甘肃省平凉市静宁县文萃中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·静宁期末）下列选项中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C．310° D．330°
2．（2024高一下·静宁期末）已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．i D．
3．（2024高一下·静宁期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．某人抽奖100次，一定能中奖15次
B．某人抽奖200次，至少能中奖3次
C．某人抽奖1次，一定不能中奖
D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖
4．（2024高一下·静宁期末）某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ）
A．24人 B．36人 C．48人 D．60人
5．（2024高一下·静宁期末）在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·静宁期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2024高一下·静宁期末）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·静宁期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ）
A．72 B．82 C．92 D．112
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·静宁期末）已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ）
A．两组数据的平均数相同 B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的极差相同 D．两组数据的方差相同
10．（2024高一下·静宁期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立 D．
11．（2024高一下·静宁期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．直线是函数的一条对称轴
D．函数在上有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·静宁期末）已知，则向量的夹角的余弦值为 .
13．（2024高一下·静宁期末）已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 .
14．（2024高一下·静宁期末） .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．（2024高一下·静宁期末）已知复数．
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值．
16．（2024高一下·静宁期末）已知．
（1）若为锐角，求的值；
（2）求的值．
17．（2024高一下·静宁期末）在中，分别是内角的对边，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
18．（2024高一下·静宁期末）共享单车企业通过在校园 地铁站点 公交站点 居民区 商业区 公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图.
（1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
19．（2024高一下·静宁期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求与底面所成角的正切值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：与角终边相同的角构成的的集合为，
当时，，则与角终边相同．
故答案为：A．
【分析】先写出与终边相同的角的集合，再判断即可.
2．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
由，可得，即，即，则．
故答案为：B.
【分析】 设复数， 求得共轭复数，利用复数代数形式额乘法运算结合复数相等求解即可.
3．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：中奖的概率为，即有中奖的可能性.
故答案为：D．
【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定中奖还是不中奖据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得：抽样比为，则二年级抽人；
三年级抽，故这个样本中共有.
故答案为：B．
【分析】根据抽样比计算即可.
5．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ， ，故 ，
所以 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式结合角的取值范围即可求出sinA的值，然后结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若，则 或，故A错误；
B、 若，则 ，故B正确；
C、若，则与平行或相交，故C错误；
D、因为，所以，若，则平行或异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为三点共线，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的减法运算得，再由，结合向量平行条件求即可.
8．【答案】C
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：棱台侧面的高，
一个侧面的侧面积，棱台的上、下底面面积和为，
则该棱台的表面积为.
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算棱台的侧面的高，再根据梯形面积和正方形面积公式，求棱台的表面积即可.
9．【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、数据的平均数；
数据的平均数，故A错误；
B、数据的中位数为，数据的中位数为，故B错误；
C、数据的极差为，数据的极差为，故C正确；
D、数据的方差为：，
数据的方差为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】分别求两组数据的平均数、中位数、极差、方差判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
【分析】根据题意，得到．
，利用古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质，逐项分析判断，即可得到答案.
11．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得：，函数的最小正周期，
即，则函数，
因为点在图象上，所以，
所以，所以，
又因为，所以，则，
A、由分析可知：函数，故A错误；
B、因为，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
C、因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
D、当时，，，则在的最小值为，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据函数的图象求确定函数的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用向量夹角的坐标运算求解即可.
13．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 甲击中靶心的概率为0.72，乙击中靶心的概率为0.85，
则甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用对立事件的概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用两角差的正切公式结合诱导公式计算即可.
15．【答案】（1）解：若复数是纯虚数，则，解得；
（2）解：复数的实部为，虚部为，
当非零复数的实部和虚部互为相反数时，，
整理可得，解出或，
当时，复数不符合题意；
当时，复数满足题意，
则实数的值为．
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1） 根据复数是纯虚数实部为零，虚部不为零列不等式组求解即可；
（2）易知复数的实部为，虚部为，由条件可得，求解即可.
（1）由复数是纯虚数，得，解得；
（2）由复数的实部和虚部互为相反数，得，
化简得，解出或，
当时，不符合题意，（舍去），而满足，
所以实数的值为．
16．【答案】（1）解：由，可得，
若锐角，且，则，
故；
（2）解：由，可得，即，
则
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）化简求得，结合同角三角函数基本关系求出，再利用两角差的余弦公式求解即可；
（2）由（1）可得，根据同角三角函数基本关系化简为，代值求解即可.
（1）由，得，
因为锐角，，所以，
可得；
（2）由得，
则
．
17．【答案】（1）解： 在中，由，可得，则，
因为，所以；
（2）解：，
若，则，即，即，解得，
则的面积为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理求解即可；
（2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算即可.
（1）由，
有.
又，
因为，所以.
（2）由，有，
可得，得.，
的面积为.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得，
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图可知：满意度评分值在内的有（人），
满意度评分值在内的有20（人），
根据分层抽样可知：抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，
满意度评分值在内的有（人），记为，
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，
则抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求得a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5求解即可；
（2）先根据频率分布直方图计算满意度评分值在内的人数，再利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，利用古典概型概率公式求解即可．
（1）由题意知，解得.
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75.
（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人），
抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，
满意度评分值在内的有（人），记为.
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，
所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
19．【答案】解：（1）底面为边长为2的菱形，且，
则四边形的面积为，
连，相交于点，连，如图所示：
因为，，所以，
又因为平面，所以平面，且，
故；
（2）因为平面，所以与底面形成的角为，
又因为，，所以，
故与底面所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，先计算底面四边形的面积，连，相交于点，连，由题意，证明平面，再利用椎体体积公式求解即可；
（2）由平面，可得为直线与底面形成的角，解三角形求解即可.
1 / 1甘肃省平凉市静宁县文萃中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·静宁期末）下列选项中，与角终边相同的角是（ ）
A． B． C．310° D．330°
【答案】A
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：与角终边相同的角构成的的集合为，
当时，，则与角终边相同．
故答案为：A．
【分析】先写出与终边相同的角的集合，再判断即可.
2．（2024高一下·静宁期末）已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C．i D．
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；共轭复数
【解析】【解答】解：设复数，则，
由，可得，即，即，则．
故答案为：B.
【分析】 设复数， 求得共轭复数，利用复数代数形式额乘法运算结合复数相等求解即可.
3．（2024高一下·静宁期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．某人抽奖100次，一定能中奖15次
B．某人抽奖200次，至少能中奖3次
C．某人抽奖1次，一定不能中奖
D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：中奖的概率为，即有中奖的可能性.
故答案为：D．
【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定中奖还是不中奖据此判断即可.
4．（2024高一下·静宁期末）某校选修羽毛球课程的学生中，一年级有50人，二年级有40人，三年级有30人．现用分层抽样的方法在这120名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了15人，则这个样本中共有（ ）
A．24人 B．36人 C．48人 D．60人
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得：抽样比为，则二年级抽人；
三年级抽，故这个样本中共有.
故答案为：B．
【分析】根据抽样比计算即可.
5．（2024高一下·静宁期末）在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ， ，故 ，
所以 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】首先由同角三角函数的基本关系式结合角的取值范围即可求出sinA的值，然后结合三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
6．（2024高一下·静宁期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若，则 或，故A错误；
B、 若，则 ，故B正确；
C、若，则与平行或相交，故C错误；
D、因为，所以，若，则平行或异面，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
7．（2024高一下·静宁期末）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为三点共线，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的减法运算得，再由，结合向量平行条件求即可.
8．（2024高一下·静宁期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为（ ）
A．72 B．82 C．92 D．112
【答案】C
【知识点】棱台的结构特征；棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意可得：棱台侧面的高，
一个侧面的侧面积，棱台的上、下底面面积和为，
则该棱台的表面积为.
故答案为：C．
【分析】由题意，先计算棱台的侧面的高，再根据梯形面积和正方形面积公式，求棱台的表面积即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高一下·静宁期末）已知两组数据，第一组：：第二组，则下列说法正确的是（ ）
A．两组数据的平均数相同 B．两组数据的中位数相同
C．两组数据的极差相同 D．两组数据的方差相同
【答案】C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、数据的平均数；
数据的平均数，故A错误；
B、数据的中位数为，数据的中位数为，故B错误；
C、数据的极差为，数据的极差为，故C正确；
D、数据的方差为：，
数据的方差为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】分别求两组数据的平均数、中位数、极差、方差判断即可.
10．（2024高一下·静宁期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
【分析】根据题意，得到．
，利用古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质，逐项分析判断，即可得到答案.
11．（2024高一下·静宁期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．直线是函数的一条对称轴
D．函数在上有最小值
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可得：，函数的最小正周期，
即，则函数，
因为点在图象上，所以，
所以，所以，
又因为，所以，则，
A、由分析可知：函数，故A错误；
B、因为，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
C、因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
D、当时，，，则在的最小值为，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】根据函数的图象求确定函数的解析式，再利用余弦函数的性质逐项判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·静宁期末）已知，则向量的夹角的余弦值为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：向量，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用向量夹角的坐标运算求解即可.
13．（2024高一下·静宁期末）已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.72，射击运动员乙击中靶心的概率为0.85，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响.若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解： 甲击中靶心的概率为0.72，乙击中靶心的概率为0.85，
则甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用对立事件的概率公式求解即可.
14．（2024高一下·静宁期末） .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】利用两角差的正切公式结合诱导公式计算即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．（2024高一下·静宁期末）已知复数．
（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）当非零复数的实部和虚部互为相反数时，求实数的值．
【答案】（1）解：若复数是纯虚数，则，解得；
（2）解：复数的实部为，虚部为，
当非零复数的实部和虚部互为相反数时，，
整理可得，解出或，
当时，复数不符合题意；
当时，复数满足题意，
则实数的值为．
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1） 根据复数是纯虚数实部为零，虚部不为零列不等式组求解即可；
（2）易知复数的实部为，虚部为，由条件可得，求解即可.
（1）由复数是纯虚数，得，解得；
（2）由复数的实部和虚部互为相反数，得，
化简得，解出或，
当时，不符合题意，（舍去），而满足，
所以实数的值为．
16．（2024高一下·静宁期末）已知．
（1）若为锐角，求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由，可得，
若锐角，且，则，
故；
（2）解：由，可得，即，
则
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）化简求得，结合同角三角函数基本关系求出，再利用两角差的余弦公式求解即可；
（2）由（1）可得，根据同角三角函数基本关系化简为，代值求解即可.
（1）由，得，
因为锐角，，所以，
可得；
（2）由得，
则
．
17．（2024高一下·静宁期末）在中，分别是内角的对边，已知.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解： 在中，由，可得，则，
因为，所以；
（2）解：，
若，则，即，即，解得，
则的面积为.
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用余弦定理求解即可；
（2）利用等式变形可计算出，再根据三角形面积公式计算即可.
（1）由，
有.
又，
因为，所以.
（2）由，有，
可得，得.，
的面积为.
18．（2024高一下·静宁期末）共享单车企业通过在校园 地铁站点 公交站点 居民区 商业区 公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图.
（1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，
解得，
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75；
（2）解：由频率分布直方图可知：满意度评分值在内的有（人），
满意度评分值在内的有20（人），
根据分层抽样可知：抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，
满意度评分值在内的有（人），记为，
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，
则抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求得a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5求解即可；
（2）先根据频率分布直方图计算满意度评分值在内的人数，再利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，利用古典概型概率公式求解即可．
（1）由题意知，解得.
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75.
（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人），
抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为，
满意度评分值在内的有（人），记为.
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，
所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率.
19．（2024高一下·静宁期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，，，分别是，的中点，.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求与底面所成角的正切值.
【答案】解：（1）底面为边长为2的菱形，且，
则四边形的面积为，
连，相交于点，连，如图所示：
因为，，所以，
又因为平面，所以平面，且，
故；
（2）因为平面，所以与底面形成的角为，
又因为，，所以，
故与底面所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，先计算底面四边形的面积，连，相交于点，连，由题意，证明平面，再利用椎体体积公式求解即可；
（2）由平面，可得为直线与底面形成的角，解三角形求解即可.
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