上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷
一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分）
1．（2025·上海市模拟）设全集，若集合，则 ．
2．（2025·上海市模拟）函数的最小正周期为 ．
3．（2025·上海市模拟）若复数z满足（是虚数单位），则复数 ．
4．（2025·上海市模拟）设随机变量X服从正态分布，若，则 ．
5．（2025·上海市模拟）在的展开式中常数项是 .（用数字作答）
6．（2025·上海市模拟）已知空间向量，，，若，则 ．
7．（2025·上海市模拟）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是
8．（2025·上海市模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ．
9．（2025·上海市模拟）已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为 .
10．（2025·上海市模拟）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 .
11．（2025·上海市模拟）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ．
12．（2025·上海市模拟）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 .
二、选择题：（本大题共有4题，13，14题每小题选对得4分，15，16题每小题选对得5分，否则得零分，共18分）
13．（2025·上海市模拟）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2025·上海市模拟）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
15．（2025·上海市模拟）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得 B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面
16．（2025·上海市模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
三、解答题：（本大题共5题，满分78分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤）
17．（2025·上海市模拟）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．
（1）求证：平面PBC；
（2）求二面角的正弦值．
18．（2025·上海市模拟）已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
19．（2025·上海市模拟）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
（1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
20．（2025·上海市模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
21．（2025·上海市模拟）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点.
（1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对；
（3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意或，同时，
则.
故答案为：
【分析】
首先解出绝对值不等式求集合A，接着利用集合补运算求.
2．【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出余弦型函数，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
3．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z。
4．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态分布的对称性，
则，
故答案为：.
【分析】利用正态分布图像的图像及性质即可求得结果.
5．【答案】45
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】(x4+)10的通项为
=()r=，
令40-5r=0，解得r=8，代入得常数项为
==45.
【分析】利用二项式的通项公式=，令40-5r=0，解得r=8，即可求解.
6．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
，，，
解得，
故答案为：.
【分析】根据条件先求得，进而根据垂直条件和数量积坐标运算列式即可求得的值.
7．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，则-x<0，
因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，
如下图所示作出函数图象，
由图像可知：函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用函数奇偶性可得函数在上的解析式，进而做出图象，结合图象即可求得函数的值域.
8．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式以及三角形中角的取值范围，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，再利用二倍角单调正弦公式得出的值。
9．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，令，所以，变形得，
所以，
所以，化简得或（舍），
所以，
取渐近线方程为，即，所以到渐近线的距离为.
故答案为：
【分析】
采用特殊值法，令，解得，根据面积得到，解出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.
10．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】，，故.
故答案为：
【分析】根据题意，利用条件概率公式计算得到答案.
11．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，，所以菱形内切圆半径为点到的距离，
所以内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，所以，所以
所以，，
又因为，所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】画出图形可知菱形内切圆半径为点到的距离，内切圆半径，设出，且，利用向量的数量积坐标运算可得，结合和二次函数的性质即可求得最值.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意，利用“函数”的定义可知当函数为“函数”，直线与的图像至多只有一个交点，
则，即只有一根，
令，所以在上单调，
则，
当时，则，在上单调，满足要求；
当时，设，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
根据函数在上单调，所以，化简有，与矛盾，不成立；
当时，设，则，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则函数在上单调，则，解得，
又因为，即；
综上所述，，
故答案为：.
【分析】利用“函数”的定义得函数为“函数”，所以直线与的图像至多只有一个交点，所以得到至多只有一根，所以函数在定义域上单调，利用求导，分类讨论函数的单调性即可得到参数范围.
13．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“”是“”的必要不充分条件。
14．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
A中事件互斥不对立，A符合题意，
B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，B不符合题意，
C：由B的分析可知互斥且对立，C不符合题意，
D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析，即可得答案.
15．【答案】C
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、正方体中，易得平面，因为点在直线上，为线段的中点，当点和点重合时，平面，所以，故选项A正确；
B、连接、，当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故选项B正确；
C、平面，当点和点重合时，平面，所以直线和在同一平面内，故选项C错误；
D、平面，平面，，所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以直线与直线是异面直线，故选项D正确；
故选：C.
【分析】易知平面，当点和点重合时，利用线面垂直的性质即可判断选项A；当点为线段的中点时，根据三角形的中位线性质即可判断选项B；当点和点重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断选项C；直线PQ与另一条线所在的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断选项D.
16．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
17．【答案】（1）证明：因为 四边形ABCD是正方形， 所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：由平面，且四边形为正方形，所以直线两两垂直，
如图所示，以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
所以，
设平面的法向量，
则，取，则y=1，z=2，所以，
设平面的法向量，
则，取，则a=0，b=1，所以，
设二面角的大小为，
则，
因为，所以，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理可得平面平面，根据面面平行的性质即可证得平面PBC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再向量的夹角公式求得其余弦值，进而利用同角的三角函数关系式即可求得 二面角的正弦值.
（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设二面角的大小为，则，，
所以二面角的正弦值为.
18．【答案】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
又∵
①当时，即时，可得
∴当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
∴当时，函数为奇函数.
综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
∴，∴
∴，∴
令，∴，∴
∵
∴，
又∵，当且仅当，即x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上所述， 实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而利用函数的奇偶性的定义求得a的值即可；
（2）由(1)可知当函数为偶函数时，，进而可得函数的解析式，即可得的表达式，根据可得，利用换元法令，即可得，利用求根公式可得，结合指数函数和对勾函数的性质可得，进而讨论根与区间端点的关系列不等式组即可求得实数的取值范围．
19．【答案】（1）解：根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）解：记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
所以.
（3）解：X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望，
方差.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意先补全列联表，进而提出零假设，再由卡方公式计算求得即可得出结论；
（2）利用表格数据求得该地区居民体育达标的概率，进入利用全概率公式可求出该地区居民体能测试合格的概率.
（3）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，且，根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
（1）根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
因为，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题.
（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，
所以；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则；.
20．【答案】解：（1）由题意可知，，所以的周长为．
所以，即的周长为.
（2）由题意可设过的直线方程为，
联立，消去x得，
所以，
所以，
令，
所以（当时等号成立，即时）
所以，
所以面积的取值范围为.
（3）设，直线的方程为：，
联立，消y整理可得，
所以，得，，
所以．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上所述，的最大值为.
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可知，进而即可得的周长为；
（2）设过的直线方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解；
（3）设，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，进而可得，，即可求得点Q1坐标以及Q2，根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.
21．【答案】（1）解：函数是区间上的“平均值函数”，不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
因为，即，解得，
所以函数是区间上的“平均值函数”；
因为，即，所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”
（2）解：由题意可知，，
因为，即，显然不成立，
所以，
又所求的为整数对，所以或或或.
所以满足条件的整数数对为(4，2)，(-4，4)，(-2，5)，(-1，7).
（3）证明：因为，所以，
要证，即证，即证，
令，所以，即，
令，所以，
所以在上单调递减，
所以，
即，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的图象；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；
（2）由平均值函数的定义列式化简可得，结合可求所有满足条件的整数数对；
（3）所证不等式可变形为，利用换元法令，即，令，利用求导求得函数的单调性进而可证结论.
（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”，
不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；
，即，
所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”；
（2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，
所以，
即，显然不成立，
所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，
又所求的为整数对，故或或或.
（3）由题意可得，则所证不等式为，
需证，令，则不等式为，
则不等式等价于，
令，求导得，
所以在上单调递减，所以，
即，即.
1 / 1上海市风华中学2024-2025学年高三下学期5月三模数学试卷
一、填空题：（本大题共12题，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，共54分）
1．（2025·上海市模拟）设全集，若集合，则 ．
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意或，同时，
则.
故答案为：
【分析】
首先解出绝对值不等式求集合A，接着利用集合补运算求.
2．（2025·上海市模拟）函数的最小正周期为 ．
【答案】π
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】 因为，所以函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式得出余弦型函数，再结合余弦型函数的最小正周期公式得出函数f(x)的最小正周期。
3．（2025·上海市模拟）若复数z满足（是虚数单位），则复数 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由可得.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z。
4．（2025·上海市模拟）设随机变量X服从正态分布，若，则 ．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】根据正态分布的对称性，
则，
故答案为：.
【分析】利用正态分布图像的图像及性质即可求得结果.
5．（2025·上海市模拟）在的展开式中常数项是 .（用数字作答）
【答案】45
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】(x4+)10的通项为
=()r=，
令40-5r=0，解得r=8，代入得常数项为
==45.
【分析】利用二项式的通项公式=，令40-5r=0，解得r=8，即可求解.
6．（2025·上海市模拟）已知空间向量，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
，，，
解得，
故答案为：.
【分析】根据条件先求得，进而根据垂直条件和数量积坐标运算列式即可求得的值.
7．（2025·上海市模拟）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，则-x<0，
因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，
如下图所示作出函数图象，
由图像可知：函数的值域为.
故答案为：.
【分析】利用函数奇偶性可得函数在上的解析式，进而做出图象，结合图象即可求得函数的值域.
8．（2025·上海市模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式以及三角形中角的取值范围，进而得出角A的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角A的正弦值，再利用二倍角单调正弦公式得出的值。
9．（2025·上海市模拟）已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为 .
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】根据题意，令，所以，变形得，
所以，
所以，化简得或（舍），
所以，
取渐近线方程为，即，所以到渐近线的距离为.
故答案为：
【分析】
采用特殊值法，令，解得，根据面积得到，解出渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算得到答案.
10．（2025·上海市模拟）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报交通宣传项目，则 .
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】，，故.
故答案为：
【分析】根据题意，利用条件概率公式计算得到答案.
11．（2025·上海市模拟）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，，所以菱形内切圆半径为点到的距离，
所以内切圆半径，
由对称性可知，关于轴对称，设，所以，所以
所以，，
又因为，所以
，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：.
【分析】画出图形可知菱形内切圆半径为点到的距离，内切圆半径，设出，且，利用向量的数量积坐标运算可得，结合和二次函数的性质即可求得最值.
12．（2025·上海市模拟）在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】根据题意，利用“函数”的定义可知当函数为“函数”，直线与的图像至多只有一个交点，
则，即只有一根，
令，所以在上单调，
则，
当时，则，在上单调，满足要求；
当时，设，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
根据函数在上单调，所以，化简有，与矛盾，不成立；
当时，设，则，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则函数在上单调，则，解得，
又因为，即；
综上所述，，
故答案为：.
【分析】利用“函数”的定义得函数为“函数”，所以直线与的图像至多只有一个交点，所以得到至多只有一根，所以函数在定义域上单调，利用求导，分类讨论函数的单调性即可得到参数范围.
二、选择题：（本大题共有4题，13，14题每小题选对得4分，15，16题每小题选对得5分，否则得零分，共18分）
13．（2025·上海市模拟）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件和必要条件的判断方法，进而判断出“”是“”的必要不充分条件。
14．（2025·上海市模拟）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
A中事件互斥不对立，A符合题意，
B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，B不符合题意，
C：由B的分析可知互斥且对立，C不符合题意，
D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析，即可得答案.
15．（2025·上海市模拟）如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点，使得 B．存在点，使得
C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面
【答案】C
【知识点】异面直线的判定
【解析】【解答】解：A、正方体中，易得平面，因为点在直线上，为线段的中点，当点和点重合时，平面，所以，故选项A正确；
B、连接、，当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故选项B正确；
C、平面，当点和点重合时，平面，所以直线和在同一平面内，故选项C错误；
D、平面，平面，，所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以直线与直线是异面直线，故选项D正确；
故选：C.
【分析】易知平面，当点和点重合时，利用线面垂直的性质即可判断选项A；当点为线段的中点时，根据三角形的中位线性质即可判断选项B；当点和点重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断选项C；直线PQ与另一条线所在的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断选项D.
16．（2025·上海市模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
三、解答题：（本大题共5题，满分78分，解答下列各题需在规定区域写出必要解题步骤）
17．（2025·上海市模拟）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．
（1）求证：平面PBC；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为 四边形ABCD是正方形， 所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：由平面，且四边形为正方形，所以直线两两垂直，
如图所示，以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
所以，
设平面的法向量，
则，取，则y=1，z=2，所以，
设平面的法向量，
则，取，则a=0，b=1，所以，
设二面角的大小为，
则，
因为，所以，
所以二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理可得平面，平面，进而利用面面平行的判定定理可得平面平面，根据面面平行的性质即可证得平面PBC；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再向量的夹角公式求得其余弦值，进而利用同角的三角函数关系式即可求得 二面角的正弦值.
（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，
以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设二面角的大小为，则，，
所以二面角的正弦值为.
18．（2025·上海市模拟）已知函数(为常数，).
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由题意可知，函数的定义域为，
又∵
①当时，即时，可得
∴当时，函数为偶函数；
②当时，即时，可得
∴当时，函数为奇函数.
综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数.
（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，
∴，∴
∴，∴
令，∴，∴
∵
∴，
又∵，当且仅当，即x=0时，等号成立，
根据对勾函数的性质可知，，即
①
此时的取值不存在；
②
此时，可得的取值为
综上所述， 实数的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而利用函数的奇偶性的定义求得a的值即可；
（2）由(1)可知当函数为偶函数时，，进而可得函数的解析式，即可得的表达式，根据可得，利用换元法令，即可得，利用求根公式可得，结合指数函数和对勾函数的性质可得，进而讨论根与区间端点的关系列不等式组即可求得实数的取值范围．
19．（2025·上海市模拟）某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
（1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数X的分布、数学期望及方差．
附：，．
【答案】（1）解：根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）解：记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
所以.
（3）解：X的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望，
方差.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据题意先补全列联表，进而提出零假设，再由卡方公式计算求得即可得出结论；
（2）利用表格数据求得该地区居民体育达标的概率，进入利用全概率公式可求出该地区居民体能测试合格的概率.
（3）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3，且，根据二项分布概率公式即可求得X的每一个取值对应的概率，进而得随机变量的分布列；根据二项分布的期望值和方差公式得期望值和方差.
（1）根据数据补全列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
零假设体育锻炼达标与性别无关，
由表格数据得，
因为，
所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.
（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，
记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，
则由题.
（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，
所以；；
；；
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则；.
20．（2025·上海市模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
（1）求的周长；
（2）求面积的取值范围；
（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
【答案】解：（1）由题意可知，，所以的周长为．
所以，即的周长为.
（2）由题意可设过的直线方程为，
联立，消去x得，
所以，
所以，
令，
所以（当时等号成立，即时）
所以，
所以面积的取值范围为.
（3）设，直线的方程为：，
联立，消y整理可得，
所以，得，，
所以．
当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
若轴时，易知，，，
此时，
综上所述，的最大值为.
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义可知，进而即可得的周长为；
（2）设过的直线方程为，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解；
（3）设，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，进而可得，，即可求得点Q1坐标以及Q2，根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.
21．（2025·上海市模拟）定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.例如是区间上的“平均值函数”，0是它的均值点.
（1）已知函数、，判断、是否为区间上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）设是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的整数数对；
（3）若是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点，求证：.
【答案】（1）解：函数是区间上的“平均值函数”，不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
因为，即，解得，
所以函数是区间上的“平均值函数”；
因为，即，所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”
（2）解：由题意可知，，
因为，即，显然不成立，
所以，
又所求的为整数对，所以或或或.
所以满足条件的整数数对为(4，2)，(-4，4)，(-2，5)，(-1，7).
（3）证明：因为，所以，
要证，即证，即证，
令，所以，即，
令，所以，
所以在上单调递减，
所以，
即，即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的图象；不等式的证明
【解析】【分析】（1）利用“平均值函数”的定义计算即可判断；
（2）由平均值函数的定义列式化简可得，结合可求所有满足条件的整数数对；
（3）所证不等式可变形为，利用换元法令，即，令，利用求导求得函数的单调性进而可证结论.
（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”，
不是区间上的“平均值函数”，理由如下：
由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；
，即，
所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”；
（2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，
所以，
即，显然不成立，
所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，
又所求的为整数对，故或或或.
（3）由题意可得，则所证不等式为，
需证，令，则不等式为，
则不等式等价于，
令，求导得，
所以在上单调递减，所以，
即，即.
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