第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件
基础过关练
题组一 确定性现象与随机现象
1.一个不透明袋中装有6个白球,3个红球,这9个球除颜色外完全相同,现从中任取4个球,则下列现象为确定性现象的是( )
A.4个都是白球 B.至少有一个红球
C.4个都是红球 D.至少有一个白球
2.(多选题)下列现象为随机现象的是( )
A.当x是实数时,x-|x|=2
B.某班一次数学测试,及格率低于75%
C.从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团上的数字是偶数
D.从一副扑克牌中任意抽出一张是红桃5
题组二 事件类型的判断
3.下列说法中不正确的是( )
A.“在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾”是不可能事件
B.“某彩票中奖的概率为,则买10 000张这种彩票一定能中奖”是必然事件
C.“实数的绝对值不小于零”是必然事件
D.“将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和大于7”是随机事件
4.在10名学生中,男生有x名,现从这10名学生中任选6名参加某项活动,有下列事件:①选出的学生中至少有1名女生;②选出的学生中有5名男生,1名女生;③选出的学生中有3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x的值为( )
A.5 B.6 C.3或4 D.5或6
5.对满足A B的非空集合A,B,有下列四个命题:
①“若x A,则x∈B”是必然事件;
②“若x A,则x∈B”是不可能事件;
③“若x∈B,则x∈A”是随机事件;
④“若x B,则x A”是必然事件.
其中正确命题的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
题组三 样本点及样本空间
6.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
7.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为( )
A.3 B.5
C.6 D.9
8.先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一枚,观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件中包含3个样本点的是( )
A.至少有一枚硬币正面向上
B.只有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上
9.某棋类游戏的规则如下:棋子的初始位置在起点处.玩家每掷出一枚骰子,朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家一开始掷出的骰子点数为3,则走到炸弹所在位置),若踩到炸弹则返回起点重新开始,若走到终点则游戏结束.已知小明掷完三次骰子后,最后一步踩在终点,游戏恰好结束,则所有不同的情况种数为 .
10.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果记为(x,y).
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点总数;
(3)“x+y=5”这一事件包含哪几个样本点 “x<3且y>1”呢
(4)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点 “x=y”呢
题组四 随机事件的含义及应用
11.袋中有10个球,其中白球9个,黑球1个,这10个球除颜色以外完全相同.
(1)试验E1:从中有放回地依次摸取一个球,一共摸取10次,记录摸到黑球的次数.如果用k表示“摸到黑球的次数”这个结果,请指出下列随机事件的含义:
①事件A={0};②事件B={10};③事件C={6,7,8,9,10};④事件D={0,2,4,6,8,10};⑤事件E={0,1,2,3,4};⑥事件F={5};
(2)试验E2:从中有放回地依次摸取一个球,直到摸到的球是黑球为止,记录摸球的次数.如果用m表示“直到摸到的球是黑球为止,共摸取的次数”这个结果,请指出下列随机事件的含义:
①事件G={1};②事件H={10};③事件I={6,7,8,9,10,…};④事件J={1,2,3,4}.
12.一边长为2的正三角形ABC如图所示,三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,从A,B,C,D,E,F这6个点中任取4个点,记录每次选取的4点.试用样本点表示下列事件,并指出样本点的个数.
(1)事件J表示随机事件“选取的4点能构成平行四边形”;
(2)事件K表示随机事件“选取的4点能构成梯形”;
(3)事件L表示随机事件“选取的4点不能构成四边形”.
答案与分层梯度式解析
第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.1 随机现象 1.2 样本空间 1.3 随机事件
基础过关练
1.D
2.BCD 当x≥0时,x-|x|=0;当x<0时,x-|x|=2x<0,所以x-|x|不可能等于2,故A不是随机现象.由随机现象的定义知B,C,D均是随机现象.
3.B 在标准大气压下,水加热到100 ℃才会沸腾,所以A中事件是不可能事件;
某彩票中奖的概率为,仅代表中奖的可能性大小,所以买10 000张这种彩票不一定能中奖,即B中事件不是必然事件;
实数的绝对值不小于零,所以C中事件是必然事件;
将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和最小为2,最大为12,故“将一枚骰子抛掷两次,所得点数之和大于7”是随机事件.故选B.
4.C 由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,∴x=3或x=4.
5.C 对于①②,当A B时,显然存在满足x A,x∈B的元素,因此“若x A,则x∈B”是随机事件,故①②错误;
对于③,当A B时,“若x∈B,则x∈A”可能成立,也可能不成立,是随机事件,故③正确;
对于④,因为A B,所以“若x B,则x A”一定成立,是必然事件,故④正确.
故正确的命题有2个.故选C.
6.D
7.C 由题意得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个,故选C.
8.A 至少有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”3个样本点,故A符合题意;只有一枚硬币正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”2个样本点,故B不符合题意;两枚硬币都正面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币正面向上”1个样本点,故C不符合题意;两枚硬币中一枚正面向上,另一枚反面向上包括“一角硬币正面向上,五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上,五角硬币正面向上”2个样本点,故D不符合题意.故选A.
9.答案 21
解析 设小明掷三次骰子的点数为(x,y,z),x,y,z∈{1,2,3,4,5,6},则符合题意的情况有(3,4,5),(3,5,4),(3,6,3),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),(6,1,2),(6,2,1),共21种.
名师点拨 用列举法写试验结果时,首先明确事件发生的条件,再根据题意,按一定的次序列举,才能保证没有重复,也没有遗漏.
10.解析 (1)这个试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)由(1)知,这个试验的样本点总数为16.
(3)事件“x+y=5”包含4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);事件“x<3且y>1”包含6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)事件“xy=4”包含3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);事件“x=y”包含4个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
11.解析 (1)试验E1的样本空间Ω1={0,1,2,3,…,9,10},样本点的个数为11.
①事件A={0}的含义为10次摸到的全为白球,没有摸到黑球.
②事件B={10}的含义为10次摸到的全为黑球,没有摸到白球.
③事件C={6,7,8,9,10}的含义为摸到黑球的次数至少为6.
④事件D={0,2,4,6,8,10}的含义为摸到黑球的次数为偶数.
⑤事件E={0,1,2,3,4}的含义为摸到黑球的次数至多为4.
⑥事件F={5}的含义为5次摸到白球,5次摸到黑球.
(2)试验E2的样本空间Ω2={1,2,3,4,5,…},样本点有无穷多个.
①事件G={1}的含义为第1次就摸到黑球,摸球进行了1次.
②事件H={10}的含义为前9次摸到的球都是白球,直到第10次才摸到黑球,摸球进行了10次.
③事件I={6,7,8,9,10,…}的含义为前5次摸到的球都是白球,摸球至少进行了6次.
④事件J={1,2,3,4}的含义为至多需要4次即可摸到黑球,摸球至多进行了4次.
12.解析 样本空间Ω={ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF},样本点的个数为15.
(1)事件J={ADEF,BDEF,CDEF},样本点个数为3.(2)事件K={ABEF,ACDE,BCDF},样本点个数为3.(3)事件L={ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ACDF,ACEF,BCDE,BCEF},样本点的个数为9.
1第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.4 随机事件的运算
基础过关练
题组一 事件的运算
1.某试验E的样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},事件A={(1,0),(0,1)},事件B={(0,1),(0,0)},则事件A∩B=( )
A.{(1,0),(0,1),(0,0)} B.{0,1}
C.{(0,1)} D.{(1,0)}
2.抛掷一枚骰子,记“朝上的面的点数是1或2”为事件A,“朝上的面的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B
B.A=B
C.事件A+B表示朝上的面的点数是1或2或3
D.事件AB表示朝上的面的点数是1或2或3
3.(多选题)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动,有如下随机事件:A=“至少有一个女生”,B=“至少有一个男生”,C=“恰有一个男生”,D=“两个都是女生”,E=“恰有一个女生”.下列结论正确的有( )
A.C=E B.A=B
C.D∩E≠ D.B∩D= ,B∪D=Ω
4.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽5件,现给出以下四个事件:A=“恰有1件次品”,B=“至少有2件次品”,C=“至少有1件次品”,D=“至多有1件次品”,并给出以下结论:①A+B=C;②B+D是必然事件;③A+C=B;④A+D=C.其中正确的结论为 .(填序号即可)
5.在抛掷一枚骰子,观察其朝上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点数出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点为 .
6.某电路如图所示,用A表示事件“灯泡变亮”,用B,C,D依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A= .
(用B,C,D间的运算关系式表示)
7.掷一枚骰子,设事件A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“出现的点数小于3”,D=“出现的点数大于2”,E=“出现的点数是3的倍数”.求:
(1)A∩B,B∩C;
(2)A∪B,B∪C;
(3)∩C,∪C,.
8.试验E:箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记随机事件A为“拿出的手套配不成对”;随机事件B为“拿出的是同一只手上的手套”;随机事件C为“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”.
(1)写出试验E的样本空间Ω,并指出样本点的个数;
(2)分别用样本点表示随机事件A、随机事件B、随机事件C,并指出每个随机事件的样本点的个数;
(3)写出A∩B,B∩C,A∩C,B∪C.
题组二 互斥事件与对立事件
9.湘西州有甲、乙两个草原供游客休闲旅游,暑假期间龙龙和他的家人到湘西州旅游.记事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一个草原”,事件G=“至多去一个草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件 B.F与I是对立事件
C.F与G是互斥事件 D.G与I是互斥事件
10.袋内装有8个红球、2个白球,从中任取2个球,其中是互斥而不对立事件的是( )
A.至少有一个白球与全部都是红球
B.至少有一个白球与至少有一个红球
C.恰有一个白球与恰有一个红球
D.恰有一个白球与全部都是红球
11.(多选题)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动,中奖名额不限,设事件A为“甲中奖”,事件B为“乙中奖”,事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”,则( )
A.A与B为互斥事件
B.B与C为对立事件
C.A∩B与为互斥事件
D.与C为对立事件
12.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1~10各1张)中任取一张.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
判断上面给出的每对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1.4 随机事件的运算
基础过关练
1.C ∵A={(1,0),(0,1)},B={(0,1),(0,0)},∴A∩B={(0,1)}.
故选C.
2.C 由已知得A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以事件A+B表示朝上的面的点数为1或2或3,故选C.
3.AD 对于A,事件C,E均为“1个男生1个女生”,则C=E,A正确;
对于B,事件A为“1个男生1个女生或2个女生”,B为“1个男生1个女生或2个男生”,则A≠B,B错误;
对于C,事件D为“两个都是女生”,E为“1个男生1个女生”,包含的样本点不相同,则D∩E= ,C错误;
对于D,事件B为“1个男生1个女生或2个男生”,D为“两个都是女生”,则B∩D= ,B∪D=Ω,D正确.故选AD.
4.答案 ①②
解析 由于事件A“恰有1件次品”和事件B“至少有2件次品”的和表示事件“至少有1件次品”,即事件C,故A+B=C,即①成立.
由于事件B“至少有2件次品”和事件D“至多有1件次品”至少有一个发生,故B+D是必然事件,即②成立.
由于A+C=C,而C≠B,所以A+C≠B,故③不成立.
由于A+D=D,而D≠C,所以A+D≠C,故④不成立.
故答案为①②.
5.答案 2,4,5,6
解析 该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4},B={1,2,3,4},所以={5,6},所以A∪={2,4,5,6}.
6.答案 B∩(C∪D)(或(BC)∪(BD))
解析 由题图可得“灯泡变亮”即“开关Ⅱ与开关Ⅲ至少有一个闭合”且“开关Ⅰ闭合”,因此A=B∩(C∪D)=(BC)∪(BD).
7.解析 由题意得A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(1)A∩B= ,B∩C={2}.
(2)A∪B={1,2,3,4,5,6},B∪C={1,2,4,6}.
(3)易得={1,2,4,5},
∴∩C={2},∪C={1,2,3,5},∪={1,2,4,5}.
8.解析 (1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,其中a1,b1,c1分别代表左手的3只手套,a2,b2,c2分别代表右手的3只手套.试验E的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},样本点的个数为15.
(2)随机事件A={(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2)},样本点的个数为12.
随机事件B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)},样本点的个数为6.
随机事件C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)},样本点的个数为6.
(3)A∩B={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2)};
B∩C= ;
A∩C={(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)};
B∪C={(a1,b1),(a1,c1),(b1,c1),(a2,b2),(a2,c2),(b2,c2),(a1,b2),(a1,c2),(a2,b1),(a2,c1),(b1,c2),(b2,c1)}.
9.B 事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“甲、乙两个草原都去”三种情况;
事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三种情况;
事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两种情况.
对于A,C,D,两个事件均有可能同时发生,都不是互斥事件;
对于B,事件F与I不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故B正确.故选B.
方法技巧 判断互斥事件与对立事件时要牢记对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两个事件都是不可能同时发生的事件,但对立事件还需要满足必有一个发生.
10.D 对于A,事件“至少有一个白球”包含“2个白球”“1红1白”,与事件“全部都是红球”不可能同时发生,但必有一个发生,故为对立事件,不符合题意;
对于B,事件“至少有一个红球”包含“2个红球”“1红1白”,结合A知两个事件的交事件为“1红1白”,不是互斥事件,不符合题意;
对于C,两事件均为“1红1白”,为同一事件,不符合题意;
对于D,结合C知两事件不可能同时发生,但可能同时不发生,即“2个白球”,是互斥而不对立事件,符合题意.故选D.
11.CD 对于A,B,两个事件均有可能同时发生,A,B错误;
对于C,事件A∩B为甲、乙都中奖,事件为甲、乙都不中奖,两事件不可能同时发生,所以A∩B与为互斥事件,C正确;
对于D,事件∩表示甲、乙都不中奖,事件∩与C不可能同时发生,但必有一个发生,故两事件为对立事件,D正确.故选CD.
12.解析 (1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红桃”与“抽出黑桃”这两个事件不可能同时发生,所以是互斥事件.由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,所以两个事件可能都不发生,因此,二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”这两个事件不可能同时发生,但必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)既不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:从40张扑克牌中任取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然也不可能是对立事件.
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§１ 随机现象与随机事件
知识点 1 确定性现象与随机现象
知识 清单破
1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象.
2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言
会出现哪一种结果的现象.
在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E来
表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元
素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是
有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
知识点 2 样本空间
知识点 3 随机事件、必然事件与不可能事件
1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表
示.
2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,
每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
3.不可能事件:空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在
每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
知识点 4 随机事件的运算
名称 定义 符号表示 图形表示
交事件(或积事件) 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
并事件(或和事件) 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的
事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
互斥事件 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件 A∩B=
对立事件 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作 A∪B=Ω,且A∩B=
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.从10个玻璃杯(其中8个正品,2个次品)中任取3个,“3个都是次品”是随机事件. ( )
因为其中共有2个次品,所以“3个都是次品”是不可能事件.
提示
2.一个家庭中两个小孩性别的所有样本点有(男,女),(男,男),(女,女). ( )
把第一个孩子的性别写在前面,第二个孩子的性别写在后面,则所有的样本点是(男,
男),(男,女),(女,男),(女,女).
提示
3.“事件A与事件B互斥”是“事件A的对立事件是B”的充要条件. ( )
对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,故“事件A与事件B互斥”
是“事件A的对立事件是B”的必要不充分条件.
提示
4.若事件A与事件B互斥,则A∩B一定为不可能事件. ( )
若事件A与事件B互斥,则A与B不可能同时发生,即A∩B一定为不可能事件.
√
提示
5.打靶2次,事件Ai表示“击中i次”,其中i=0,1,2,那么A=A1∪A2表示至少击中1次. ( )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 样本点与样本空间的确定
1.样本点的性质
(1)是不能再分的最简单的随机事件;
(2)不同的样本点不可能同时发生.
2.探求样本空间中的样本点常用的三种方法
(1)列举法:把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作列举法.列举法是计数问题
中最基本的方法.
(2)列表法:将样本点用表格的形式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数以及要求事件
所包含的样本点数.列表法适用于互不影响的两步试验问题,例如抛掷两枚骰子.
(3)树状图法:用树状的图形把样本点列举出来的一种方法,树状图法便于分析多步试验的较
复杂问题.
典例1 一个盒子中装有标号分别为1,2,3,4,5的5张标签,随机抽取两次,每次抽取一张标签,写
出下列试验的样本空间.
(1)标签的抽取是不放回的;
(2)标签的抽取是有放回的.
解析 用(x,y)表示抽取的结果,其中x表示第一次抽取的标签上的数字,y表示第二次抽取的标
签上的数字.
(1)若标签的抽取是不放回的,则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),
(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.
(2)若标签的抽取是有放回的,则2张标签上的数字情况如表:
第一次 第二次 1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
所以样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)}.
典例2 袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球,这4个球除颜色、标号外
完全相同,4个人按顺序不放回地依次从中摸出1个球,求所有样本点的个数.
解析 4个人按顺序不放回地依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如下:
故所有样本点的个数为24.
讲解分析
疑难 2 互斥事件与对立事件的判断
1.互斥事件与对立事件的区别与联系
A与B是互斥事件 A与B是对立事件
区别1 包含情况:①A发生,B不发生;②B发生,A不发生;③A,B都不发生 包含情况:①A发生,B不发生;②B发生,A不发生
区别2 A∪B不一定是必然事件 A∪B是必然事件
区别3 事件A(或B)的互斥事件可以有多个 事件A(或B)的对立事件只有一个
联系 互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生,对立事件是互斥事件的特殊情况,即对立必互斥,但互斥不一定对立 2.从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
(2)若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω(Ω为全集).
典例 某商场有甲、乙两种电子产品可供顾客选购.记事件A表示“只买甲种产品”,事件B表
示“至少买一种产品”,事件C表示“至多买一种产品”,事件D表示“不买甲种产品”,事件
E表示“一种产品也不买”,事件F表示“只买乙种产品”.判断下列事件是不是互斥事件,如
果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;
(4)B与C;(5)C与E;(6)A与F.
解析 (1)“至多买一种产品”包含“只买甲种产品”,所以A与C不是互斥事件.
(2)“至少买一种产品”与“一种产品也不买”不可能同时发生,并且事件B与事件E包含了
所有的可能事件,所以B与E既是互斥事件又是对立事件.
(3)“至少买一种产品”包含“不买甲种产品”,所以B与D不是互斥事件.
(4)“至少买一种产品”包含“只买一种产品”,而“至多买一种产品”也包含“只买一种
产品”,所以B与C不是互斥事件.
(5)“至多买一种产品”包含“一种产品也不买”,所以C与E不是互斥事件.
(6)“只买甲种产品”与“只买乙种产品”不可能同时发生,但事件A与事件F不包括所有的
可能事件,所以A与F是互斥事件但不是对立事件.
名师点睛 1.互斥事件是在一次试验中不可能同时发生的两个(或多个)事件,而对立事件是
对两个事件而言的,即在一次试验中必有一个要发生且另一个必不发生.
2.解决此类问题的关键是明晰“只有”“至少”“至多”“都”等关键词.
讲解分析
疑难 3 事件的运算
1.利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果(可以是样本点,也可
以是具有相同特点的一些样本点的集合),分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2.利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些
结果在图中列出,从而进行运算.
典例1 已知随机试验E的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},随机事件A={2,4,5,8},随机事件B={1,
3,5,8},求 , , ∩ , ∪ .
解析 解法一:由题意得A∪B={1,2,3,4,5,8},A∩B={5,8},
∵Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
∴ ={6,7,9}, ={1,2,3,4,6,7,9}, ={1,3,6,7,9}, ={2,4,6,7,9},
∴ ∩ ={6,7,9}, ∪ ={1,2,3,4,6,7,9}.
解法二:作出 Venn图, 如图所示,
由图可得, ={6,7,9}, ={1,2,3,4,6,7,9}, ∩ ={6,7,9}, ∪ ={1,2,3,4,6,7,9}.
典例2 连续投掷一枚均匀的硬币3次,用Ai表示第i(i=1,2,3)次正面朝上,试用文字叙述下列事
件.
(1)A1∪A2;
(2)A1∪A2∪A3;
(3) A3;
(4) ;
(5) ;
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.
解析 (1)A1∪A2表示3次投掷硬币中,第1次和第2次至少有1次正面朝上.
(2)A1∪A2∪A3表示3次投掷硬币中,至少有1次正面朝上.
(3) A3表示3次投掷硬币中,第2次反面朝上且第3次正面朝上.
(4) 表示3次投掷硬币中,第1次和第2次均反面朝上.
(5) 表示3次投掷硬币中,第1次和第2次,1次正面朝上1次反面朝上或2次均反面朝上.
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3表示3次投掷硬币中,至少有2次正面朝上.
