(共38张PPT)
拓 视 野 探究空间几何体上两点间最短路径问题
计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法
求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”
来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.
一、旋转体表面上两点间的最短路径问题
【例1】 （1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧 的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ B ）
A. 2 B. 2
B
C. 3 D. 2
解析：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝ ×16＝4，所以AB＝ ＝2 .所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为2 .故选B.
（2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从
圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短
路线长为 ，则圆锥的底面圆的半径为（ A ）
A. 1 B. 2
C. 3 D.
A
解析：如图为半圆锥的侧面展开图，连接
BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得
BD1＝ ，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，
AB2＋A ＝B ，所以∠D1AB＝ ，所以扇
形弧长l＝ ×2＝π，所以圆锥底面圆的周长
为2l＝2π，即2πr＝2π，得r＝1.故选A.
二、多面体表面上两点间的最短问题
【例2】 如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小
虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路
程是 .
3
解析：根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是3 ， ，2 ，所以最小值是3 .故小虫爬行的最短路程是3 .
【迁移应用】
1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝ ，
E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（ ）
A. ＋3 B. ＋2
C. ＋ D. ＋
解析： 由题意得A1C＝ ＝ ，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，E，C三点共线时，△A1CE的周长最小，此时A1E＋CE＝ ＝ ，即△A1CE的周长的最小值为 ＋ ，故选C.
2. 现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30 cm，底面半径为10 cm，从
底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到
A点，则所用金色彩线的最短长度为 cm.
30
解析：如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为AA'，因为圆锥形
礼品盒，其母线长l＝30 cm，底面半径为r＝10 cm，设∠ASA'＝
α，所以 ＝2πr＝αl，即α＝ ，所以在等腰三角形ASA'中，取
AA'的中点B，则△ABS为直角三角形，且∠ASB＝60°，AS＝30
cm，所以AB＝AS· sin ∠ASB＝30× ＝15 （cm），所以AA'＝
2AB＝30 （cm）.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（ ）
A. B. 1
C. 2 D. 3
解析： 设球的半径为R，则4πR2＝ πR3，所以R＝3.
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2. 已知圆柱OO'的母线长l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的
底面半径r＝（ ）
A. 3 cm B. 4 cm
C. 5 cm D. 6 cm
解析： 圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr（cm2），两底面面积之
和为2×πr2＝2πr2（cm2），所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝
－7（舍去），所以圆柱的底面半径为3 cm.
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3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积
为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 3
解析： 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面
积S＝π（r＋3r）×3＝84π，解得r＝7.
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4. 若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是（ ）
A. 24π B. 24
C. 3 π D. 3
解析： 设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周
长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝ ＝ .由圆锥的体积公
式可得V＝ πr2h＝3 π.
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5. （2024·中山月考）一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部
分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图①放置
容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图②放置容器时，液面以
上空余部分的高为h2，则 ＝（ ）
A. B. （ ）2
C. （ ）3 D.
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解析： 在图①中，液面以上空余部分的体积为π h1；在图②
中，液面以上空余部分的体积为π h2.因为π h1＝π h2，所以
＝（ ）2.
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6. （多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的
直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为2πR2
B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆锥的表面积最小
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解析： ∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，
∴圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S
＝πR· ＝ πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝
2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，∴圆柱的侧面积与球的
表面积相等，故C正确；圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝
6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR· ＋πR2＝（ ＋
1）πR2，球的表面积为S球＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正
确.故选C、D.
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7. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 .
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝πr2＝π，S侧＝
2πr·h＝4π，所以S表＝2S底＋S侧＝6π.
6π
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8. 已知一圆台上底面的半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆
锥的高为6，则此圆台的体积为 .
解析：圆台的轴截面如图，设圆台的高为h，则 ＝ ，解得h＝
2，所以圆台的体积V＝ π（22＋2×3＋32）×2＝ π.
π
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9. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高
均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若 ＝ ，则
＝ .
解析：∵棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，∴V1＝
a3，S1＝6a2.∵底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为
V2，S2，∴V2＝ r·πr2＝ ，S2＝πrl＝ πr2，∵ ＝ ，
∴ ＝ ，解得a＝r，∴ ＝ ＝ .
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10. 如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，
AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积；
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解：由题意知所求旋转体的表面
由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，
S半球＝ ×4π×22＝8π，
S圆台侧＝π×（2＋5）
× ＝35π，
S圆台下底＝π×52＝25π.
故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.
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（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
解：V圆台＝ ×[π×22＋
＋π×52]×4
＝52π，V半球＝ π×23× ＝ π，
故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝
52π－ π＝ π.
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11. （2024·汕尾月考）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，
多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的
建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截
面）是底边长为2 m，顶角为 的等腰三角形，则该圆锥的体积
约为（ ）
A. 2π m3 B. 3π m3
C. 4π m3 D. 6π m3
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解析： 因为轴截面是顶角为∠APC＝ 的等腰三角形，所以
∠PAO＝ ，在Rt△APO中，依题意，该圆形攒尖的底面圆的半
径AO＝r＝ m，高PO＝h＝rtan ＝3 m，则V＝ πr2h＝
π×3×3＝3π（m3），所以该圆锥的体积约为3π m3.故选B.
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12. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的
直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .
解析：设球的半径为R，则V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝
πR2·2R＝ πR3，V球＝ πR3，故V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πR3∶
πR3∶ πR3＝3∶1∶2.
3∶1∶2
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13. 把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 ，表面积等于 .
20 cm
224π cm2
解析：设圆锥的母线长为l cm，如图，以S为圆心，SA为半径的
圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl，根据圆锥在
平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝
2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圆锥的表面积S＝
S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）.
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14. 如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长
AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到
点A，求：
（1）绳子的最短长度；
解：如图所示，将侧面展开，绳子的最
短长度为侧面展开图中AM的长度，
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设OB＝l，∠AOA'＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·（l＋20）＝2π×10，
解得θ＝ ，l＝20（cm）.
∴OA＝40（cm），OM＝30（cm）.
∴AM＝ ＝50（cm）.
即绳子的最短长度为50 cm.
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（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解：如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交
弧BB'于点P，
则PQ即为所求的最短距离.
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24（cm）.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4（cm），即上
底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
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15. 将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面是长方形的棱柱（如图）.设这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为2，则截得棱柱的体积的最大值为 .
解析：∵长方形的一条边长为x，对角线长为2，∴另一条边长为
，则截得的棱柱的体积V＝x ×1＝ ＝
（0＜x＜2），∴当x2＝2，即x＝ 时，Vmax
＝2，即截得棱柱体积的最大值为2.
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16. 某市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为12
m，高为4 m.随着该市经济的发展，粮食产量的增大，该市拟建
一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是
新建的仓库底面半径比原来大2 m（高不变）；二是高度增加4 m
（底面直径不变）.
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
解：方案一：仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体
积V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）.
方案二：仓库的高变成8 m，则仓库的体积V2＝ Sh＝
×π×（ ）2×8＝ π＝96π（m3）.
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（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
解：方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
则圆锥的母线长l1＝ ＝4 （m），
则仓库的表面积S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋
64π）m2.
方案二：仓库的高变成8 m，
则圆锥的母线长l2＝ ＝10（m），
则仓库的表面积S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）.
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（3）选用哪个方案建造仓库更经济些？
解：由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二种方案所建的仓库的体积大，可以贮藏更多的粮食，仓库的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二建造仓库更经济些.
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谢 谢 观 看！探究空间几何体上两点间最短路径问题
计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.
一、旋转体表面上两点间的最短路径问题
【例1】 （1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A.2 B.2
C.3 D.2
（2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
二、多面体表面上两点间的最短问题
【例2】 如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是 .
【迁移应用】
1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝，E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（ ）
A.＋3 B.＋2
C.＋ D.＋
2.现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30 cm，底面半径为10 cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为 cm.
拓视野 探究空间几何体上两点间最短路径问题
【例1】 （1）B （2）A 解析：（1）圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝×16＝4，所以AB＝＝2.所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为2.故选B.
（2）如图为半圆锥的侧面展开图，连接BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得BD1＝，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，AB2＋A＝B，所以∠D1AB＝，所以扇形弧长l＝×2＝π，所以圆锥底面圆的周长为2l＝2π，即2πr＝2π，得r＝1.故选A.
【例2】 3 解析：根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是3，，2，所以最小值是3.故小虫爬行的最短路程是3.
迁移应用
1.C 由题意得A1C＝＝，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，E，C三点共线时，△A1CE的周长最小，此时A1E＋CE＝＝，即△A1CE的周长的最小值为＋，故选C.
2.30 解析：如图，将圆锥展开，由题可知最短距离为AA'，因为圆锥形礼品盒，其母线长l＝30 cm，底面半径为r＝10 cm，设∠ASA'＝α，所以＝2πr＝αl，即α＝，所以在等腰三角形ASA'中，取AA'的中点B，则△ABS为直角三角形，且∠ASB＝60°，AS＝30 cm，所以AB＝AS·sin∠ASB＝30×＝15（cm），所以AA'＝2AB＝30（cm）.
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