甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·靖远模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2024高三上·靖远模拟）椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆，则离心率为.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用离心率公式直接求解即可.
3．（2024高三上·靖远模拟） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
4．（2024高三上·靖远模拟）2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（ ）
A．这组数据的众数为 B．这组数据的极差为
C．这组数据的分位数为 D．这组数据的平均数大于
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 失业率从小到大排列，
A、这组数据的众数为和，故A错误；
B、这组数据的极差为，故B错误；
C、，则这组样本数据的分位数为，故C错误；
D、数据的平均数为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先将失业率从小到大排列，再由众数 极差 百分位数和平均数计算公式求解即可.
5．（2024高三上·靖远模拟）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得：，
在中，由余弦定理可得
则乙船至少需要航行的海里数为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
6．（2024高三上·靖远模拟）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、由图可知：，故A错误；
B、函数为偶函数，且，故B正确；
C、函数为偶函数，在上单调递减，故C错误；
D、函数定义域为，定义域不关于原点对称，则函数为危非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
7．（2024高三上·靖远模拟）已知函数在上单调递增.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为函数 在上单调递增 ，
所以对恒成立，即，
又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
8．（2024高三上·靖远模拟）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，将三棱柱补成正方体，如图所示：
易知该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，设三棱锥外接球的半径为，
则该三棱锥外接球的半径为，
因为该三棱锥外接球的表面积为，所以，解得，
则该三棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】将三棱柱补成正方体，借助正方体的外接球求解正方体的棱长，再根据三棱锥的体积公式求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·靖远模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．与的图象关于直线对称
D．与的图象在上有公共点
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数；
A、由分析可得，故A错误；
B、，
故B正确；
C、由题可得，故C正确；
D、当时，，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，代值计算即可判断AB；由函数对称性的定义即可判断C；由函数的值域即可判断D.
10．（2024高三上·靖远模拟）已知分别是等轴双曲线的左 右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C． D．四边形的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、双曲线为等轴双曲线，所以的渐近线方程为，故A正确；
BC、如图所示：
设在第一象限，由题意可得：，
①式平方，得，
则，，
故B正确，C错误；
D、设点，由题意可得，解得，
则矩形的面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等轴双曲线求的渐近线方程即可判断A；由双曲线的定义结合，解方程求出，即可判断B，C；设，矩形的面积为即可判断D.
11．（2024高三上·靖远模拟）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．是的一个极小值点 D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、 函数的定义域为， 满足，
则函数的图象关于直线对称，故A正确；
B、当时，由题意，构造函数，，
因为，所以，
由，得，则，
，.
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，故B错误；
C、因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，故C正确；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，可知函数的图象关于直线对称即可判断A；构造函数并求导得出函数单调性即可判断B；再由对称性计算即可判断C；利用单调性即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·靖远模拟）复数的实部与虚部之和为 .
【答案】5
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：，
即复数的实部和虚部分别为，则复数的实部与虚部之和为.
故答案为：5.
【分析】根据复数模长可得，判断复数的虚部和实部，再求和即可.
13．（2024高三上·靖远模拟）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗 一只狗与一只羊 一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
【答案】120
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得：一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
且一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为，
设该等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
则甲买一只鸡与一只狗花费的钱数为.
故答案为：120.
【分析】由题意一只鸡、一只狗 一只羊 一头驴得钱数依次成等差数列，设价格依次为，由题意列出关于和的方程组，求解即可求得甲花费的钱数.
14．（2024高三上·靖远模拟）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 .
【答案】6；5880
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，作图，如图所示：
将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6；
若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条，故不同的图形的数量为.
故答案为：6；5880.
【分析】通过新定义，结合组合数求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·靖远模拟）已知直线与关于抛物线的准线对称.
（1）求的方程；
（2）若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
【答案】（1）解：易知抛物线的准线为，
因为直线与关于抛物线的准线对称，所以抛物线的准线方程为，
即，得，故的方程为；
（2）解：易知直线的斜率存在，且抛物线的焦点为，
设直线，
联立，消元整理可得，易知，
由韦达定理可得，
则，解得得，
故直线的斜率为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的准线为，由对称关系求出准线方程，即可得抛物线方程；
（2）由题意，设直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的焦点弦公式求解即可.
（1）由题意得的准线方程为.
由，得，
所以的方程为.
（2）易得的斜率存在，的焦点为.
设，
联立得，
得
则
得，即的斜率为.
16．（2024高三上·靖远模拟）某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标 地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标 地面目标的概率分别为.
（1）若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
（2）现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.
【答案】（1）解：由题意得，，，则 ；
（2）解：由，可知安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，
设导弹击中目标的个数为，且随机变量服从二项分布，，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（2）设导弹击中目标的个数为，由题意可得，利用二项分布求对应的概率，列分布列，再利用期望公式求解即可.
（1）由题意得，，所以.
（2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
所以.
17．（2024高三上·靖远模拟）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点.
（1）若为线段的中点，证明：平面平面.
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求.
【答案】（1）证明：因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
由题意得，因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面；
（2）解：分别取的中点，连接，易证，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则；
直线与平面所成角的正弦值为
，解得，即，
又因为，所以，
故.
【知识点】平面与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法得出直线与平面所成角的正弦值的表达式，解方程计算即可得.
（1）证明：是正方形，.
平面平面平面.
平面平面，平面平面，平面平面.
由题意得为的中点，，
四边形为平行四边形，
平面平面平面
平面平面
（2）分别取的中点，连接.易证.
平面平面，平面平面
平面.
设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.设，
得.
设平面的法向量为，
则，
取，得，则.
由直线与平面所成角的正弦值为
，
解得.所以又因为，
所以，
故.
18．（2024高三上·靖远模拟）已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为3，求.
（2）已知恰有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
若曲线在处的切线的斜率为3，则，解得；
（2）①、解：令，得，
令定义域为，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，且，
当趋近正无穷时，趋近，因为，所以，则的取值范围为；
②、证明：由①可得，则，
两式相加得，
由，得，
要证，只需证，
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即，
因为，所以，即，
又，所以，所以，
从而得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）①、令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域即可；
②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明.
（1）解：由题意得.
因为曲线在处的切线的斜率为3，
所以，得.
（2）①法一：解：令，得.令，则.
当时，单调递增；
当时，单调递减.故.
当趋近正无穷时，趋近，又，
所以，即的取值范围为.
法二：由题意得.
若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点.
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得.
当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；.
故的取值范围为.
②证明：由①可得，则
两式相加得.
由，得.
要证，只需证.
设，则.
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即.
因为，所以，即.
又，所以，所以，
从而得证.
19．（2024高三上·靖远模拟）设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）已知数列满足，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）解： 二元函数满足，
在中，令，则，得；
在中，令，则，得；
（2）解：因为，
则，
可得，即（也成立），
因为，
所以，
可得，即也成立）；
（3）证明：由（2）知，则，得，
所以，
因为，
且，
可得
，
由，得，则，
则
，
即，且，得，
所以.
【知识点】函数的表示方法；数列的求和；数列的递推公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意赋值求解即可；
（2）由利用累积法可得，再由，利用累积法求解即可；
（3）由（2）可得，对于利用积化和差公式整理，并结合正弦函数分析证明即可.
（1）在中，
令，则，得；
在中，
令，则，得.
（2）因为，
则，
可得，即（也成立）.
因为，
则，
可得，即也成立）.
（3）由（2）知，则，得.
所以，
因为，
且，
可得
.
由，得，则，
则
，
即，且，得，
所以.
1 / 1甘肃省靖远县2025届高三第一次全县联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·靖远模拟）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·靖远模拟）椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·靖远模拟） （ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·靖远模拟）2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为，则（ ）
A．这组数据的众数为 B．这组数据的极差为
C．这组数据的分位数为 D．这组数据的平均数大于
5．（2024高三上·靖远模拟）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·靖远模拟）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·靖远模拟）已知函数在上单调递增.则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·靖远模拟）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三上·靖远模拟）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．
B．
C．与的图象关于直线对称
D．与的图象在上有公共点
10．（2024高三上·靖远模拟）已知分别是等轴双曲线的左 右焦点，以坐标原点为圆心，的焦距为直径的圆与交于四点，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C． D．四边形的面积为
11．（2024高三上·靖远模拟）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增
C．是的一个极小值点 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·靖远模拟）复数的实部与虚部之和为 .
13．（2024高三上·靖远模拟）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗 一只狗与一只羊 一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
14．（2024高三上·靖远模拟）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·靖远模拟）已知直线与关于抛物线的准线对称.
（1）求的方程；
（2）若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.
16．（2024高三上·靖远模拟）某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标 地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标 地面目标的概率分别为.
（1）若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小；
（2）现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望.
17．（2024高三上·靖远模拟）如图，在四棱台中，底面和均为正方形，平面平面为线段上一点.
（1）若为线段的中点，证明：平面平面.
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求.
18．（2024高三上·靖远模拟）已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为3，求.
（2）已知恰有两个零点.
①求的取值范围；
②证明：.
19．（2024高三上·靖远模拟）设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）已知数列满足，数列的前项和为，证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，解得，
即集合，因为集合，所以.
故答案为：A.
【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：椭圆，则离心率为.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用离心率公式直接求解即可.
3．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
4．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解： 失业率从小到大排列，
A、这组数据的众数为和，故A错误；
B、这组数据的极差为，故B错误；
C、，则这组样本数据的分位数为，故C错误；
D、数据的平均数为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先将失业率从小到大排列，再由众数 极差 百分位数和平均数计算公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得：，
在中，由余弦定理可得
则乙船至少需要航行的海里数为.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用余弦定理求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、由图可知：，故A错误；
B、函数为偶函数，且，故B正确；
C、函数为偶函数，在上单调递减，故C错误；
D、函数定义域为，定义域不关于原点对称，则函数为危非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式
【解析】【解答】解：因为函数 在上单调递增 ，
所以对恒成立，即，
又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式求解即可.
8．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，将三棱柱补成正方体，如图所示：
易知该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同，设三棱锥外接球的半径为，
则该三棱锥外接球的半径为，
因为该三棱锥外接球的表面积为，所以，解得，
则该三棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】将三棱柱补成正方体，借助正方体的外接球求解正方体的棱长，再根据三棱锥的体积公式求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数；
A、由分析可得，故A错误；
B、，
故B正确；
C、由题可得，故C正确；
D、当时，，则，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，代值计算即可判断AB；由函数对称性的定义即可判断C；由函数的值域即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A、双曲线为等轴双曲线，所以的渐近线方程为，故A正确；
BC、如图所示：
设在第一象限，由题意可得：，
①式平方，得，
则，，
故B正确，C错误；
D、设点，由题意可得，解得，
则矩形的面积为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据等轴双曲线求的渐近线方程即可判断A；由双曲线的定义结合，解方程求出，即可判断B，C；设，矩形的面积为即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、 函数的定义域为， 满足，
则函数的图象关于直线对称，故A正确；
B、当时，由题意，构造函数，，
因为，所以，
由，得，则，
，.
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，故B错误；
C、因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，故C正确；
D、因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，可知函数的图象关于直线对称即可判断A；构造函数并求导得出函数单调性即可判断B；再由对称性计算即可判断C；利用单调性即可判断D.
12．【答案】5
【知识点】复数的基本概念；复数的模
【解析】【解答】解：，
即复数的实部和虚部分别为，则复数的实部与虚部之和为.
故答案为：5.
【分析】根据复数模长可得，判断复数的虚部和实部，再求和即可.
13．【答案】120
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意得：一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
且一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为，
设该等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
则甲买一只鸡与一只狗花费的钱数为.
故答案为：120.
【分析】由题意一只鸡、一只狗 一只羊 一头驴得钱数依次成等差数列，设价格依次为，由题意列出关于和的方程组，求解即可求得甲花费的钱数.
14．【答案】6；5880
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，作图，如图所示：
将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6；
若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条，故不同的图形的数量为.
故答案为：6；5880.
【分析】通过新定义，结合组合数求解即可.
15．【答案】（1）解：易知抛物线的准线为，
因为直线与关于抛物线的准线对称，所以抛物线的准线方程为，
即，得，故的方程为；
（2）解：易知直线的斜率存在，且抛物线的焦点为，
设直线，
联立，消元整理可得，易知，
由韦达定理可得，
则，解得得，
故直线的斜率为.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知抛物线的准线为，由对称关系求出准线方程，即可得抛物线方程；
（2）由题意，设直线，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合抛物线的焦点弦公式求解即可.
（1）由题意得的准线方程为.
由，得，
所以的方程为.
（2）易得的斜率存在，的焦点为.
设，
联立得，
得
则
得，即的斜率为.
16．【答案】（1）解：由题意得，，，则 ；
（2）解：由，可知安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，
设导弹击中目标的个数为，且随机变量服从二项分布，，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望.
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，利用相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（2）设导弹击中目标的个数为，由题意可得，利用二项分布求对应的概率，列分布列，再利用期望公式求解即可.
（1）由题意得，，所以.
（2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标.
设导弹击中目标的个数为，则，
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
所以.
17．【答案】（1）证明：因为是正方形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
由题意得，因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面；
（2）解：分别取的中点，连接，易证，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，则；
直线与平面所成角的正弦值为
，解得，即，
又因为，所以，
故.
【知识点】平面与平面平行的判定；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由题意，利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法得出直线与平面所成角的正弦值的表达式，解方程计算即可得.
（1）证明：是正方形，.
平面平面平面.
平面平面，平面平面，平面平面.
由题意得为的中点，，
四边形为平行四边形，
平面平面平面
平面平面
（2）分别取的中点，连接.易证.
平面平面，平面平面
平面.
设为2个单位长度，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.设，
得.
设平面的法向量为，
则，
取，得，则.
由直线与平面所成角的正弦值为
，
解得.所以又因为，
所以，
故.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
若曲线在处的切线的斜率为3，则，解得；
（2）①、解：令，得，
令定义域为，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减，且，
当趋近正无穷时，趋近，因为，所以，则的取值范围为；
②、证明：由①可得，则，
两式相加得，
由，得，
要证，只需证，
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即，
因为，所以，即，
又，所以，所以，
从而得证.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）①、令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域即可；
②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明.
（1）解：由题意得.
因为曲线在处的切线的斜率为3，
所以，得.
（2）①法一：解：令，得.令，则.
当时，单调递增；
当时，单调递减.故.
当趋近正无穷时，趋近，又，
所以，即的取值范围为.
法二：由题意得.
若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点.
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，得.
当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；.
故的取值范围为.
②证明：由①可得，则
两式相加得.
由，得.
要证，只需证.
设，则.
当时，单调递减，
当时，单调递增，则，即.
因为，所以，即.
又，所以，所以，
从而得证.
19．【答案】（1）解： 二元函数满足，
在中，令，则，得；
在中，令，则，得；
（2）解：因为，
则，
可得，即（也成立），
因为，
所以，
可得，即也成立）；
（3）证明：由（2）知，则，得，
所以，
因为，
且，
可得
，
由，得，则，
则
，
即，且，得，
所以.
【知识点】函数的表示方法；数列的求和；数列的递推公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意赋值求解即可；
（2）由利用累积法可得，再由，利用累积法求解即可；
（3）由（2）可得，对于利用积化和差公式整理，并结合正弦函数分析证明即可.
（1）在中，
令，则，得；
在中，
令，则，得.
（2）因为，
则，
可得，即（也成立）.
因为，
则，
可得，即也成立）.
（3）由（2）知，则，得.
所以，
因为，
且，
可得
.
由，得，则，
则
，
即，且，得，
所以.
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