浙江省学考适应性2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025高二下·浙江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故选：A.
【分析】根据交集的交集运算即可求得.
2．（2025高二下·浙江月考）复数，则的实部为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则的实部为3.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法求，再根据复数的概念判断即可.
3．（2025高二下·浙江月考）一个不透明盒子中装有4个红球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：摸到红球的概率是.
故答案为：B.
【分析】根据古典概型概率公式计算即可.
4．（2025高二下·浙江月考）已知a，b为实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但不满足且，即充分性不成立；
若且，则，即必要性成立，
故”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据充分与必要条件的定义判断即可.
5．（2025高二下·浙江月考）非零单位向量，满足，则与夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： 非零单位向量，满足 ，
则，即，
易知，
设与夹角为，
则，
因为，所以.
故答案为：A .
【分析】由题意可得：，再计算，设与夹角为，根据向量夹角公式求解即可.
6．（2025高二下·浙江月考）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
令，则，
由，则函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】利用余弦二倍角公式化简函数，再利用换元法，结合二次函数的性质求解即可.
7．（2025高二下·浙江月考）已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，正方体的棱长为，
由球的体积为，可得，解得，
则，即.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为，正方体的棱长为，根据球的体积求得球的半径，再利用正方体的体对角线为球的直径求解即可.
8．（2025高二下·浙江月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理得，则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理化简求解即可.
9．（2025高二下·浙江月考）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：过作与平行的直线，如图所示：
易知， 直线过点且，
因为，直线为的平分线，所以，
其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，
综上，满足条件的直线的条数为2.
故答案为：C.
【分析】将异面直线平移到点处，数形结合判断与所成的角都为的直线有2条.
10．（2025高二下·浙江月考）当时，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，，
又因为函数在上单调递减，所以，故A错误；
B、因为，所以，易知，故B错误；
C、由，则，，
易知函数在上单调递减，则，故C错误；
D、由，则，
易知函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性逐项分析判断即可.
11．（2025高二下·浙江月考）石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量与超声处理时间（单位：分钟）满足，其中为初始颗粒数量，为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数约为（ ）（参考数据：，）
A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4%
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可得，
即，整理可得，即，
即，则.
故答案为：C.
【分析】由题意列方程，结合对数运算性质求解即可.
12．（2025高二下·浙江月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数满足 ，
令，可得①，
令，可得②，
①②两式相减得，即函数是周期为4的周期函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
令，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】由题可得函数是周期为4的周期函数，再由为奇函数，求得，最后利用周期性、奇偶性求的值即可.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）
13．（2025高二下·浙江月考）已知空间向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，故选项A正确；
B、因为，所以不存在使，即不平行， 故选项B不正确；
C、因为，所以，故选项C正确；
D、因为，所以，故选项D不正确，
故选：AC.
【分析】根据向量的模长公式计算可判断选项A；根据向量的共线定理计算看向量是否有倍数关系可判断选项B；根据向量垂直的充要条件看是否为零计算可判断选项C；根据向量坐标的加法运算先求得，进而利用向量的数量积坐标运算计算即可判断选项D.
14．（2025高二下·浙江月考）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
15．（2025高二下·浙江月考）已知正方体，棱长为1，点P是正方形内的动点（包括正方形边界），则（ ）
A．若P到点，距离相等，则P的轨迹是线段
B．P到直线AB距离的最小值为
C．存在点P，使得二面角的大小为
D．若P是中点，则PA与平面ABCD所成角的正切值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、若P到点、距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，
又因为点P是正方形内的动点（包括正方形边界），
所以P的轨迹是线段，故A正确；
B、当点P在上时，P到直线AB距离的最小为，故B错误；
C、当点在线段上时，连接，因为平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
当时，，因为，所以，
所以存在点P，使得二面角的大小为，故C正确；
D、连接相交于点，连接，如图所示：
因为平面，所以为直线与平面所成的角，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据点在线段的垂直平分线上即可判断A；当点P在上时，P到直线AB距离的最小即可判断B；当点在线段上时，即为二面角的平面角，令时，求出即可判断C；连接相交于点，易得为与平面所成的角，根据边长求出即可判断D.
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共12分）
16．（2025高二下·浙江月考）已知函数是奇函数，当时，，则当时， .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则时，.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式即可.
17．（2025高二下·浙江月考）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
【答案】4
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：设，
若，则，
当时，或，；
则，解得．
故答案为：4.
【分析】设，由题意可得，结合的解可得，据此求的值即可.
18．（2025高二下·浙江月考）已知正三角形ABC边长为12，点E为AB边的中点，，若点P是边上的动点，则满足的点P有 个
【答案】3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：当在上时，如下图示：
，
令，则，
则，
当趋向0时趋向，当时，
当趋向时趋向，所以上存在一个点满足；
当在上时，若，则，，，如下图示：
若与之间（含端点），则，即存在一个点满足，
若在之间，，不符合，
若与之间（含端点），则，不符合；
当在上时，若，则，，，如下图示：
若与之间（含端点），则，即存在一个点满足；
若在之间，，不符合；
若与之间（含端点），则，不符合，
综上，一共有3个点满足要求.
故答案为：3.
【分析】由题意，分情况讨论在的三边上，结合向量数量积的几何意义及运算律，数形结合判断是否存在满足题设要求的点即可.
19．（2025高二下·浙江月考）已知正实数x，y满足，则的取值范围 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知，令，则，
则
，
当且仅当时取等号，
即，则，即，解得，
当时，，则时取得；
当时，，则时取得；
综上，.
故答案为：.
【分析】由题意，令，则，利用基本不等式，将已知条件化为求解即可，注意等号成立的条件.
四、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2025高二下·浙江月考）中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了，，，，（单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）；
（2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄.
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
设80%分位数为x，则，解得，
即80%分位数为；
（2）解：估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为
.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得a，再根据百分位数定义求解即可；
（2）每个矩形的底边中点横坐标与该矩形的面积相乘后求和可得平均值.
（1），得
设80%分位数为x，则
解得. 所以80%分位数为.
（2）估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为
21．（2025高二下·浙江月考）如图，四棱锥的底面是菱形，且平面，E，F分别是棱PB，PC的中点.
（1）求证：平面PAD.
（2）求证：平面平面PAC.
（3）若，求直线DF和平面PAB所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，分别是中点，所以，
又因为，所以，平面PAD，平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
又因为菱形中有，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（3）解：作AD中点K，连EK，K到平面PAB的距离就是D到平面PAB的距离的一半，
由，平面，平面，则平面，
所以D到平面PAB的距离，即为C到平面PAB的距离，
又因为平面，平面，所以平面平面，
平面平面，即为C到AB的距离，
设，易得C到的距离为，
所以K到平面PAB的距离h为，而，，则，
由（1）知且，则且，
所以是平行四边形，故，
故直线DF和平面PAB所成角，即为直线EK与平面PAB所成角为，
而，
所以，所求角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）易知，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直、菱形的性质有、，再由线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可；
（3）作AD中点K，连EK，根据已知化为求直线EK与平面PAB所成角，再求正弦值即可.
（1），F分别是PB，PC中点，
，又，
，平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）平面，平面，则，
菱形ABCD中有，且都在平面内，
平面，平面PAC，
平面平面PBD.
（3）作AD中点K，连EK，K到平面PAB的距离就是D到平面PAB的距离的一半，
由，平面，平面，则平面，
所以，D到平面PAB的距离，即为C到平面PAB的距离，
又平面，平面，所以平面平面，
平面平面，即为C到AB的距离，
设，易得C到的距离为，
所以K到平面PAB的距离h为，而，，则，
由（1）知且，则且，
所以是平行四边形，故，
故直线DF和平面PAB所成角，即为直线EK与平面PAB所成角为，
而，
所以，所求角的正弦值为.
22．（2025高二下·浙江月考）已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数为偶函数，
所以
，
即，解得；
（2）解：由（1）可得，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，即，
当时，，则，
所以，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意；
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，所以，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，此时；
③当时，恒成立，符合题意，
综上所述，的取值范围是，
则的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用偶函数的定义结合对数运算求实数的值即可；
（2）分析函数在上的单调性，令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合求的取值范围即可.
（1）因为，
所以，
，
因为函数为偶函数，则，即，
所以，，解得.
（2）由（1）可得
，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，，即，
当时，，则，
所以，，即，
所以，函数在上递减，在上递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，
所以，，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，，此时，；
③当时，恒成立，符合题意．
综上所述，的取值范围是，的取值范围是．
1 / 1浙江省学考适应性2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025高二下·浙江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·浙江月考）复数，则的实部为（ ）
A．3 B． C．1 D．2
3．（2025高二下·浙江月考）一个不透明盒子中装有4个红球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·浙江月考）已知a，b为实数，则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高二下·浙江月考）非零单位向量，满足，则与夹角是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·浙江月考）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·浙江月考）已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为，则正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·浙江月考）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二下·浙江月考）异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为，这样的直线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2025高二下·浙江月考）当时，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·浙江月考）石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量与超声处理时间（单位：分钟）满足，其中为初始颗粒数量，为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数约为（ ）（参考数据：，）
A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4%
12．（2025高二下·浙江月考）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选、错选得0分.）
13．（2025高二下·浙江月考）已知空间向量，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025高二下·浙江月考）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
15．（2025高二下·浙江月考）已知正方体，棱长为1，点P是正方形内的动点（包括正方形边界），则（ ）
A．若P到点，距离相等，则P的轨迹是线段
B．P到直线AB距离的最小值为
C．存在点P，使得二面角的大小为
D．若P是中点，则PA与平面ABCD所成角的正切值为
三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共12分）
16．（2025高二下·浙江月考）已知函数是奇函数，当时，，则当时， .
17．（2025高二下·浙江月考）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 .
18．（2025高二下·浙江月考）已知正三角形ABC边长为12，点E为AB边的中点，，若点P是边上的动点，则满足的点P有 个
19．（2025高二下·浙江月考）已知正实数x，y满足，则的取值范围 .
四、解答题（本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（2025高二下·浙江月考）中国新能源汽车产业发展势头迅猛，社会关注度持续增长.大数据显示，不同品牌的新能源汽车，其关注群体有不同的年龄分布.某网站面向关注新能源汽车的站内用户群体做了一个问卷调查，从关注品牌A的网友中随机抽取300人，并将他们按年龄分成了，，，，（单位：岁）这五组，并画出频率分布直方图如图所示.
（1）求图中a的值和80%分位数（精确到小数点后一位）；
（2）根据以上数据，估计该网站用户中关注新能源品牌A的网友的平均年龄.
21．（2025高二下·浙江月考）如图，四棱锥的底面是菱形，且平面，E，F分别是棱PB，PC的中点.
（1）求证：平面PAD.
（2）求证：平面平面PAC.
（3）若，求直线DF和平面PAB所成角的正弦值.
22．（2025高二下·浙江月考）已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得，，
故选：A.
【分析】根据交集的交集运算即可求得.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，则的实部为3.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的乘法求，再根据复数的概念判断即可.
3．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可得：摸到红球的概率是.
故答案为：B.
【分析】根据古典概型概率公式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但不满足且，即充分性不成立；
若且，则，即必要性成立，
故”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据充分与必要条件的定义判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解： 非零单位向量，满足 ，
则，即，
易知，
设与夹角为，
则，
因为，所以.
故答案为：A .
【分析】由题意可得：，再计算，设与夹角为，根据向量夹角公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
令，则，
由，则函数的值域为.
故答案为：C.
【分析】利用余弦二倍角公式化简函数，再利用换元法，结合二次函数的性质求解即可.
7．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，正方体的棱长为，
由球的体积为，可得，解得，
则，即.
故答案为：C.
【分析】设球的半径为，正方体的棱长为，根据球的体积求得球的半径，再利用正方体的体对角线为球的直径求解即可.
8．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理得，则.
故答案为：B.
【分析】利用正弦定理，结合余弦定理化简求解即可.
9．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定
【解析】【解答】解：过作与平行的直线，如图所示：
易知， 直线过点且，
因为，直线为的平分线，所以，
其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于，
综上，满足条件的直线的条数为2.
故答案为：C.
【分析】将异面直线平移到点处，数形结合判断与所成的角都为的直线有2条.
10．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、因为，所以，，
又因为函数在上单调递减，所以，故A错误；
B、因为，所以，易知，故B错误；
C、由，则，，
易知函数在上单调递减，则，故C错误；
D、由，则，
易知函数在上单调递减，函数在上单调递增，
则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性逐项分析判断即可.
11．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意可得，
即，整理可得，即，
即，则.
故答案为：C.
【分析】由题意列方程，结合对数运算性质求解即可.
12．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解： 函数满足 ，
令，可得①，
令，可得②，
①②两式相减得，即函数是周期为4的周期函数，
因为为奇函数，所以，
所以，
令，可得，
则.
故答案为：D.
【分析】由题可得函数是周期为4的周期函数，再由为奇函数，求得，最后利用周期性、奇偶性求的值即可.
13．【答案】A,C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，故选项A正确；
B、因为，所以不存在使，即不平行， 故选项B不正确；
C、因为，所以，故选项C正确；
D、因为，所以，故选项D不正确，
故选：AC.
【分析】根据向量的模长公式计算可判断选项A；根据向量的共线定理计算看向量是否有倍数关系可判断选项B；根据向量垂直的充要条件看是否为零计算可判断选项C；根据向量坐标的加法运算先求得，进而利用向量的数量积坐标运算计算即可判断选项D.
14．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
15．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、若P到点、距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，
又因为点P是正方形内的动点（包括正方形边界），
所以P的轨迹是线段，故A正确；
B、当点P在上时，P到直线AB距离的最小为，故B错误；
C、当点在线段上时，连接，因为平面，
平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
当时，，因为，所以，
所以存在点P，使得二面角的大小为，故C正确；
D、连接相交于点，连接，如图所示：
因为平面，所以为直线与平面所成的角，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据点在线段的垂直平分线上即可判断A；当点P在上时，P到直线AB距离的最小即可判断B；当点在线段上时，即为二面角的平面角，令时，求出即可判断C；连接相交于点，易得为与平面所成的角，根据边长求出即可判断D.
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：当时，，，
因为函数为奇函数，所以，
则时，.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式即可.
17．【答案】4
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：设，
若，则，
当时，或，；
则，解得．
故答案为：4.
【分析】设，由题意可得，结合的解可得，据此求的值即可.
18．【答案】3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：当在上时，如下图示：
，
令，则，
则，
当趋向0时趋向，当时，
当趋向时趋向，所以上存在一个点满足；
当在上时，若，则，，，如下图示：
若与之间（含端点），则，即存在一个点满足，
若在之间，，不符合，
若与之间（含端点），则，不符合；
当在上时，若，则，，，如下图示：
若与之间（含端点），则，即存在一个点满足；
若在之间，，不符合；
若与之间（含端点），则，不符合，
综上，一共有3个点满足要求.
故答案为：3.
【分析】由题意，分情况讨论在的三边上，结合向量数量积的几何意义及运算律，数形结合判断是否存在满足题设要求的点即可.
19．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知，令，则，
则
，
当且仅当时取等号，
即，则，即，解得，
当时，，则时取得；
当时，，则时取得；
综上，.
故答案为：.
【分析】由题意，令，则，利用基本不等式，将已知条件化为求解即可，注意等号成立的条件.
20．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得，
设80%分位数为x，则，解得，
即80%分位数为；
（2）解：估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为
.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得a，再根据百分位数定义求解即可；
（2）每个矩形的底边中点横坐标与该矩形的面积相乘后求和可得平均值.
（1），得
设80%分位数为x，则
解得. 所以80%分位数为.
（2）估计该网站内关注品牌A的用户平均年龄为
21．【答案】（1）证明：因为，分别是中点，所以，
又因为，所以，平面PAD，平面，所以平面；
（2）解：因为平面，平面，所以，
又因为菱形中有，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
（3）解：作AD中点K，连EK，K到平面PAB的距离就是D到平面PAB的距离的一半，
由，平面，平面，则平面，
所以D到平面PAB的距离，即为C到平面PAB的距离，
又因为平面，平面，所以平面平面，
平面平面，即为C到AB的距离，
设，易得C到的距离为，
所以K到平面PAB的距离h为，而，，则，
由（1）知且，则且，
所以是平行四边形，故，
故直线DF和平面PAB所成角，即为直线EK与平面PAB所成角为，
而，
所以，所求角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）易知，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直、菱形的性质有、，再由线面垂直、面面垂直的判定定理证明即可；
（3）作AD中点K，连EK，根据已知化为求直线EK与平面PAB所成角，再求正弦值即可.
（1），F分别是PB，PC中点，
，又，
，平面PAD，平面PAD，
平面PAD.
（2）平面，平面，则，
菱形ABCD中有，且都在平面内，
平面，平面PAC，
平面平面PBD.
（3）作AD中点K，连EK，K到平面PAB的距离就是D到平面PAB的距离的一半，
由，平面，平面，则平面，
所以，D到平面PAB的距离，即为C到平面PAB的距离，
又平面，平面，所以平面平面，
平面平面，即为C到AB的距离，
设，易得C到的距离为，
所以K到平面PAB的距离h为，而，，则，
由（1）知且，则且，
所以是平行四边形，故，
故直线DF和平面PAB所成角，即为直线EK与平面PAB所成角为，
而，
所以，所求角的正弦值为.
22．【答案】（1）解：因为函数为偶函数，
所以
，
即，解得；
（2）解：由（1）可得，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，即，
当时，，则，
所以，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意；
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，所以，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，此时；
③当时，恒成立，符合题意，
综上所述，的取值范围是，
则的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数恒成立问题；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用偶函数的定义结合对数运算求实数的值即可；
（2）分析函数在上的单调性，令，，则对恒成立，对实数的取值进行分类讨论，验证对能否恒成立，综合求的取值范围即可.
（1）因为，
所以，
，
因为函数为偶函数，则，即，
所以，，解得.
（2）由（1）可得
，
，
任取、，且，则，
，
当时，，则，
所以，，即，
当时，，则，
所以，，即，
所以，函数在上递减，在上递增，
令，问题转化为：，即，
再令，所以，对恒成立．
（i）当时，左边，右边，不符合题意
（ii）当时，
①当时，则，，
当时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则，解得，此时；
②当时，有，
所以，，
当，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故在上的最大值为，
所以，，此时，；
③当时，恒成立，符合题意．
综上所述，的取值范围是，的取值范围是．
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