广东省深圳市第二实验学校2024-2025七年级下册期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（2025七下·深圳期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
2．（2025七下·深圳期末）以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
3．（2025七下·深圳期末）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.00000124m，将数据0.00000124用科学记数法表示（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据0.00000124用科学记数法表示
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025七下·深圳期末） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，单项式乘多项式逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七下·深圳期末）一个不透明的袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则袋中红球的个数是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设红球的个数为x
由题意可得：
，解得：x =9
即红球的个数为9
故答案为：C
【分析】设红球的个数为x，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
6．（2025七下·深圳期末） 等腰三角形的一边长10cm，另一边长4cm，它的第三边长为（ ）
A．4cm B．10cm C．6cm D．4cm或 10cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当10为底边长，4为腰长时
∵4+4<10，不能构成三角形
当10为腰长，4为底边长时，第三边为10
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系即可求出答案.
7．（2025七下·深圳期末）计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方运算法则转化为进行化简运算即可．
8．（2025七下·深圳期末）如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是（ ）
A．a+b B．b+2c C．a+b+2c D．a+c-b
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取CD中点H，连接PH，FH
∵四边形ABCD是长方形，F是AB的中点
∴四边形ADHF是长方形
∴FH=AD=AE+DE=a+b
由折叠可得，CD=CF
∵G是CF的中点，H是CE的中点
∴CG=CH
在△GCP和△HCP中
∴△GCP≌△HCP(SAS)
∴PG=PH
∴PF+PG=PH+PF≥FH=a+b
∴当点F，P，H三点共线时，PF+PG的值最小，最小值为a+b
故答案为：A
【分析】取CD中点H，连接PH，FH，根据矩形判定定理可得四边形ADHF是长方形，则FH=AD=AE+DE=a+b，由折叠可得，CD=CF，根据线段中点可得CG=CH，再根据全等三角形判定定理可得△GCP≌△HCP(SAS)，则PG=PH，再根据边之间的人关系即可求出答案.
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
9．（2025七下·深圳期末）若 ， ，则 = .
【答案】21
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：21.
【分析】逆用同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘底数不变指数相加”可得am+n=am·an，然后把已知条件代入计算即可求解.
10．（2025七下·深圳期末）已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是 ．
【答案】4
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意得：x=64，
则64的立方根是4，
故答案为：4
【分析】利用算术平方根的定义求出x的值，即可确定出x的立方根．
11．（2025七下·深圳期末）如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE=BF、若△DCE的面积为5，则△DBF的面积为 ；
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，
∵S△CDE=CE·DH，S△BDF=BF·DG，CE=BF，
∴S△CDE=S△BDF=5.
故答案为：5.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DG=DH，进而根据等底等高三角形的面积相等可得答案.
12．（2025七下·深圳期末）乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差.重复这个过程··…以579开始，按照此程序运算6次后得到的数是 .
【答案】495
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意可得：
最小数为579，则最大数为975
第一次运算：975-579=396，最大数为963
第二次运算：963-369=594，最大数为954
第三次运算：954-594=495，最大数为954
第四次运算：954-594=495，最大数为954
第五次运算：954-594=495，最大数为954
第六次运算：954-594=495，
∴此程序运算6次后得到的数是495
故答案为：495
【分析】根据程序运算进行计算即可求出答案.
13．（2025七下·深圳期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= .
【答案】12
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DN∥AF，交CE延长线于点N
∴∠FDN=∠F，∠FBE=∠N
∵点E是DF的中点
∴DE=FE
∴△DEN≌△FEB(AAS)
∴EN=BE
∵BH=2，BE=2BH
∴EN=BE=4
∴NH=10
∵AB=AC
∴∠C=∠ABC
∵DN∥AF
∴∠ABC=∠N
∴∠C=∠N
∴DC=DN
∵DH⊥BC
∴CH=NH=10
∴BC=CH+BH=12
故答案为：12
【分析】过点D作DN∥AF，交CE延长线于点N，根据直线平行性质可得∠FDN=∠F，∠FBE=∠N，再根据全等三角形判定定理可得△DEN≌△FEB(AAS)，则EN=BE，再根据边之间的关系可得NH=10，根据等边对等角可得∠C=∠ABC，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠N，则∠C=∠N，即DC=DN，根据垂直平分线性质可得CH=NH=10，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，其中第14题10分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．（2025七下·深圳期末）
（1）.
（2）
【答案】（1）解：原式＝9+1×（﹣5）﹣3+8
＝9﹣5﹣3+8
＝4﹣3+8
＝1+8
＝9
（2）解：3a a5+（2a2）3﹣a11÷a5
＝3a6+8a6﹣a6
＝10a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，0指数幂，绝对值的性质，二次根式性质化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．（2025七下·深圳期末）先化简，再求值：，其中 ，.
【答案】解：原式＝（9x2+6xy+y2﹣9x2+y2）÷（2y）
＝（6xy+2y2）÷（2y）
＝3x+y；
当x＝﹣，y＝﹣2时，
原式＝3×（﹣）+（﹣2）
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．（2025七下·深圳期末）如图，在△ABC中，AB =AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连AD，DE.AD = DE. ∠1 = ∠2.
（1）求证： △ABD≌△DCE；
（2）若AE= 2，BD=3， 求CD的长.
【答案】（1）证明：，
，
又，
（2）解：，
∴，
∴，
，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．（2025七下·深圳期末）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合.
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C'（其中A的对称点为A'，B的对称点为B'，C的对称点为C'）；
（2）△ABC的面积为 .
（3）点P是直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 .
【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】 【解答】解：（2）
故答案为：
（3）连接B'C，B'P
由轴对称的性质可得B'P=BP
∴PB+PC=PC+PB'
当点C，B；，P三点共线时，PC+PB'最小，即PB+PC最小，最小值为B'C的长
∴
∴PB+PC的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于直线m的对称点A'，B'，C'，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法即可求出△ABC的面积.
（3）连接B'C，B'P，由轴对称的性质可得B'P=BP，则PB+PC=PC+PB'，当点C，B；，P三点共线时，PC+PB'最小，即PB+PC最小，最小值为B'C的长，再根据勾股定理即可求出答案.
18．（2025七下·深圳期末）在一场比赛中，龟和免从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点，比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）乌龟的速度为 米/分，兔子在休息后的速度为 米/分，比赛全程 米；
（2）骄傲的兔子在离开起点 米时停下休息，休息了 分；
（3）请解释图中点A的实际意义：
（4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？
【答案】（1）1；；10
（2）5；3
（3）兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米．
（4）解：依题意，兔子休息前的速度为米/分，
∴兔子需要的时间为分钟，
∵兔子比乌龟晚出发2分钟，
∴兔子需要8分钟完成比赛，
10﹣8＝2分钟．
答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意兔子比乌龟晚出发，
由图象可得乌龟的速度为米/分
当t=5时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为5×1=5
当t=8时，兔子休息完，t=10时，二者同时到达终点
∴比赛全程长为10×1=10米
∴兔子在休息后的速度为米/分
故答案为：1；；10
（2）由题意可得：当t=5时，兔子第一次追上乌龟，开始休息
当t=8时，两者距离最大，兔子休息完
∴骄傲的兔子在离开起点5×1=5米时停下休息
休息了8-5=3分钟
故答案为：5；3
（3）由题意可得：
图中点A的实际意义为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
【分析】（1）根据图象信息，结合速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）根据图中信息即可求出答案.
（3）图中点A的实际意义为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米.
（4）求出兔子休息前的速度，兔子需要的时间，结合图象信息即可求出答案.
19．（2025七下·深圳期末）阅读理解：
若x满足（30 -x）（x-20）=16， 求（30 -x） 2+（x-20） 2的值.
解：设30-x=a，х-20=b，
则（30-x）（x-20）=ab=16，
a+b= （30-x） + （x-20） =10，
（30-x） 2+ （x-20） 2=a2+b2= （a+b） 2-2ab=102-2×16=68
（1）【类比探究】若x满足（80-x）（x-50）=300. 求（80-x）2+（x-50）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2025-x）（2020-x）=5， 则（2025-x）2+（2020-x）2= ；（直接写出结论，不用说明理由.）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB=21，BC=14，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位
【答案】（1）解：设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，
则 （80﹣x）（x﹣50）＝ab＝300，
a+b＝（80﹣x）+（x﹣50）＝30，
所以 （80﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×300＝300；
（2）35
（3）解：由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），
∴阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，
∵长方形 CEPF 的面积为150，
∴．（20﹣x）（12﹣x）＝150，
∴（21﹣x）（x﹣14）＝﹣150，
设21﹣x＝a，x﹣14＝b，
则（21﹣x）（x﹣14）＝ab＝﹣150，
a+b＝（21﹣x）+（x﹣14）＝7，
∴（21﹣x）2+（x﹣14）2
＝（21﹣x）2+（14﹣x）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝49﹣2×（﹣150）
＝349，
∴阴影部分的面积和为349平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：（2）设2025-x=a，2020-x=b
则（2025-x）（2020-x）=ab=5
a-b=（2025-x）-（2020-x）=5
∴2025-x）2+（2020-x）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×5=35
故答案为：35
【分析】（1）根据题意设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（2）根据题意设2025-x=a，2020-x=b，求出a-b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（3）由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，根据题意设21﹣x＝a，x﹣14＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
20．（2025七下·深圳期末）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ；位置关系是 .
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=25，DE=14，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长.
【答案】（1）AE＝BD；AE⊥BD
（2）解：结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）解：满足条件的AD的值为17或31
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）延长AE交BD于点H
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH
∴∠BEH+∠EBH=90°
∴∠EHB=90°，即AE⊥BD
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝7，
在Rt△ACH中，
∵AC＝25，CH＝7，
∴AH＝＝24，
∴AD＝AH+DH＝24+7＝31．
②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝24，故AD＝AH﹣DH＝24﹣7＝17，
综上所述，满足条件的AD的值为17或31．
【分析】（1）延长AE交BD于点H，根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCD(SAS)，则AE=BD，∠EAC=∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长AE交BD于H，交BC于O，根据等角对等边可得∠ACE＝∠BCD，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCD，则AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H，根据直角三角形斜边上的中线性质可得EH＝DH，CH＝DE＝7，再根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案；②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD用H，同理即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市第二实验学校2024-2025七年级下册期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）
1．（2025七下·深圳期末） 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·深圳期末）以下是“有机食品”、“安全饮品”、“循环再生”、“绿色食品”的四个标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·深圳期末）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.00000124m，将数据0.00000124用科学记数法表示（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·深圳期末） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·深圳期末）一个不透明的袋中装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则袋中红球的个数是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．10
6．（2025七下·深圳期末） 等腰三角形的一边长10cm，另一边长4cm，它的第三边长为（ ）
A．4cm B．10cm C．6cm D．4cm或 10cm
7．（2025七下·深圳期末）计算的结果是（ ）
A． B．4 C． D．
8．（2025七下·深圳期末）如图，长方形ABCD中，点E为AD上一点，连接CE，将长方形ABCD沿着直线CE折叠，点D恰好落在AB的中点F上，点G为CF的中点，点P为线段CE上的动点，连接PF、PG，若AE=a、ED=b、AF=c，则PF+PG的最小值是（ ）
A．a+b B．b+2c C．a+b+2c D．a+c-b
二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上）
9．（2025七下·深圳期末）若 ， ，则 = .
10．（2025七下·深圳期末）已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是 ．
11．（2025七下·深圳期末）如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE=BF、若△DCE的面积为5，则△DBF的面积为 ；
12．（2025七下·深圳期末）乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差.重复这个过程··…以579开始，按照此程序运算6次后得到的数是 .
13．（2025七下·深圳期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D为CA延长线上一点，DH⊥BC于点H，点F为AB延长线上一点，连接DF交CB的延长线于点E，点E是DF的中点，若BH=2，BE=2BH，则BC= .
三、解答题（本题共7小题，其中第14题10分，第15题6分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分）
14．（2025七下·深圳期末）
（1）.
（2）
15．（2025七下·深圳期末）先化简，再求值：，其中 ，.
16．（2025七下·深圳期末）如图，在△ABC中，AB =AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连AD，DE.AD = DE. ∠1 = ∠2.
（1）求证： △ABD≌△DCE；
（2）若AE= 2，BD=3， 求CD的长.
17．（2025七下·深圳期末）如图所示的正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线m与网格中竖直的线重合.
（1）作出△ABC关于直线m对称的△A'B'C'（其中A的对称点为A'，B的对称点为B'，C的对称点为C'）；
（2）△ABC的面积为 .
（3）点P是直线m上的动点，则PB+PC的最小值是 .
18．（2025七下·深圳期末）在一场比赛中，龟和免从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点，比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）乌龟的速度为 米/分，兔子在休息后的速度为 米/分，比赛全程 米；
（2）骄傲的兔子在离开起点 米时停下休息，休息了 分；
（3）请解释图中点A的实际意义：
（4）若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？
19．（2025七下·深圳期末）阅读理解：
若x满足（30 -x）（x-20）=16， 求（30 -x） 2+（x-20） 2的值.
解：设30-x=a，х-20=b，
则（30-x）（x-20）=ab=16，
a+b= （30-x） + （x-20） =10，
（30-x） 2+ （x-20） 2=a2+b2= （a+b） 2-2ab=102-2×16=68
（1）【类比探究】若x满足（80-x）（x-50）=300. 求（80-x）2+（x-50）2的值；
（2）【联系拓展】若x满足（2025-x）（2020-x）=5， 则（2025-x）2+（2020-x）2= ；（直接写出结论，不用说明理由.）
（3）【解决问题】如图，在长方形ABCD中，AB=21，BC=14，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位
20．（2025七下·深圳期末）如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ；位置关系是 .
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=25，DE=14，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：=
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形；
选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：D．
【分析】轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据0.00000124用科学记数法表示
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不能合并，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，单项式乘多项式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设红球的个数为x
由题意可得：
，解得：x =9
即红球的个数为9
故答案为：C
【分析】设红球的个数为x，根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当10为底边长，4为腰长时
∵4+4<10，不能构成三角形
当10为腰长，4为底边长时，第三边为10
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形性质及三角形三边关系即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：D．
【分析】利用积的乘方运算法则转化为进行化简运算即可．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取CD中点H，连接PH，FH
∵四边形ABCD是长方形，F是AB的中点
∴四边形ADHF是长方形
∴FH=AD=AE+DE=a+b
由折叠可得，CD=CF
∵G是CF的中点，H是CE的中点
∴CG=CH
在△GCP和△HCP中
∴△GCP≌△HCP(SAS)
∴PG=PH
∴PF+PG=PH+PF≥FH=a+b
∴当点F，P，H三点共线时，PF+PG的值最小，最小值为a+b
故答案为：A
【分析】取CD中点H，连接PH，FH，根据矩形判定定理可得四边形ADHF是长方形，则FH=AD=AE+DE=a+b，由折叠可得，CD=CF，根据线段中点可得CG=CH，再根据全等三角形判定定理可得△GCP≌△HCP(SAS)，则PG=PH，再根据边之间的人关系即可求出答案.
9．【答案】21
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：21.
【分析】逆用同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘底数不变指数相加”可得am+n=am·an，然后把已知条件代入计算即可求解.
10．【答案】4
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意得：x=64，
则64的立方根是4，
故答案为：4
【分析】利用算术平方根的定义求出x的值，即可确定出x的立方根．
11．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC，
∴DG=DH，
∵S△CDE=CE·DH，S△BDF=BF·DG，CE=BF，
∴S△CDE=S△BDF=5.
故答案为：5.
【分析】过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DG=DH，进而根据等底等高三角形的面积相等可得答案.
12．【答案】495
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意可得：
最小数为579，则最大数为975
第一次运算：975-579=396，最大数为963
第二次运算：963-369=594，最大数为954
第三次运算：954-594=495，最大数为954
第四次运算：954-594=495，最大数为954
第五次运算：954-594=495，最大数为954
第六次运算：954-594=495，
∴此程序运算6次后得到的数是495
故答案为：495
【分析】根据程序运算进行计算即可求出答案.
13．【答案】12
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DN∥AF，交CE延长线于点N
∴∠FDN=∠F，∠FBE=∠N
∵点E是DF的中点
∴DE=FE
∴△DEN≌△FEB(AAS)
∴EN=BE
∵BH=2，BE=2BH
∴EN=BE=4
∴NH=10
∵AB=AC
∴∠C=∠ABC
∵DN∥AF
∴∠ABC=∠N
∴∠C=∠N
∴DC=DN
∵DH⊥BC
∴CH=NH=10
∴BC=CH+BH=12
故答案为：12
【分析】过点D作DN∥AF，交CE延长线于点N，根据直线平行性质可得∠FDN=∠F，∠FBE=∠N，再根据全等三角形判定定理可得△DEN≌△FEB(AAS)，则EN=BE，再根据边之间的关系可得NH=10，根据等边对等角可得∠C=∠ABC，再根据直线平行性质可得∠ABC=∠N，则∠C=∠N，即DC=DN，根据垂直平分线性质可得CH=NH=10，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：原式＝9+1×（﹣5）﹣3+8
＝9﹣5﹣3+8
＝4﹣3+8
＝1+8
＝9
（2）解：3a a5+（2a2）3﹣a11÷a5
＝3a6+8a6﹣a6
＝10a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，0指数幂，绝对值的性质，二次根式性质化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．【答案】解：原式＝（9x2+6xy+y2﹣9x2+y2）÷（2y）
＝（6xy+2y2）÷（2y）
＝3x+y；
当x＝﹣，y＝﹣2时，
原式＝3×（﹣）+（﹣2）
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：，
，
又，
（2）解：，
∴，
∴，
，
，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求；
（2）
（3）
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】 【解答】解：（2）
故答案为：
（3）连接B'C，B'P
由轴对称的性质可得B'P=BP
∴PB+PC=PC+PB'
当点C，B；，P三点共线时，PC+PB'最小，即PB+PC最小，最小值为B'C的长
∴
∴PB+PC的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于直线m的对称点A'，B'，C'，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法即可求出△ABC的面积.
（3）连接B'C，B'P，由轴对称的性质可得B'P=BP，则PB+PC=PC+PB'，当点C，B；，P三点共线时，PC+PB'最小，即PB+PC最小，最小值为B'C的长，再根据勾股定理即可求出答案.
18．【答案】（1）1；；10
（2）5；3
（3）兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米．
（4）解：依题意，兔子休息前的速度为米/分，
∴兔子需要的时间为分钟，
∵兔子比乌龟晚出发2分钟，
∴兔子需要8分钟完成比赛，
10﹣8＝2分钟．
答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据题意兔子比乌龟晚出发，
由图象可得乌龟的速度为米/分
当t=5时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为5×1=5
当t=8时，兔子休息完，t=10时，二者同时到达终点
∴比赛全程长为10×1=10米
∴兔子在休息后的速度为米/分
故答案为：1；；10
（2）由题意可得：当t=5时，兔子第一次追上乌龟，开始休息
当t=8时，两者距离最大，兔子休息完
∴骄傲的兔子在离开起点5×1=5米时停下休息
休息了8-5=3分钟
故答案为：5；3
（3）由题意可得：
图中点A的实际意义为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米
【分析】（1）根据图象信息，结合速度=路程÷时间即可求出答案.
（2）根据图中信息即可求出答案.
（3）图中点A的实际意义为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米.
（4）求出兔子休息前的速度，兔子需要的时间，结合图象信息即可求出答案.
19．【答案】（1）解：设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，
则 （80﹣x）（x﹣50）＝ab＝300，
a+b＝（80﹣x）+（x﹣50）＝30，
所以 （80﹣x）2+（x﹣50）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×300＝300；
（2）35
（3）解：由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），
∴阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，
∵长方形 CEPF 的面积为150，
∴．（20﹣x）（12﹣x）＝150，
∴（21﹣x）（x﹣14）＝﹣150，
设21﹣x＝a，x﹣14＝b，
则（21﹣x）（x﹣14）＝ab＝﹣150，
a+b＝（21﹣x）+（x﹣14）＝7，
∴（21﹣x）2+（x﹣14）2
＝（21﹣x）2+（14﹣x）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝49﹣2×（﹣150）
＝349，
∴阴影部分的面积和为349平方单位．
【知识点】完全平方公式及运用；整体思想
【解析】【解答】解：（2）设2025-x=a，2020-x=b
则（2025-x）（2020-x）=ab=5
a-b=（2025-x）-（2020-x）=5
∴2025-x）2+（2020-x）2=a2+b2=(a-b)2+2ab=52+2×5=35
故答案为：35
【分析】（1）根据题意设 80﹣x＝a，x﹣50＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（2）根据题意设2025-x=a，2020-x=b，求出a-b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
（3）由题意得，FC＝（21﹣x），EC＝（14﹣x），阴影部分的面积和为 （21﹣x）2+（14﹣x）2，根据题意设21﹣x＝a，x﹣14＝b，求出a+b的值，结合完全平方公式整体代入即可求出答案.
20．【答案】（1）AE＝BD；AE⊥BD
（2）解：结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）解：满足条件的AD的值为17或31
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）延长AE交BD于点H
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH
∴∠BEH+∠EBH=90°
∴∠EHB=90°，即AE⊥BD
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝7，
在Rt△ACH中，
∵AC＝25，CH＝7，
∴AH＝＝24，
∴AD＝AH+DH＝24+7＝31．
②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝24，故AD＝AH﹣DH＝24﹣7＝17，
综上所述，满足条件的AD的值为17或31．
【分析】（1）延长AE交BD于点H，根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCD(SAS)，则AE=BD，∠EAC=∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长AE交BD于H，交BC于O，根据等角对等边可得∠ACE＝∠BCD，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△BCD，则AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD于H，根据直角三角形斜边上的中线性质可得EH＝DH，CH＝DE＝7，再根据勾股定理可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案；②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD用H，同理即可求出答案.
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