5.2.1三角函数的概念 教学设计(表格式)

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名称 5.2.1三角函数的概念 教学设计(表格式)
格式 docx
文件大小 350.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-04 18:14:50

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文档简介

《5.2.1 三角函数的概念》教学设计
课题 5.2.1 三角函数的概念 课时 1课时 授课班级 222班
教学内容分析
三角函数的概念是高中数学的核心内容之一,通常安排在三角函数单元的起始部分。本节主要围绕以下知识点展开: 1. 三角函数的定义:从直角三角形锐角三角函数推广到任意角的三角函数(单位圆定义)。 2. 三角函数的符号规律:根据角的终边所在象限确定函数值的正负。 3. 特殊角的三角函数值:如0°, 30°, 45°, 60°, 90°等常见角度的函数值。 4. 三角函数的几何表示:通过单位圆中的有向线段(正弦线、余弦线、正切线)直观理解函数值。
二、教学目标
1.学生能够准确理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,明确其定义域。 2.能熟练运用三角函数的定义求已知角的三角函数值。 3.通过从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程,培养学生的逻辑推理和数学抽象能力。 4.借助单位圆理解三角函数的定义,让学生体会数形结合的数学思想方法。 5.让学生感受数学概念的严谨性和科学性,培养学生对数学的兴趣和钻研精神。 6.通过三角函数在实际生活中的应用实例,使学生认识到数学与生活的紧密联系,提高学生应用数学知识解决实际问题的意识。
三、学情分析
1.认知基础:在初中阶段,学生已经学习了锐角三角函数的定义,对直角三角形中锐角的正弦、余弦、正切有了一定的认识。 前面章节学生学习了幂函数、指数函数、对数函数,具备了研究一个新函数的知识基础和初步能力,知道函数的三要素等相关知识。 本节课前学生已经学习了任意角和弧度制,知道角的弧度数与实数一一对应,这为学习任意角的三角函数奠定了基础。 2.认知障碍:学生对三角函数的认知建立在直角三角形中,定义为边长之比,而新定义需转化为坐标或坐标之比,存在观念转变上的困难。 对于任意角的情况,角的终边位置多样,学生在理解三角函数值与角终边位置关系时可能会感到困惑。
四、教学策略选择与设计
1. 单位圆直观法 通过动态几何软件展示角的终边旋转时三角函数值的变化规律。 绘制正弦线(MP)、余弦线(OM)、正切线(AT),帮助学生建立几何直观。 2. 问题驱动 提出问题:“如何定义120°的正弦值?”引导学生从锐角推广到任意角。 对比直角三角形定义与单位圆定义的异同。 3. 记忆策略 口诀记忆符号规律:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”。 特殊角函数值表格归纳法。
五、教学重点及难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义;能够利用三角函数的定义求三角函数值。 教学难点:从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程,实现学生对概念的自然过渡和理解;理解用角终边上一点的坐标来刻画三角函数,以及三角函数值与点在终边上位置的无关性。
六、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 知识回顾 展示一个直角三角形,回顾初中所学锐角三角函数的定义。设锐角α所在直角三角形中,α的对边为a,邻边为b,斜边为c,则sinα=a/c,cosα=b/c,tanα=a/b。 提问:对于任意角,能否类似地定义三角函数呢?由此引出本节课的课题 —— 三角函数的概念。 观察直角三角形,回忆锐角三角函数的定义,并思考教师提出的问题 通过回顾锐角三角函数的定义,利用学生已有的知识基础,引发学生对任意角三角函数定义的思考,激发学生的学习兴趣和探究欲望,为新知识的学习做好铺垫。
讲授新课 (二)创设情境 以时钟的秒针为例,其端点P在做匀速圆周运动 【几何画板展示点P在圆上周而复始的运动】 5.1节学习弧度制时,把圆弧放在单位圆中,为了研究问题的方便,可借鉴这种研究方法,把问题进行简化,将点P的运动归结到单位圆上点的运动规律. 明确研究任务:单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转,建立一个函数模型,刻画点P的位置变化情况. 问题1:根据已有的研究函数的经验,你认为可以按怎样的路径研究上述问题? (三)新知探究 5.1节学习任意角时,把角放在平面直角坐标系中 下面我们利用直角坐标系来研究上述问题 以单位圆的圆心为原点,以射线为x轴的非负半轴,建立直角坐标系,点的坐标为,点在单位圆上做匀速圆周运动,坐标为.射线从x轴的非负半轴开始,绕点按逆时针方向旋转角,终止位置为.在这个运动过程中, 影响点P位置变化的因素是旋转角α,点P位置的变化由横坐标和纵坐标的变化来体现,如何根据旋转角α的大小来求点P的坐标呢? 特殊分析:当时,点P的坐标是什么? 当 点P的坐标又是什么? 得出结论:由以上五个特殊角α的取值可知:只要角α大小确定,点P的位置就确定,从而它的横坐标x、纵坐标y的值以及的值就唯一确定. 利用单位圆的对称性,请同学们完成下表: 【几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动】 问题3:由前面表格及点P的运动规律猜测y与、 x与存在唯一的对应关系你能说出这种对应关系吗? 得出结论:对于R中的任意一个角,它的终边与单位圆的交点,无论是横坐标x,还是纵坐标y,都是唯一确定的。这里有三个对应关系: :任意角(弧度)对应于点的纵坐标y; g:任意角(弧度)对应于点的横坐标x; h:任意角(弧度)对应于点的纵坐标与横坐标的比. (四)建构概念 一般地,任意给定一个角,它的终边与单位圆交点的坐标,无论是横坐标还是纵坐标,都是唯一确定的.所以,点的横坐标、纵坐标都是角的函数,下面给出这些函数的定义. 设是一个任意角,.它的终边与单位圆相交于点. (1)把点的纵坐标叫做的正弦函数(sine function),记作,即 ; (2)把点的纵坐标叫做的余弦函数(cosine function),记作,即 ; (3)把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即 . 可以看出,当时,的终边在轴上,这时点的横坐标等于0,所以无意义,除此之外,对于确定的角,的值也是唯一确定的.所以,也是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数,称为正切函数(tangent function). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometic function),通常将它们记为: 正弦函数; 余弦函数; 正切函数. 例1、求的正弦、余弦和正切值. 解:在直角坐标系中,作(图5.2-3).易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以, , , . 例2 如图5.2-4,设是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为.求证:. 分析:观察图5.2-5,由,根据三角函数的定义可以得到证明. 证明:如图5.2-5,设角的终边与单位圆交于点.分别过点,作轴的垂线,,垂足分别为,,则 , , . 于是 即 因为与同号,所以 即 同理可得 根据勾股定理,.由例2可知,只要知道角的终边上任意一点的坐标,就可以求得角的各个三角函数值,并且这些函数值不会随点位置的改变而改变. 根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表5.2-1,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图5.2-6中的括号. 表5.2-1 三角函数定义域
(五)课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么? 三角函数的两个定义: 定义1(单位圆定义): 定义2(坐标比定义): 两种题型 (1)已知角求三角函数值: (2)已知角终边上点坐标求三角函数值: (六)作业布置 布置作业,要求学生完成练习(第 179 页)第 1、2、3 题和练习(第 182 页)第 1、2、3 题,并说明作业的设计意图是通过作业巩固本节所学内容,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 学生在独立思考的基础上进行交流,通过讨论,尝试得出结论。 认真听讲,跟随教师的思路。在教师的引导下,能说出角变化与点P位置变化。学生容易求出点P的坐标并归纳求解步骤:画终边、做垂线、求长度、写坐标。 学生能叙述三角函数的推广定义 学生能顺利完成此题的求解并总结:如何求一个角的三角函数值? 画终边,找交点,作垂线,算长度,写坐标,得结果. 口诀记忆符号规律:“一全正,二正弦,三正切,四余弦” 学生能总结知识点和题型 记录作业内容,课后认真完成作业 类比在单位圆中定义“1弧度的角”,将问题简单化. 明确研究的内容、过程和基本方法,为具体研究指明方向 启发学生思维,建立变量间的对应关系,把实际问题建模为数学问题——把问题归结为单位圆上点的坐标与旋转角之间对应关系的探索. 引导学生从特殊到一般,对单位圆上点的坐标与相应的角之间的对应关系展开研究,让学生理解特殊情况下三角函数的对应关系,经历定义的生成和发展过程 几何画板动态展示点P在单位圆上连续运动的一般情况,在角的变化过程中进行观察,形象直观,让学生的认知得到升华,培养学生的直观想象和抽象概括能力,得出一般情况下的结论,为理解三角函数的对应关系做好铺垫。 通过三角形相似将三角函数的单位圆定义推广到一般,由此收获了三角函数的又一定义,称为三角函数的坐标比定义 通过学生对定义的归纳让学生更深刻的认识三角函数定义的本质,培养学生语言表达能力.此定义比单位圆定义更具一般性,应用更加广泛.虽然课本上以例题形式出现,但要求学生理解、记忆、并能应用.研究函数问题,一定先研究定义域,为5.4节研究三角函数的图像和性质埋下伏笔。 通过概念的简单应用,明确用定义求三角函数值的基本步骤 通过问题引导,使学生找到,并利用它们的相似关系,根据三角函数的定义得到证明。 通过三角形相似将三角函数的单位圆定义推广到一般,由此收获了三角函数的又一定义,称为三角函数的坐标比定义 通过课堂小结,帮助学生梳理本节课的知识体系,加深对重点知识的理解和记忆,让学生明确所学的方法,提高学生的概括能力。 通过作业布置,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
课后拓展 1. 利用三角函数的定义,求的三个三角函数值. 2.已知角的终边过点P(-12,5),求角的三个三角函数值. 变式训练:若点P(-12a,5a),其中a不等于0,结果如何呢? 大部分学生能顺利完成 考查学生对三角函数定义的理解情况。
七、板书设计
5.2.1 三角函数的概念 1. 单位圆:圆心在原点,半径为 1 的圆; 2. 任意角三角函数定义:设 α 终边与单位圆交于 P (x,y),则 sinα = y,cosα = x,tanα = y/x (α≠kπ+π/2,k∈Z) 3. 定义域:sinα,cosα 定义域为 R;tanα 定义域为 {α|α≠kπ+π/2,k∈Z}; 4. 三角函数值与点位置无关性原理。 例 1 求的正弦、余弦和正切值; 例 2 设α是一个任意角,它的终边上任意一点(不与原点O重合)的坐标(x,y),点与原点的距离r,求证: 课堂小结 三角函数的两个定义: 定义1(单位圆定义): 定义2(坐标比定义): 两种题型 (1)已知角求三角函数值: (2)已知角终边上点坐标求三角函数值:
教学反思
本次教学过程中,整体教学目标达成情况较好,但仍存在可优化之处。 成功之处:教学方法运用有效,单位圆直观法借助动态几何软件展示,让学生清晰看到角的终边旋转时三角函数值的变化,在理解三角函数定义、符号规律等方面提供了直观支撑,有助于学生构建知识体系。问题驱动策略通过 “如何定义 120° 的正弦值” 等问题,引导学生从锐角三角函数向任意角三角函数推广,有效培养了学生逻辑推理和数学抽象能力,激发学生主动思考。 不足之处:部分学生在从锐角三角函数过渡到任意角三角函数时,理解存在困难。尽管采取了多种教学方法,但由于概念转变较大,仍有学生对用坐标刻画三角函数以及函数值与点在终边上位置的无关性理解不透彻。在教学节奏把控上,讲授新课环节时间分配略显紧张,导致部分学生对知识点的消化吸收不够充分,在课堂小结时未能完全跟上节奏,影响了知识的梳理和总结效果。 改进措施:针对学生理解困难的部分,后续教学中增加更多实例和练习,从不同角度强化对概念的理解。例如,多列举不同象限角的例子,让学生计算三角函数值,加深对函数值与角终边位置关系的理解。优化教学时间安排,在讲授新课环节合理拆分知识点,给予学生更充足的思考和消化时间,特别是在难点部分增加互动和答疑环节,确保学生能够跟上教学进度,提高课堂学习效果。