第七章 概率
§4 事件的独立性
基础过关练
题组一 事件独立性的判断
1.袋内装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸出一个球,若用事件A表示“第一次摸得白球”,事件B表示“第二次摸得白球”,事件C表示“第二次摸得黑球”,那么事件A与B,A与C之间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
2.(多选题)甲、乙两人各投掷一枚骰子,下列说法正确的是 ( )
A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”是互斥事件
B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件
C.事件“甲、乙都投得6点”与事件“甲、乙都没有投得6点”是对立事件
D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没有投得6点”是相互独立事件
3. (多选题)设A,B为两个随机事件,以下命题正确的为( )
A.若A,B是互斥事件,P(A)=,则P(A∪B)=
B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
C.若事件A与事件B相互独立,P(A)=,则P(A
D.若P(,且P(,则A与B相互独立
题组二 事件独立性的概率计算
4.(多选题)已知事件A,B是相互独立事件,且P(,则( )
A.P(A)= B.P(B)=
C.P(A D.P(
5.如图所示,转动两个转盘,停止后,指针指向每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时指向奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
6.某校进行定点投篮训练,甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮,投中的概率分别为,p,已知每个人投篮互不影响,若这三个同学各投篮一次,至少有一人投中的概率为,则p=( )
A. B. C. D.
7. 如图所示的电路有a,b,c,d四个开关,每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为( )
A. B. C. D.
8.一个盒子里有3个分别标有1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取两次,则在两次取球中,标号的最大值是3的概率为( )
A. B. C. D.
9.甲、乙两名实习生每人各加工一个零件,若甲实习生加工的零件为一等品的概率为,乙实习生加工的零件为一等品的概率为,两个零件能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 .
10.同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5,且各题是否答对相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率是 .
11.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行,每部分成绩只记“合格”与“不合格”,两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为,在面试部分合格的概率分别为,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试,谁被录取的可能性最大
(2)当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后,不考虑其他因素,求三人中至少有一人被录取的概率.
12.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育,某校组织了一次国家安全知识竞赛,已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为,p,且三人答题互不影响.
(1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率;
(2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对此题的概率为,求p的值.
能力提升练
题组 事件独立性的概率计算
1.袋子里装有形状和大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,A表示事件“第一次取出的球上数字是1”,B表示事件“第二次取出的球上数字是2”,C表示事件“两次取出的球上数字之和是5”,D表示事件“两次取出的球上数字之和是6”,通过计算,可以得出( )
A.B与D相互独立 B.A与D相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
2.(多选题)甲、乙两人准备各买一部手机,购买A品牌手机的概率分别为0.8,0.9,购买黑色手机的概率分别为0.7,0.5,若甲、乙两人购买哪款手机、哪种颜色互相独立,则( )
A.甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.26
B.甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.24
C.甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3
D.甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为0.758
3.甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式,当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,投掷3次骰子后,球在甲手中的概率为( )
A. B. C. D.
4.竖直平面内的一些通道如图所示,图中线条均表示通道,一钢珠从
入口E处自上而下沿通道自由落下,钢珠在每个分岔口落向两侧的概率相等,则其落到B处的概率是 .
5.甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动,老师在一个不透明箱子内放入形状与质地相同的20个球,其中有10个红球,10个白球,每人每次只能抽取一个球.规定:①每次抽取后放回并摇匀;②甲同学只能抽取一次,乙同学可以抽取两次;③两人中抽到的红球个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品的概率是 .
6.甲、乙两位同学进行跳绳比赛,比赛规则如下:进行两轮跳绳比赛,每人每轮比赛在规定时间内跳绳200次及以上得1分,跳绳不够200次得0分,两轮结束总得分高的为跳绳王,得分相同则进行加赛直至有一方胜出为止.根据以往成绩分析,已知甲在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,乙在规定时间内跳绳200次及以上的概率为,且每轮比赛中甲、乙两人跳绳的成绩互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率;
(2)求不进行加赛甲成为跳绳王的概率.
答案与分层梯度式解析
第七章 概率
§4 事件的独立性
基础过关练
1.A 由于摸球是有放回的,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立,而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
2.AB 在A中,两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件;
在B中,“甲投得6点”发生与否对“乙投得5点”发生的概率没有影响,二者是相互独立事件;
在C中,两事件不可能同时发生,二者是互斥事件,但可能同时不发生,如“甲投得6点”“乙投得3点”,故两事件不是对立事件;
在D中,两事件可能同时发生,故不是相互独立事件.
故选AB.
3.BC 对于A,由互斥事件的概率加法公式知P(A∪B)=,故A错误;
对于B,由对立事件的概率公式知P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B正确;
对于C,若事件A与事件B相互独立,则A与也相互独立,易知P(,则P(A,故C正确;
对于D,由P(,得P(B)=,又P(,所以P(≠P(B),则与B不相互独立,故A与B也不相互独立,故D错误.
故选BC.
4.ACD 由题意得
解得P(A)=,A正确,B错误;
P(A,C正确;
P(,D正确.
故选ACD.
5.A “左边转盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)=,“右边转盘指针落在奇数区域”记为事件B,则P(B)=,因为事件A,B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为,故选A.
6.D 由题意可知1-,解得p=.故选D.
7.C 记“c,d至少有一个闭合”为事件M,则P(M)=1-,所以灯泡亮的概率P=.故选C.
8.C 记每次取到标号为3的球为事件A,则P(A)=,且每次取球是相互独立的.
记在两次取球中,标号的最大值是3为事件M,其对立事件是两次都没有取到标号为3的球,
则P(,则P(M)=1-P(,
所以在两次取球中,标号的最大值是3的概率为.
故选C.
9.答案
解析 甲实习生加工的零件为一等品且乙实习生加工的零件不是一等品的概率为,
乙实习生加工的零件为一等品且甲实习生加工的零件不是一等品的概率为,
所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.
10.答案 0.46
解析 设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)发生,故所求概率P=P[(A1∩A2∩A3)∪(A1∩∩A3)∪(∩A2∩A3)]
=P(A1∩A2∩A3)+P(A1∩∩A3)+P(∩A2∩A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()·P(A2)P(A3)
=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5
=0.46.
11.解析 (1)记甲、乙、丙被录取分别为事件A,B,C,则A,B,C相互独立,
则P(A)=,
∵P(A)
(2)记三人中至少有一人被录取为事件D,
则D与∩∩互为对立事件,
∴P(D)=1-P(∩∩.
∴三人中至少有一人被录取的概率为.
12.解析 (1)设事件A为“甲答对”,B为“乙答对”,
则P(A)=,
“甲、乙两位同学恰有一个人答对”的事件为A∪B,且A与B互斥,
因为三人答题互不影响,所以A与B相互独立,则A与与B均相互独立,
则P(A∪.
所以甲、乙两位同学恰有一个人答对此题的概率为.
(2)设事件C为“丙答对”,则P(C)=p,P()=1-p,
设事件D为“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”,
则P(D)=1-P(,解得p=.
所以p的值为.
方法总结 求复杂事件概率的两种方法
(1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;
(2)间接法:先求该事件的对立事件的概率,再由互为对立事件的概率之和为1求解.当题目为“至多”“至少”型问题时多考虑用间接法.
能力提升练
1.C 由题意可得P(A)=,
有放回地随机取两次,每次取1个球,两次取出的球上数字之和是5的情况有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),共4种,所以P(C)=;
两次取出的球上数字之和是6的情况有(2,4),(4,2),(3,3),共3种,故P(D)=.
对于A, P(BD)=,则P(BD)≠P(B)P(D),故B与D不是相互独立事件,故A错误;
对于B, P(AD)=0,P(A)P(D)=,则P(AD)≠P(A)P(D),故A与D不是相互独立事件,故B错误;
对于C,P(BC)=,则P(BC)=P(B)P(C),故B与C是相互独立事件,故C正确;
对于D,P(CD)=0,P(C)P(D)=,则P(CD)≠P(C)P(D),故C与D不是相互独立事件,故D错误.故选C.
2.ABD 对于A,甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故A正确;
对于B,甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.8×0.3=0.24,故B正确;
对于C,甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3×0.5=0.15,故C错误;
对于D,甲购买A品牌黑色手机的概率为0.8×0.7=0.56,乙购买A品牌黑色手机的概率为0.9×0.5=0.45,
则甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为1-(1-0.56)×(1-0.45)=0.758,故D正确.
故选ABD.
3.D 投掷3次骰子后,球在甲手中,共有4种情况:
①甲→甲→甲→甲,其概率为;
②甲→甲→乙→甲,其概率为;
③甲→乙→甲→甲,其概率为;
④甲→乙→丙→甲,其概率为.
所以投掷3次骰子后,球在甲手中的概率为.故选D.
4.答案
解析 钢珠从E处落下,①有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HJ,经JM后有的概率落到MN,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P1=;
②有的概率落到EF,经FH后有的概率落到HK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P2=;
③有的概率落到EG,经GI后有的概率落到IK,经KO后有的概率落到ON,最后落到B处,即钢珠从E处落下,沿此路径落到B处的概率P3=.
所以钢珠从E处落下,落到B处的概率P=P1+P2+P3=.
5.答案
解析 甲、乙两位同学抽取一次抽到红球或者白球的概率都是,每次摸球相互独立,乙同学要获得奖品,需要比甲同学抽到的红球多,可能的情况有:
①甲抽到红球,乙抽到两个红球,概率为;
②甲抽到白球,乙先抽到红球,再抽到白球,概率为;
③甲抽到白球,乙先抽到白球,再抽到红球,概率为;
④甲抽到白球,乙抽到两个红球,概率为.
所以乙获得奖品的概率是.
6.解析 设Ai=“甲第i轮得一分”,Bi=“乙第i轮得一分”,Cj=“两轮比赛甲得j分”,Dj=“两轮比赛乙得j分”,其中i=1,2,j=0,1,2.
(1)P(D1)=P(B1∪.
所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为.
(2)设E=“不进行加赛甲成为跳绳王”.
由题意得P(D0)=P(,
P(C1)=P(A1∪,
P(C2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,
则P(E)=P(C2D1∪C2D0∪C1D0)=P(C2D1)+P(C2D0)+P(C1D0)
=P(C2)P(D1)+P(C2)P(D0)+P(C1)P(D0)=.
所以不进行加赛甲成为跳绳王的概率为.
2(共10张PPT)
§4 事件的独立性
知识点 随机事件的独立性
知识 清单破
1.定义:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独
立事件.
2.概率公式:两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即
P(AB)=P(A)P(B).
3.性质:(1)如果事件A与事件B相互独立,则A与 , 与B, 与 也相互独立.
(2)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的
积,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).并且此式中任意多个事件Ai(i=1,2,…,n)换成其
对立事件 后等式仍成立.
相互独立事件 互斥事件
判断 方法 一个事件是否发生对另一个
事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生,即
A∩B=
概率 公式 A与B相互独立等价于P(A∩B)=P(A)·P(B) 若A与B互斥,则P(A∪B)=
P(A)+P(B),反之不成立
4.相互独立事件与互斥事件的区别
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.若两事件相互独立,则两事件一定互斥. ( )
2.必然事件Ω、不可能事件 都与任意事件A相互独立. ( )
由P(A)=P(Ω∩A)=P(Ω)·P(A)=P(A),P( )=P( ∩A)=P( )·P(A)=0知结论成立.
√
提示
3.若P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,则事件E与事件F相互独立. ( )
因为P(E)=0.3,P(F)=0.4,P(EF)=0.12,所以P(EF)=P(E)·P(F),所以事件E与事件F相互独立.
√
提示
4.若A,B相互独立,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则A,B都不发生的概率为0.3. ( )
√
5.运动员甲射击一次,事件“射中9环”与“射中8环”相互独立. ( )
射击一次,事件“射中9环”与“射中8环”不可能同时发生,即P(AB)=0,因此“射中9
环”与“射中8环”不相互独立.
提示
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 判断事件的独立性
判断两个事件是否相互独立的方法
1.直接法:直接判断一个事件是否发生对另一个事件发生的概率有没有影响.
2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立,即两个事件同时发生的概率是否等于两个事件发生
的概率的乘积.
3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 或 与B或 与 是否相互独
立.
典例 有6个相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲
表示事件“第一次取出的球上的数字为2”,乙表示事件“第二次取出的球上的数字为3”,
丙表示事件“两次取出的球上的数字之和为8”,丁表示事件“两次取出的球上的数字之和
为7”,则 ( )
A.丙与丁相互独立 B.甲与丙相互独立
C.乙与丙相互独立 D.乙与丁相互独立
D
解析 两次取出的球上的数字之和为8,有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种情况,则P(丙)=
= ,
两次取出的球上的数字之和为7,有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况,则P(丁)= =
,
易知P(甲)=P(乙)= .
P(丙丁)=0≠P(丙)·P(丁),故A错误;
P(甲丙)= ≠P(甲)·P(丙),故B错误;
P(乙丙)= ≠P(乙)·P(丙),故C错误;
P(乙丁)= =P(乙)·P(丁),故D正确.
故选D.
讲解分析
疑难 2 求复杂事件的概率
1.已知简单事件的概率,求复杂事件的概率的一般步骤
(1)事件表示:将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示;
(2)事件运算:将已知概率的事件进行适当运算,得到要求概率的事件;
(3)求概率:利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求相关概率.
当将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类较多,而其对立面的分类较少时,
考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”的思想来求解.它常用来求“至少”“至
多”型事件的概率.
2.已知事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),我们有如下结论:
事件 表示 概率(A,B互斥) 概率(A,B相互独立)
A,B中至少有一个发
生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P( )P( )或P(A)+
P(B)-P(AB)
A,B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A,B都不发生 P( ) 1-[P(A)+P(B)] P( )P( )
A,B中恰有一个发生 P(A ∪ B) P(A)+P(B) P(A)P( )+P( )P(B)
A,B中至多有一个发生 P( ∪A ∪ B) P(A)或P(B) 1-P(A)P(B)
典例 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已
知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率;
(2)红队中至少有两名队员获胜的概率.
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 , , 分别表示A胜甲、B胜乙、
C胜丙.
因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,
所以由对立事件的概率公式知P( )=0.4,P( )=0.5,P( )=0.5.
(1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ ∩ , ∩E∩ , ∩ ∩F,以上三个事件两
两互斥且各盘比赛结果相互独立.
因此红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ ∩ )∪( ∩E∩ )∪( ∩ ∩F)]
=P(D∩ ∩ )+P( ∩E∩ )+P( ∩ ∩F)
=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35.
(2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ ,D∩ ∩F, ∩E∩F,以
上四个事件两两互斥且各盘比赛结果相互独立.
因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ )+P(D∩ ∩F)+P( ∩
E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55.
解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中至多有一名队员获胜”为对立事件,而
红队都不获胜为事件 ∩ ∩ ,且P( ∩ ∩ )=0.4×0.5×0.5=0.1.
因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( ∩ ∩ )=1-0.35-0.1=0.55.
方法总结 处理事件的独立性问题主要用到直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题
时可以考虑使用间接法求解.