C.
11.答案 5
解析 ∵10x=5,∴10-x=(10x)-1=5-1.
∵1=5,∴10y=52,
∴10y-x=10y·10-x=52·5-1=5.
12.解析 (1)原式=.
(2)①因为x+x-1=3,所以(x+x-1)2=x2+2+x-2=9,则x2+x-2=7.
②因为()2=x-2+x-1=1,所以=±1.
13.证明 令3a=4b=6c=t(t>0),
则3=.
因为3×2=6,所以·,即,
所以.
能力提升练
1.B ∵3α=5,3β=6,∴33α=53=125,32β=62=36,
∴=33α-2β.
2.A 原式=)·(1+)
=)·(1+)
=(1-)
=)
=(1-)
=.
3.答案
解析 .
4.解析 (1)
=+π-2
=+π-2=9.
(2)
=.
5.A -1,∴原式=-1.故选A.
6.A 将x+x-1=3两边平方,得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,
所以.故选A.
7.BD 因为m,n是方程2x2+3x-1=0的两个实数根,
所以由根与系数的关系可得m+n=-,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn==8,故选BD.
8.答案 3
解析 ,
∵3a+2b=2,∴=31=3.
9.解析 ∵)2-2=5-2=3,则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,
x-x-1=±.
(1)原式=+3
=.
(2)原式=(x+x-1)(x-x-1)=±3.
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