浙江省9+1联盟2024-2025学年高二下学期6月学业水平模拟考试数学试题
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二下·宁波月考）已知集合A={1，2}，B={2，3}，则AB=（ ）
A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：A.
【分析】根据结集合的交集的定义求解即可.
2．（2025高二下·宁波月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式有意义列式求解即可.
3．（2025高二下·宁波月考）已知，且，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．任何实数
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：若，则，解得．
故答案为：B．
【分析】根据向量垂直数量积为零列式计算即可.
4．（2025高二下·宁波月考）下列直线为函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】余弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
易知函数的对称轴为，
则是函数的一条对称轴.
故答案为：A．
【分析】先利用诱导公式化简函数，令求出对称轴即可．
5．（2025高二下·宁波月考）已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行，即充分性成立；
反之也成立，即必要性成立，
故“”是“直线与平面无交点”的充要条件.
故答案为：C．
【分析】根据直线与平面平行的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2025高二下·宁波月考）已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、因为事件互斥，所以，故B正确；
C、因为事件互斥，所以，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可判断A；利用和事件的概率公式及对立事件积事件的概率公式求解即可判断B，C；由对立事件以及选项B即可判断D.
7．（2025高二下·宁波月考）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的周期性
【解析】【解答】解：由图可知：函数以及均是周期为4的周期函数，
A、对应中的值，由图象知，故A错误；
B、对应中的值，由图象知，故B错误；
C、，则，又对应中的值，
由图象知，即，故C正确；
D、，则，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可.
8．（2025高二下·宁波月考）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：问题转化为在区间上恒成立，
易知，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，问题转化为在区间上恒成立，求出的取值范围判断即可.
9．（2025高二下·宁波月考）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，，
，
则，即，
因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】由题意，先求出，，，再利用向量的夹角公式求解即可．
10．（2025高二下·宁波月考）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略：
策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件；
策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）．
不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（ ）
A．策略P B．策略Q
C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断
【答案】B
【知识点】风险决策的必要性和重要性
【解析】【解答】解：先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）．下个月价格：上涨后为元，下跌后为元，概率各，则下月购买第2件的平均成本为元；
所以总平均成本：元，
再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，
总成本固定为元；
所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优.
故答案为：B．
【分析】由题意，分别计算出两种策略的平均总成本，比较判断即可．
11．（2025高二下·宁波月考）已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设正边形中心为，连接，过点作于点，如图所示：
由题意可得：，，
在中，由，，可得，，
则
.
故答案为：A.
【分析】设正边形中心为，连接，过点作于点，在中，表示的正、余弦值，求得，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简求的值即可.
12．（2025高二下·宁波月考）定义分段函数，其中、为实数．已知函数在区间内恰好有个零点，则满足条件的组合可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，令，可得，函数的图象如图所示：
当时，令，则，
令，，
由，解得，由，解得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
且的极小值为，函数的图象图所示：
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则，没有选项合乎题意；
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则或，没有选项合乎题意；
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则，B合乎题意.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数，分别令，可得以及，令，求导，利用导数判断函数的单调性与极值，作出图象，对函数在区间、上的零点个数进行分类讨论，数形结合判断即可.
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
13．（2025高二下·宁波月考）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】n次方根与根式；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、当时，，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】根据开平方，对数运算性质，有理数指数幂的运算逐项分析判断即可.
14．（2025高二下·宁波月考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．图象过定点 B．值域为
C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即函数图象过，故A正确；
B、当，时，函数值域为；
当时，值域为，又，值域也为；
当，时，函数值域为；
当时，函数值域为，又，值域为，故B正确；
C、当时，在上单调递减，在上单调递增，
在定义域上不单调，故C错误；
D、当时，是单调递增区间；
当时，是单调递增区间，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据函数为定义在上的奇函数即可判断A；只需求得时，值域，结合奇函数性质即可判断B；由二次函数性质即可判断CD.
15．（2025高二下·宁波月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（ ）
A．直线与直线相交
B．存在点，使得
C．当取最小值时，点为中点
D．过三点的截面为五边形
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：A、连接，，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，则四点共面，且，，，，
，，因为，
所以与不平行，则直线与直线相交，故A正确；
B、连接，易得，设，
，，
若，则，即，解得，与不符，则不存在点，使得，故B错误；
C、连接，设，
由两点间距离公式得，
，
则，
令，，
而，则不可能是的最小值，故C错误；
D、延长交延长线于，连接交于，连接，，延长交于，连接交于，如图所示：
，则四点共面，
而，，可得五点共面，易得不与所在棱的顶点重合，
则五边形即为所求截面五边形，故D正确.
故答案为： AD．
【分析】连接，，，根据正方体的性质得到四点共面，建立空间直角坐标系得到与不平行，进而确定与相交即可判断A；设出关键点的坐标，求出关键点的向量，利用空间直线垂直的坐标表示建立方程，求解参数并结合参数范围即可判断B；利用两点间距离公式得到，令，求导，利用导数判断其单调性，求最小值，点不为中点即可判断C；利用相交线的性质确定截面五边形即可判断D.
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
16．（2025高二下·宁波月考）已知复数满足，则 .
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，.
故答案为：.
【分析】根据复数的模长公式计算即可求得|z|.
17．（2025高二下·宁波月考）袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知： 取出的球颜色不相同的概率为．
故答案为：.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
18．（2025高二下·宁波月考）如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为 .（保留小数点后面一位）
【答案】
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
因为，所以第50百分位数在区间内，设中位数为，则，解得，即第50百分位数为.
故答案为：.
【分析】根据频率分布直方图各矩形面积和之和等于列式求出，再根据百分位数的定义求解即可.
19．（2025高二下·宁波月考）已知为正实数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：实数，且，
则
，当且仅当时等号成立，则的最小值为.
故答案为：．
【分析】利用基本不等式求解即可.
四、解答题（本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2025高二下·宁波月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）把函数化成的形式，并求的最小正周期；
（3）求出满足方程的所有的取值集合．
【答案】（1）解：函数
，
则
；
（2）解：由（1）可得：，的最小正周期；
（3）解：令，则，
即或，解得或，
则的取值集合为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用正弦的两角差公式化简函数，再代值求解即可；
（2）由（1）可得：，再根据正弦函数的周期公式求解即可；
（3）由，得，根据正弦函数性质求解即可.
（1）将代入，
（2）
的最小正周期．
（3）由，得．
根据正弦函数性质可得或
解得或．
所以的取值集合为．
21．（2025高二下·宁波月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）若点为中点，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）解： 在四棱锥中，底面是正方形，边长，则底面积，
因为底面，所以四棱锥的高为，
故四棱锥的体积；
（2）证明：因为是中点，所以，
又因为底面，底面，所以；
又因为底面是正方形，所以，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：过作于，如图所示：
因为是中点，，所以，且，是中点，
在中，，由勾股定理得，
过作于，连接，则是二面角的平面角，
因为，则，即，
在中，，由勾股定理得，
则二面角的平面角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据棱锥的体积公式计算即可；
（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）设，作辅助线，分析可知二面角的平面角为，计算出三边边长，由此可求得的余弦值即可.
（1）体积公式为，其中底面是正方形，边长，
所以底面积，高．
所以．
（2）因为是中点，所以．
底面，底面，则；
又底面是正方形，，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为且，，平面，
所以平面．又平面，
所以平面平面．
（3）过作于，
因为是中点，，
所以，且，是中点．
在中，，由勾股定理得．
过作于，连接．
所以就是二面角的平面角．
因为，则，即．
在中，，由勾股定理得．
所以二面角的平面角的余弦值为．
22．（2025高二下·宁波月考）已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7．
（1）求实数的值；
（2）设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数，对称轴为，
当，即时，函数最小值为，无解；
当，即时，函数在单调递增，最小值为，，
解得，满足；
当，即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去，
综上可知，；
（2）解：在内，结合的取值范围与的取值范围，
可得根所在区间满足：且，
时，解得，即或；
时，解得，
所以，若方程存在解，则一定有，
记，
则，
，，，
则方程在上有两不等实根，
函数的图象如图所示：
故在上有且只有两个交点，
由以上分析可知，
则，
所以，
因为在单调递增，所以，即．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数零点存在定理；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）先求二次函数的对称轴，再分情况讨论对称轴与区间的关系，分别利用在上的最小值是7列方程求解即可；
（2）先判断方程存在解，则一定有，可得方程在上有两不等实根，判断，利用余弦函数的单调性求解即可.
（1）函数，对称轴为．
当即时，在单调递增，最小值为．
由，解得，满足．
当即时，函数最小值为，无解．
当即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去．
综上，．
（2）在内，结合的取值范围与的取值范围，
可得根所在区间满足：且
时，解得，即或；
时，解得．
所以，若方程存在解，则一定有．
记，
则
可知方程在上有两不等实根．
而的图象如图所示：
故在上有且只有两个交点，
（法一）由以上分析可知
则，
所以．
因为在单调递增，所以，即．
（法二）则，
因为对称轴为，所以，
且整理可得，且，
显然在上单调递增，所以，即．
又因为且在该区间单调递减，
所以，即．
故．
1 / 1浙江省9+1联盟2024-2025学年高二下学期6月学业水平模拟考试数学试题
一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二下·宁波月考）已知集合A={1，2}，B={2，3}，则AB=（ ）
A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{2，3}
2．（2025高二下·宁波月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·宁波月考）已知，且，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．任何实数
4．（2025高二下·宁波月考）下列直线为函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·宁波月考）已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高二下·宁波月考）已知随机事件是互斥事件，且，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·宁波月考）已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·宁波月考）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．（2025高二下·宁波月考）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高二下·宁波月考）某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨或下跌（两种情况概率各）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略：
策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件；
策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为元）．
不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（ ）
A．策略P B．策略Q
C．平均总成本相同 D．需根据价格波动幅度判断
11．（2025高二下·宁波月考）已知正边形的边长为，内切圆的半径为，外接圆的半径为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025高二下·宁波月考）定义分段函数，其中、为实数．已知函数在区间内恰好有个零点，则满足条件的组合可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
13．（2025高二下·宁波月考）下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025高二下·宁波月考）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A．图象过定点 B．值域为
C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间
15．（2025高二下·宁波月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱中点，为棱上的动点（不包括端点），则（ ）
A．直线与直线相交
B．存在点，使得
C．当取最小值时，点为中点
D．过三点的截面为五边形
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
16．（2025高二下·宁波月考）已知复数满足，则 .
17．（2025高二下·宁波月考）袋中装有3个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，1个黑球，从中任取两个球，则取出的球颜色不相同的概率是 ．
18．（2025高二下·宁波月考）如图，是根据某家长某月的通话明细清单，按每次通话时间长短画出的频率分布直方图，估计这组数据的第50百分位数为 .（保留小数点后面一位）
19．（2025高二下·宁波月考）已知为正实数，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（2025高二下·宁波月考）已知函数．
（1）求的值；
（2）把函数化成的形式，并求的最小正周期；
（3）求出满足方程的所有的取值集合．
21．（2025高二下·宁波月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，为线段上的动点．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）若点为中点，求二面角的平面角的余弦值．
22．（2025高二下·宁波月考）已知定义在R上的二次函数，且在上的最小值是7．
（1）求实数的值；
（2）设函数，方程在上是否存在两个不等实根？若存在，请说明与的大小关系，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知.
故答案为：A.
【分析】根据结集合的交集的定义求解即可.
2．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式有意义列式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：若，则，解得．
故答案为：B．
【分析】根据向量垂直数量积为零列式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】余弦函数的性质；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：函数，
易知函数的对称轴为，
则是函数的一条对称轴.
故答案为：A．
【分析】先利用诱导公式化简函数，令求出对称轴即可．
5．【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行，即充分性成立；
反之也成立，即必要性成立，
故“”是“直线与平面无交点”的充要条件.
故答案为：C．
【分析】根据直线与平面平行的定义，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、因为事件互斥，所以，故B正确；
C、因为事件互斥，所以，故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：D．
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可判断A；利用和事件的概率公式及对立事件积事件的概率公式求解即可判断B，C；由对立事件以及选项B即可判断D.
7．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的周期性
【解析】【解答】解：由图可知：函数以及均是周期为4的周期函数，
A、对应中的值，由图象知，故A错误；
B、对应中的值，由图象知，故B错误；
C、，则，又对应中的值，
由图象知，即，故C正确；
D、，则，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：问题转化为在区间上恒成立，
易知，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，问题转化为在区间上恒成立，求出的取值范围判断即可.
9．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，，
，
则，即，
因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】由题意，先求出，，，再利用向量的夹角公式求解即可．
10．【答案】B
【知识点】风险决策的必要性和重要性
【解析】【解答】解：先分析策略（分两次购买）：当前成本：100元（第1件）．下个月价格：上涨后为元，下跌后为元，概率各，则下月购买第2件的平均成本为元；
所以总平均成本：元，
再看策略（一次性囤货2件）：无论下个月价格如何波动，
总成本固定为元；
所以策略平均总成本197.5元＞策略固定成本190元，尽管价格波动非对称，但策略通过固定折扣直接降低了总成本，且折扣后的单价（95元／件）低于策略P的预计单价（97.5元／件），因此策略更优.
故答案为：B．
【分析】由题意，分别计算出两种策略的平均总成本，比较判断即可．
11．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设正边形中心为，连接，过点作于点，如图所示：
由题意可得：，，
在中，由，，可得，，
则
.
故答案为：A.
【分析】设正边形中心为，连接，过点作于点，在中，表示的正、余弦值，求得，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简求的值即可.
12．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
当时，令，可得，函数的图象如图所示：
当时，令，则，
令，，
由，解得，由，解得，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
且的极小值为，函数的图象图所示：
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则，没有选项合乎题意；
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则或，没有选项合乎题意；
若在区间上的零点个数为，则在区间上的零点个数为，
则，B合乎题意.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数，分别令，可得以及，令，求导，利用导数判断函数的单调性与极值，作出图象，对函数在区间、上的零点个数进行分类讨论，数形结合判断即可.
13．【答案】B,C
【知识点】n次方根与根式；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、当时，，故D错误．
故答案为：BC．
【分析】根据开平方，对数运算性质，有理数指数幂的运算逐项分析判断即可.
14．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、因为函数是定义域为的奇函数，所以，
即函数图象过，故A正确；
B、当，时，函数值域为；
当时，值域为，又，值域也为；
当，时，函数值域为；
当时，函数值域为，又，值域为，故B正确；
C、当时，在上单调递减，在上单调递增，
在定义域上不单调，故C错误；
D、当时，是单调递增区间；
当时，是单调递增区间，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】根据函数为定义在上的奇函数即可判断A；只需求得时，值域，结合奇函数性质即可判断B；由二次函数性质即可判断CD.
15．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：A、连接，，，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，则四点共面，且，，，，
，，因为，
所以与不平行，则直线与直线相交，故A正确；
B、连接，易得，设，
，，
若，则，即，解得，与不符，则不存在点，使得，故B错误；
C、连接，设，
由两点间距离公式得，
，
则，
令，，
而，则不可能是的最小值，故C错误；
D、延长交延长线于，连接交于，连接，，延长交于，连接交于，如图所示：
，则四点共面，
而，，可得五点共面，易得不与所在棱的顶点重合，
则五边形即为所求截面五边形，故D正确.
故答案为： AD．
【分析】连接，，，根据正方体的性质得到四点共面，建立空间直角坐标系得到与不平行，进而确定与相交即可判断A；设出关键点的坐标，求出关键点的向量，利用空间直线垂直的坐标表示建立方程，求解参数并结合参数范围即可判断B；利用两点间距离公式得到，令，求导，利用导数判断其单调性，求最小值，点不为中点即可判断C；利用相交线的性质确定截面五边形即可判断D.
16．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，.
故答案为：.
【分析】根据复数的模长公式计算即可求得|z|.
17．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知： 取出的球颜色不相同的概率为．
故答案为：.
【分析】利用古典概型概率公式求解即可.
18．【答案】
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
因为，所以第50百分位数在区间内，设中位数为，则，解得，即第50百分位数为.
故答案为：.
【分析】根据频率分布直方图各矩形面积和之和等于列式求出，再根据百分位数的定义求解即可.
19．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：实数，且，
则
，当且仅当时等号成立，则的最小值为.
故答案为：．
【分析】利用基本不等式求解即可.
20．【答案】（1）解：函数
，
则
；
（2）解：由（1）可得：，的最小正周期；
（3）解：令，则，
即或，解得或，
则的取值集合为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用正弦的两角差公式化简函数，再代值求解即可；
（2）由（1）可得：，再根据正弦函数的周期公式求解即可；
（3）由，得，根据正弦函数性质求解即可.
（1）将代入，
（2）
的最小正周期．
（3）由，得．
根据正弦函数性质可得或
解得或．
所以的取值集合为．
21．【答案】（1）解： 在四棱锥中，底面是正方形，边长，则底面积，
因为底面，所以四棱锥的高为，
故四棱锥的体积；
（2）证明：因为是中点，所以，
又因为底面，底面，所以；
又因为底面是正方形，所以，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（3）解：过作于，如图所示：
因为是中点，，所以，且，是中点，
在中，，由勾股定理得，
过作于，连接，则是二面角的平面角，
因为，则，即，
在中，，由勾股定理得，
则二面角的平面角的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，根据棱锥的体积公式计算即可；
（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理证明即可；
（3）设，作辅助线，分析可知二面角的平面角为，计算出三边边长，由此可求得的余弦值即可.
（1）体积公式为，其中底面是正方形，边长，
所以底面积，高．
所以．
（2）因为是中点，所以．
底面，底面，则；
又底面是正方形，，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为且，，平面，
所以平面．又平面，
所以平面平面．
（3）过作于，
因为是中点，，
所以，且，是中点．
在中，，由勾股定理得．
过作于，连接．
所以就是二面角的平面角．
因为，则，即．
在中，，由勾股定理得．
所以二面角的平面角的余弦值为．
22．【答案】（1）解：函数，对称轴为，
当，即时，函数最小值为，无解；
当，即时，函数在单调递增，最小值为，，
解得，满足；
当，即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去，
综上可知，；
（2）解：在内，结合的取值范围与的取值范围，
可得根所在区间满足：且，
时，解得，即或；
时，解得，
所以，若方程存在解，则一定有，
记，
则，
，，，
则方程在上有两不等实根，
函数的图象如图所示：
故在上有且只有两个交点，
由以上分析可知，
则，
所以，
因为在单调递增，所以，即．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数零点存在定理；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）先求二次函数的对称轴，再分情况讨论对称轴与区间的关系，分别利用在上的最小值是7列方程求解即可；
（2）先判断方程存在解，则一定有，可得方程在上有两不等实根，判断，利用余弦函数的单调性求解即可.
（1）函数，对称轴为．
当即时，在单调递增，最小值为．
由，解得，满足．
当即时，函数最小值为，无解．
当即时，函数最小值为，解得，不满足，舍去．
综上，．
（2）在内，结合的取值范围与的取值范围，
可得根所在区间满足：且
时，解得，即或；
时，解得．
所以，若方程存在解，则一定有．
记，
则
可知方程在上有两不等实根．
而的图象如图所示：
故在上有且只有两个交点，
（法一）由以上分析可知
则，
所以．
因为在单调递增，所以，即．
（法二）则，
因为对称轴为，所以，
且整理可得，且，
显然在上单调递增，所以，即．
又因为且在该区间单调递减，
所以，即．
故．
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