5.2.1三角函数的概念 教学设计（表格式）

《三角函数的概念》教学设计
教学内容分析
三角函数的概念是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容上起到一个承上启下的作 用,它对于三角函数的整体学习至关重要，同时也为平面向量、解析几何等内容的学习做必要准备。 三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系.认识它需要借助单位圆、角的终边及二者的交点这些几何图形的直观帮助,体现了数形结合的思想.三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用. 传统上,人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广,利用象限角终边上点的坐标比来定义三角函数,锐角三角函数的研究对象是直角三角形，它是用直角三角形的边长的比来刻画的;任意角的三角函数的现实背景是周期变化现象,是“周而复始”变化规律的数学刻画.因此,任意角的三角函数知识体系的建立，与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景,构建从抽象出研究对象(即定义三角函数概念)到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，而与锐角三角函数的联系可以在给出任意角的三角函数定义后再进行考查。
二、教学目标
1：学生能够理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握三角函数的定义域和函数值在各象限的符号。 能够利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦和正切函数值，并能借助三角函数线解决一些简单的三角函数问题。 熟练掌握已知角求三角函数值，以及已知三角函数值求角的方法。 2：通过对锐角三角函数概念的回顾与拓展，经历从特殊到一般的认知过程，培养学生的类比推理能力和抽象概括能力。 在利用单位圆定义三角函数的过程中，体会数形结合的数学思想，提高学生运用数学工具解决问题的能力。 通过对三角函数概念的探究活动，培养学生自主探究、合作交流的学习方式，提升学生分析问题和解决问题的能力。 3：让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的实用性和魅力，激发学生学习数学的兴趣。 通过对三角函数概念的深入探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神，增强学生的数学素养和创新意识。
三、学情分析
1.知识基础：学生在初中阶段已经学习了锐角三角函数，掌握了在直角三角形中正弦、余弦和正切的定义，能够运用锐角三角函数解决一些简单的直角三角形问题。同时，学生也具备了一定的平面几何知识和相似三角形的相关概念，这为学习任意角的三角函数提供了重要的知识支撑。 2.认知能力：高中学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对直观、具体的问题较为敏感，具有一定的观察、分析和归纳能力。但对于将实际问题抽象为数学模型，以及理解和运用抽象的数学概念，还需要教师的引导和帮助。在学习过程中，学生可能会对从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程存在理解困难，对单位圆定义三角函数的合理性和优势认识不足。 3学习特点：学生具有较强的好奇心和求知欲，对数学学习有一定的兴趣。在学习过程中，他们更倾向于通过自主探究、小组合作等方式获取知识，希望在课堂上能够积极参与讨论和实践活动，展现自己的能力。但部分学生在学习中可能缺乏主动性和持久性，需要教师通过多样化的教学方法激发学生的学习热情，培养学生良好的学习习惯。
四、教学策略选择与设计
1情境导入策略：创设生活情境，如摩天轮问题。展示摩天轮的图片或视频，提出问题：摩天轮上某一点在转动过程中，其高度随时间如何变化？引导学生思考角度与点的位置关系，从而引出三角函数的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学习兴趣。 2类比迁移策略：复习初中锐角三角函数的定义，通过在直角三角形中对正弦、余弦、正切的定义回顾，让学生类比思考在任意角的情况下如何定义三角函数。引导学生从边长的比值推广到终边上点的坐标与到原点距离的比值，实现从特殊到一般的知识迁移，降低学习难度。 3直观演示策略：利用多媒体软件制作动态的单位圆演示课件。展示随着角的变化，终边与单位圆交点坐标的变化，以及对应的三角函数值的变化情况，直观呈现三角函数的定义及性质，帮助学生建立清晰的数学表象，加深对抽象概念的理解。 4合作探究策略：组织学生分组探究三角函数在各象限的符号规律。每个小组给定若干不同象限的角，通过计算其三角函数值，观察总结出符号规律。在小组讨论中，学生相互交流思路，共同探究问题，培养合作能力与自主探究精神。
五、教学重点及难点
教学重点：任意角的三角函数的定义。 教学难点：用角的终边上的点刻画三角函数,三角函数的定义的理解。
六、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 （一）、情境引入，激发兴趣 引导语：如左图五彩风车，随着风车的转动，其上面的点P位置在发生着变化；如右图是一个时钟. 它的时针、分针、秒针位置在发生着变化，下面的单摆在做往复运动。风车转动过程中其上面点的运动、时钟的时针、分针、秒针端点的运动都可以抽象为圆周运动,这种运动具有周而复始的变化规律. 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化。其中匀速圆周运动是生活中周期现象的代表。 以学生熟悉的风车上的点、时钟时针、分针、秒针端点做的圆周运动为背景，提出问题,让学生体会三角函数与现实世界的密切联系，为引入三角函数描述周期变化做好铺垫，同时以此激发学生学习新函数的兴趣。 学生初中接触过圆的知识，在结合物理中所学，能将实际情境中的问题抽象为圆周运动
讲授新课 引导语：5.1节学习任意角时，把角放在平面直角坐标系中 下面我们利用直角坐标系来研究上述问题 以单位圆的圆心为原点，以射线为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点在单位圆上做匀速圆周运动，坐标为．射线从x轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为． 追问（1）：点P（x，y）在单位圆上运动的过程中有几个变量？ 共四个变量：（AP弧长）、x、y 追问（2）：这几个变量是否具有对应关系？ 其中弧长与、横坐标x与、纵坐标y与具有对应关系. 追问（3）：对于具有对应关系的变量，它们之间是函数关系吗？若是，你能求出函数解析式吗？ 分析特殊情况，归纳共性特征。 问题2：在这个运动过程中， 影响点位置变化的因素是旋转角，点位置的变化由横坐标和纵坐标的变化来体现，如何根据旋转角的大小来求点的坐标呢？ 特殊分析：当时，点的坐标是什么？ 当 点P的坐标又是什么？ 追问（1）：求点P的坐标用到什么知识？（直角三角形的性质） 追问（2）：求点P的坐标的步骤是什么？ 追问（3）：给定，点P的坐标它们是唯一确定的吗？ 得出结论：由以上五个特殊角的取值可知：只要角大小确定，点P的位置就确定，从而它的横坐标x、纵坐标y的值以及的值就唯一确定. 追问（4）：当为任意角时，它的终边与单位圆的交点的坐标能唯一确定吗？ 利用单位圆的对称性，多取一些角的值我们深入探究，请同学们完成下表： 【几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动】 问题3：由前面表格及点P的运动规律猜测y与、 x与存在唯一的对应关系你能说出这种对应关系吗？ 得出结论：对于R中的任意一个角，它的终边与单位圆的交点，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的。这里有三个对应关系： :任意角（弧度）对应于点的纵坐标y； g:任意角（弧度）对应于点的横坐标x； h：任意角（弧度）对应于点的纵坐标与横坐标的比. 任意角三角函数的定义与辨析 问题4：怎样命名此类关于角的函数呢？ 请同学们先阅读教科书第177—178页，再回答如下问题： 符号分别表示什么？ 为什么说当，的值是唯一确定的？ 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？ 特别提醒：是一个整体，分别是正弦函数、余弦函数、正切函数的记号，就如表示以为底的对数一样.离开自变量 ，是没有意义的. 思维升华：正弦函数、余弦函数、正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．习惯上用表示自变量，用表示函数值，所以将三角函数表示为： 追问：研究函数，首先要研究函数的定义域．那么任意角三角函数的定义域分别是什么呢？值域又是什么呢？ 角的概念推广后放在坐标系中研究，已为在坐标系中定义三角函数做好铺垫，将学生熟知的锐角的正弦、余弦、正切放在坐标系中研究，逐步渗透，为在坐标系中借助单位圆定义任意角的三角函数进一步奠定基础. 三角函数中的对应关系与学生已有经验差距较大，通过三个追问层层递进，引导学生思维，破解学生理解三角函数对应关系的难点. 启发学生思维，建立变量间的对应关系，把实际问题建模为数学问题——把问题归结为单位圆上点的坐标与旋转角之间对应关系的探索. 引导学生从特殊到一般，对单位圆上点的坐标与相应的角之间的对应关系展开研究，让学生理解特殊情况下三角函数的对应关系，经历定义的生成和发展过程 几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动的一般情况，在角的变化过程中进行观察，形象直观，让学生的认知得到升华，培养学生的直观想象和抽象概括能力，得出一般情况下的结论，为理解三角函数的对应关系做好铺垫 以函数的对应关系为指向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为给出三角函数的定义作好准备 复盘y与、x与的唯一对应关系，为给出三角函数定义做足充分准备 在问题的引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”，引导学生类比已有知识（引入符号表示中的）理解三角函数符号的意义 研究函数问题，一定先研究定义域，为5.4节研究三角函数的图像和性质埋下伏笔 学生对点P运动过程中变量分析有困难，能说出角变化与点P位置变化，但P点位置变化由横坐标x和纵坐标y的变化来体现需要老师引导 对于 学生容易求出点的坐标并归纳求解步骤：画终边、做垂线、求长度、写坐标 三角函数的对应关系是本节的难点，与以往研究的基本初等函数不同，虽然在此之前做了充足的准备工作，但学生明确说出这里的对应关系还需教师的引导. 通过上述一系列问题的探究，学生独立阅读教科书后，能回答问题（1），对于问题（2）（3）需要教师启发 学生学习了一个新的函数，对三角函数定义域、值域的理解还需要根据定义细辨析，尤其对正切函数值域的理解有困难
课后拓展 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为.与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 追问：任意角三角函数的定义与初中在直角三角形中锐角的正弦、余弦和正切的定义有什么区别和联系？ 区别：锐角的正弦、余弦、正切是放在直角三角形中利用边长比定义的，都是正数； 任意角三角函数是借助单位圆利用坐标定义的，可正、可负、可为零. 联系：锐角的正弦、余弦、正切是任意角三角函数在角取时的特殊情况. 建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性. 学生能在直角三角形中表示角x的正弦，也会在平面直角坐标系中借助单位圆表示角x的正弦，但借助三角形相似建立二者间的相等关系有困难，需要教师引导
七、板书设计
引入 实际问题（展示摩天轮图片） 问题：摩天轮半径为 r，转动角速度为 ω，从初始位置开始，经过时间 t，座舱高度 h 如何表示？ 三角函数定义 单位圆与三角函数 特殊角三角函数值 例题
八、教学反思
在本节课的教学过程中，通过生活中的周期现象引入，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。在知识探究环节，借助单位圆定义三角函数，使抽象的概念变得直观形象，有助于学生理解。但在教学过程中，可能部分学生对从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程理解不够深入，在后续教学中可通过更多的实例和练习进行强化。同时，在小组探究活动中，个别学生参与度不高，需要进一步引导和鼓励，提高学生的合作学习能力。