湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期模拟（二）数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·长沙模拟）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．（2025·长沙模拟）已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：若是实数，则，即.
故答案为：D.
【分析】根据复数的概念求解即可.
3．（2025·长沙模拟）已知平面向量满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：若，则，
因为，所以．
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直、向量数量积为零列式计算即可.
4．（2025·长沙模拟）已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据三角函数的定义可求得，进而，即可求得的值.
5．（2025·长沙模拟）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：，满足，
则为直角三角形，且外接圆的半径，
设球的半径为，根据球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，
可得，解得，故球的表面积为．
故答案为：C.
【分析】利用球的截面圆性质及球的表面积公式求解即可.
6．（2025·长沙模拟）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，因为函数 在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
又因为，所以．
故答案为：D.
【分析】根据原函数单调递减，导函数小于等于0，结合正弦函数的性质求的取值范围即可.
7．（2025·长沙模拟）已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，即，
因为圆心恰好为抛物线的焦点，
则，
又因为，
所以点在圆的外部，
所以的最小值为，
解得.
故答案为：A.
【分析】先由代入法求出点的坐标，再根据抛物线的定义得出的值，从而求出圆外的定点与圆上的动点之间的距离的最小值，即的最小值为点与圆心之间的距离减去半径，再利用已知条件得出圆C的半径r的值.
8．（2025·长沙模拟）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
且函数在上单调递增，
又，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
【分析】根据函数的单调性可得函数在上单调递增，由题意可得，结合函数的单调性可得，即，进而利用可求得的最小值.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025·长沙模拟）已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由可得，，故A错误、B正确；
对于C，因为，则，故C错误；
对于D，因为，则，故，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由正态分布的期望公式和方差公式、正态分布对应的概率密度曲线的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025·长沙模拟）的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为 D．的外接圆的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，
由正弦定理可得，
整理得，
因为，所以，解得，故A正确；
B、因为边的中线为，即为的中点，所以，
两边平方整理得，
即，
又，解得，
则，故B错误；
C、，故C正确；
D、根据余弦定理，，
即，解得，
再由正弦定理得，解得，
则的外接圆的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数可求得即可判断A；因为为边的中线，结合平面向量的几何关系，可求得，即可判断B、C；由余弦定理，可求得，再结合正弦定理，可求得的外接圆半径，进而可求得其面积即可判断D.
11．（2025·长沙模拟）已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为
B．当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2
C．当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为
D．当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】A、当时，函数，若在区间恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
即，故A正确；
B、当时，函数定义域为，
因为（时取“=”），（时取“=”），
所以（“=”不成立），因此，的最小值不为2，故B错误；
C、当时，，
由，得，即，
令，易知为单调递增，故由，可得，即，
又因为，所以，即的最小值为，故C正确；
D、当时，函数，令，得，若函数有两个不同的零点，即函数和且的图象有两个不同的交点，
因为和且互为反函数，图象关于对称，
所以函数和且的图象有两个不同的交点，
即函数且和的图象有两个不同的交点，
即方程有两个不同的根，对方程两边取自然对数，
得，即，由函数图象可知，，
即，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】先确定范围，再根据单调性求在区间上的最大值，解不等式求的取值范围即可判断A；利用和的不等式关系判断最小值是否为即可判断B； 通过变形得到，构造函数，利用单调性得出与的关系，进而求出的最小值即可判断C；函数有两个零点等价于与有两个交点，通过变形和函数图象求出的取值范围即可判断D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·长沙模拟）已知函数，若，则 .
【答案】2
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不符合题意，
则.
故答案为：2.
【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.
13．（2025·长沙模拟）某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行．文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛．根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）．则最终的可能比赛结果共有 种．
【答案】480
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛，共评出一等奖4名，且每个组至少有1名一等奖，分如下情况：
文科组1名一等奖、理科组3名一等奖，这种情况有种结果；
文科组2名一等奖、理科组2名一等奖，这种情况有种结果；
文科组3名一等奖、理科组1名一等奖，这种情况有种结果，
则共有种结果，其中一等奖名，选特等奖有种结果，
根据分步乘法计数原理，最终的可能比赛结果共有种.
故答案为：480.
【分析】根据文科组和理科组的参赛人数以及每个组至少有名一等奖的条件，分情况计算一、二等奖的可能结果数.确定特等奖的可能结果数，根据分步乘法计数原理计算即可.
14．（2025·长沙模拟）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由双曲线的性质可知：焦点到渐近线的距离为，即，
在中，根据勾股定理，可得，
即，则，双曲线的离心率．
故答案为：.
【分析】由双曲线的性质可知，在中，根据勾股定理求出之间的关系式，再求双曲线的离心率即可.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025·长沙模拟）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
16．（2025·长沙模拟）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为底面四边形是矩形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为中点，，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在矩形中，，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以为与直线所成角，
在中，，，则，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
（1）因为平面，平面，所以，
又因为四边形是矩形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为为中点，，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）在矩形中，，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以.
所以与直线所成角即为.
在中，，，
所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，.
设平面的法向量为，
则，取，
可得.
又为平面的一个法向量，
所以.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．（2025·长沙模拟）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设，
①、当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
联立，消整理可得，
由韦达定理可得，
；
②、由（1）知，易知，
设直线，联立，消整理可得，
由韦达定理可得，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又因为，所以的最大值为.
【知识点】基本不等式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程求解即可得椭圆方程；
（2）①、易知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；
②、设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，求解即可.
（1）由题知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
①当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
由，消得到，
所以，
所以.
②由（1）知，易知，
设直线，由，消得到，
所以，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又，所以的最大值为.
18．（2025·长沙模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．
①求实数的值；
②求证：．
【答案】（1）解：由题意可知，函数的定义域为，
而
∵，令，解得；令，解得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：①证明：由（1）知：．
令，即，解得
又，
∴切点，
由（1）可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，∴，
（也可构造）
设，∴
∴在单调递增．
又，又，方程只有1解：．
∴ 若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）时，实数的值为1；
②依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，∴不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设．则．
当时，，∴．
∴在上单调递减．
∴，即．
∴在上单调递减，，
即当时，成立．
综上所述，当时，在上恒成立．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间；
（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值可得，，可得，设，利用求导即可求得a的值；
②根据题意即要证得，分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.
（1）函数的定义域为，
因为，令，得：，令，得：，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）①由（1）知：．由，
又，所以切点，
由（1）可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，则，
（也可构造）
设，则在上恒成立．
所以在单调递增．
又，又，方程只有1解：．
②依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，所以不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设．则．
当时，，所以．
所以在上单调递减．
所以，即．
所以在上单调递减，，
即当时，成立．
综上：当时，在上恒成立．
19．（2025·长沙模拟）已知有穷等差数列的公差d大于零．
（1）证明：不是等比数列；
（2）是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
（3）若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
【答案】（1）证明：因为数列是公差大于零的等差数列，
所以，则不是等比数列；
（2）解：函数在处的切线方程为，
令，解得，要使满足条件，只需，
令，求导可得，满足条件， 则存在指数函数满足条件；
（3）解：取，则成等比数列，故满足条件，
考虑，首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能，
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则，
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件，
综上所述：所有可能的的值是3．
【知识点】导数的几何意义；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）计算，得到证明；
（2）计算切线方程，令得，即，满足条件；
（3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案.
（1），故不是等比数列.
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使，
令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，故满足条件．
考虑，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则．
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的的值是3．
1 / 1湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三下学期模拟（二）数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·长沙模拟）已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·长沙模拟）已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2025·长沙模拟）已知平面向量满足，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
4．（2025·长沙模拟）已知点在角的终边上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·长沙模拟）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·长沙模拟）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则，圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·长沙模拟）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2025·长沙模拟）已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2025·长沙模拟）的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为 D．的外接圆的面积为
11．（2025·长沙模拟）已知函数且且，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，若在区间恒成立，则实数的取值范围为
B．当（e为自然对数的底数）时，的最小值为2
C．当（e为自然对数的底数）时，若恒成立，则实数的最小值为
D．当时，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．（2025·长沙模拟）已知函数，若，则 .
13．（2025·长沙模拟）某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行．文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛．根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）．则最终的可能比赛结果共有 种．
14．（2025·长沙模拟）已知双曲线的右焦点为，以（为坐标原点）为直径的圆与的渐近线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2025·长沙模拟）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
16．（2025·长沙模拟）如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.
（1）求证：；
（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
17．（2025·长沙模拟）已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为．
①若直线的倾斜角为，求线段的长度；
②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由．
18．（2025·长沙模拟）已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）．
①求实数的值；
②求证：．
19．（2025·长沙模拟）已知有穷等差数列的公差d大于零．
（1）证明：不是等比数列；
（2）是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
（3）若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】解不等式求得集合A，再根据集合的交集的运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：若是实数，则，即.
故答案为：D.
【分析】根据复数的概念求解即可.
3．【答案】C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：若，则，
因为，所以．
故答案为：C.
【分析】根据向量垂直、向量数量积为零列式计算即可.
4．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可得，
因为，所以，
故选：B.
【分析】根据三角函数的定义可求得，进而，即可求得的值.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：，满足，
则为直角三角形，且外接圆的半径，
设球的半径为，根据球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，
可得，解得，故球的表面积为．
故答案为：C.
【分析】利用球的截面圆性质及球的表面积公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
，因为函数 在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
又因为，所以．
故答案为：D.
【分析】根据原函数单调递减，导函数小于等于0，结合正弦函数的性质求的取值范围即可.
7．【答案】A
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得，即，
因为圆心恰好为抛物线的焦点，
则，
又因为，
所以点在圆的外部，
所以的最小值为，
解得.
故答案为：A.
【分析】先由代入法求出点的坐标，再根据抛物线的定义得出的值，从而求出圆外的定点与圆上的动点之间的距离的最小值，即的最小值为点与圆心之间的距离减去半径，再利用已知条件得出圆C的半径r的值.
8．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，
且函数在上单调递增，
又，
因为，所以，
因为函数在上单调递增，所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
【分析】根据函数的单调性可得函数在上单调递增，由题意可得，结合函数的单调性可得，即，进而利用可求得的最小值.
9．【答案】B,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由可得，，故A错误、B正确；
对于C，因为，则，故C错误；
对于D，因为，则，故，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由正态分布的期望公式和方差公式、正态分布对应的概率密度曲线的对称性，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、，
由正弦定理可得，
整理得，
因为，所以，解得，故A正确；
B、因为边的中线为，即为的中点，所以，
两边平方整理得，
即，
又，解得，
则，故B错误；
C、，故C正确；
D、根据余弦定理，，
即，解得，
再由正弦定理得，解得，
则的外接圆的面积为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数可求得即可判断A；因为为边的中线，结合平面向量的几何关系，可求得，即可判断B、C；由余弦定理，可求得，再结合正弦定理，可求得的外接圆半径，进而可求得其面积即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】A、当时，函数，若在区间恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
即，故A正确；
B、当时，函数定义域为，
因为（时取“=”），（时取“=”），
所以（“=”不成立），因此，的最小值不为2，故B错误；
C、当时，，
由，得，即，
令，易知为单调递增，故由，可得，即，
又因为，所以，即的最小值为，故C正确；
D、当时，函数，令，得，若函数有两个不同的零点，即函数和且的图象有两个不同的交点，
因为和且互为反函数，图象关于对称，
所以函数和且的图象有两个不同的交点，
即函数且和的图象有两个不同的交点，
即方程有两个不同的根，对方程两边取自然对数，
得，即，由函数图象可知，，
即，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】先确定范围，再根据单调性求在区间上的最大值，解不等式求的取值范围即可判断A；利用和的不等式关系判断最小值是否为即可判断B； 通过变形得到，构造函数，利用单调性得出与的关系，进而求出的最小值即可判断C；函数有两个零点等价于与有两个交点，通过变形和函数图象求出的取值范围即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，不符合题意，
则.
故答案为：2.
【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.
13．【答案】480
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛，共评出一等奖4名，且每个组至少有1名一等奖，分如下情况：
文科组1名一等奖、理科组3名一等奖，这种情况有种结果；
文科组2名一等奖、理科组2名一等奖，这种情况有种结果；
文科组3名一等奖、理科组1名一等奖，这种情况有种结果，
则共有种结果，其中一等奖名，选特等奖有种结果，
根据分步乘法计数原理，最终的可能比赛结果共有种.
故答案为：480.
【分析】根据文科组和理科组的参赛人数以及每个组至少有名一等奖的条件，分情况计算一、二等奖的可能结果数.确定特等奖的可能结果数，根据分步乘法计数原理计算即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由双曲线的性质可知：焦点到渐近线的距离为，即，
在中，根据勾股定理，可得，
即，则，双曲线的离心率．
故答案为：.
【分析】由双曲线的性质可知，在中，根据勾股定理求出之间的关系式，再求双曲线的离心率即可.
15．【答案】（1） 解：设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P=
=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2
=0.16+0.16+ 0.24+0.04
=0.6.
（2）解：依题可知，X的可能取值为 ，所以，
，
，
，
.
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，X的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
16．【答案】（1）证明：因为底面四边形是矩形，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为中点，，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在矩形中，，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以为与直线所成角，
在中，，，则，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，由图可知，二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
（1）因为平面，平面，所以，
又因为四边形是矩形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为为中点，，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）在矩形中，，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以.
所以与直线所成角即为.
在中，，，
所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，.
设平面的法向量为，
则，取，
可得.
又为平面的一个法向量，
所以.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：设，
①、当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
联立，消整理可得，
由韦达定理可得，
；
②、由（1）知，易知，
设直线，联立，消整理可得，
由韦达定理可得，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又因为，所以的最大值为.
【知识点】基本不等式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程求解即可得椭圆方程；
（2）①、易知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；
②、设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，求解即可.
（1）由题知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
①当直线的倾斜角为时，直线的方程为，
由，消得到，
所以，
所以.
②由（1）知，易知，
设直线，由，消得到，
所以，
设直线的斜率分别为，且，
所以，
得到，又，
当且仅当，即时，的最大值为，
又，所以的最大值为.
18．【答案】（1）解：由题意可知，函数的定义域为，
而
∵，令，解得；令，解得，
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：①证明：由（1）知：．
令，即，解得
又，
∴切点，
由（1）可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，∴，
（也可构造）
设，∴
∴在单调递增．
又，又，方程只有1解：．
∴ 若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）时，实数的值为1；
②依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，∴不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设．则．
当时，，∴．
∴在上单调递减．
∴，即．
∴在上单调递减，，
即当时，成立．
综上所述，当时，在上恒成立．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域，进而对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间；
（2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值可得，，可得，设，利用求导即可求得a的值；
②根据题意即要证得，分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证.
（1）函数的定义域为，
因为，令，得：，令，得：，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）①由（1）知：．由，
又，所以切点，
由（1）可知，切点在直线的上方，
所以，整理得，
设，则，
（也可构造）
设，则在上恒成立．
所以在单调递增．
又，又，方程只有1解：．
②依题意：要证，
当时，，令，
在上单调递增
，所以不等式成立；
当时，要证，即．
设，则．
设．则．
当时，，所以．
所以在上单调递减．
所以，即．
所以在上单调递减，，
即当时，成立．
综上：当时，在上恒成立．
19．【答案】（1）证明：因为数列是公差大于零的等差数列，
所以，则不是等比数列；
（2）解：函数在处的切线方程为，
令，解得，要使满足条件，只需，
令，求导可得，满足条件， 则存在指数函数满足条件；
（3）解：取，则成等比数列，故满足条件，
考虑，首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能，
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则，
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件，
综上所述：所有可能的的值是3．
【知识点】导数的几何意义；等比数列概念与表示；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）计算，得到证明；
（2）计算切线方程，令得，即，满足条件；
（3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案.
（1），故不是等比数列.
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使，
令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，故满足条件．
考虑，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，
则的前三项即为中最小的三项，
则一定对应于中的连续三项，
不妨设，则．
①若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，
，即，得，，，
而除了这三项外，最小值为或，
但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的的值是3．
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