8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
1.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加的条件是( )
A.n是直线且n α,n∥β
B.n,m是异面直线且n∥β
C.n,m是相交直线且n α,n∥β
D.n,m是平行直线且n α,n∥β
2.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
3.对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件中,不能够判定α与β平行的为( )
A.存在平面γ,使得α,β都平行于γ
B.平面α内的任意一条直线都平行于β
C.α内有不共线的三点到β的距离相等
D.存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有( )
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
5.(2024·广州月考)在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且有平面BDM∥平面A1ACC1,则动点M的轨迹是( )
A.△A1B1C1边界的一部分
B.一个点
C.线段的一部分
D.圆的一部分
6.如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是( )
7.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
8.已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是 (填“平行”或“相交”).
9.如图,三条直线AA1、BB1、CC1不共面,但交于一点O,若AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O,那么平面ABC和平面A1B1C1的位置关系是 .
10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
11.(2024·宁波月考)已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面.若m α,n α,l1 β,l2 β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是( )
A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
12.(多选)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列说法正确的有( )
A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN D.平面BDE∥平面NCM
13.如图,P是△ABC所在平面外一点,A',B',C'分别是△PBC,△PAC,△PAB的重心,则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系为 .
14.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点.
(1)求证:EF∥平面BDD1B1;
(2)设G为棱CD的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1.
15.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是( )
A.[2,] B.
C.[,2] D.[2,2]
16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且==.
(1)在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线(保留作图痕迹),并求证:PQ∥平面A1D1DA;
(2)如图②,若R是AB上的点,当的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA?请给出证明.
第1课时 平面与平面平行的判定
1.C 要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,n,m是相交直线且n α,n∥β,m α,m∥β,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
2.B ①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面与平面α至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
3.C 对于A,存在平面γ,使得α,β都平行于γ,∴两个平面平行,∴A正确;对于B,平面α内的任意一条直线都平行于β,当然α内的两条相交直线也都平行于β,∴α∥β,∴B正确;对于C,不能判定α与β平行,如α内不共线的三点不在β的同一侧时,α与β相交,∴C不正确;对于D,可以判定α与β平行,可在平面α内作l'∥l,m'∥m,则l'与m'必相交.又∵l∥β,m∥β,∴l'∥β,m'∥β,∴α∥β,∴D正确.故选C.
4.D 易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;
易知EF∥A1B,与选项A同理,可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;对于D,由E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,得出EF∥A1B,EH∥A1D1,所以EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,又EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
5.C 如图,过D作DE∥A1C1交B1C1于E,连接BE,因为BD∥AA1,BD 平面AA1C1C,AA1 平面AA1C1C,所以BD∥平面AA1C1C,同理DE∥平面AA1C1C,又BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,所以平面BDE∥平面AA1C1C,所以M∈DE(M不与D重合,否则没有平面BDM),故选C.
6.D 由题意可知经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ,如图所示,对图B、C,可知N在经过P,Q,R三点的平面上,所以图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行;对图A,MC1与QN是相交直线,所以图A中的阴影平面与平面PRQ不平行;对图D,因为A1C1∥RH,BC1∥QN,A1C1∩BC1=C1,又易知RH,QN也相交,A1C1,BC1 平面A1C1B,RH,QN 平面PSRHNQ,故平面A1C1B∥平面PSRHNQ,图D中的阴影平面与平面PRQ平行.
7.平行 解析:在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以DE∥平面ABC.同理,可证EF∥平面ABC.又DE∩EF=E,DE,EF 平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.
8.平行 解析:若α∩β=l,则在平面α内,取与l相交的直线a,设a∩l=A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,矛盾.故α∥β.
9.平行 解析:由AO=A1O,BO=B1O,且∠AOB=∠A1OB1,故△AOB≌△A1OB1,因此∠A1B1O=∠ABO,故A1B1∥AB,A1B1 平面A1B1C1,AB 平面A1B1C1,故AB∥平面A1B1C1,同理可得BC∥平面A1B1C1,AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,故平面ABC∥平面A1B1C1.
10.证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC,NQ 平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD,所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PBC.
11.D 对于A,若m∥β且l1∥α,则α,β可能相交,故A错误;对于B,若m∥β且n∥β,要得出α∥β,必须满足m,n相交,故B错误;对于C,若m∥β且n∥l2,要得出α∥β,必须满足m,n相交,故C错误;对于D,由定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行”,由选项D可以推出α∥β,故D正确.
12.ABC 展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴选项A、B正确;如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,易证BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,∴选项C正确;易得平面BDE与平面NCM相交,∴D不正确.
13.平行 解析:如图,连接PA',PC'并延长,分别交BC,AB于点M,N,连接MN.∵A',C'分别是△PBC,△PAB的重心,∴PA'=PM,PC'=PN,∴A'C'∥MN.∵MN 平面ABC,A'C' 平面ABC,∴A'C'∥平面ABC.同理,A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'=A',A'C',A'B' 平面A'B'C',∴平面A'B'C'∥平面ABC.
14.证明:(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图.
因为E,F分别是BC,CM的中点,
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1,BM 平面BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
(2)因为G是CD的中点,E是BC的中点,所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1,BD 平面BDD1B1,
从而得EG∥平面BDD1B1.
由(1)知EF∥平面BDD1B1,又EF∩EG=E,EF,EG 平面GEF,
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
15.B 如图,取B1C1的中点G,BB1的中点H,连接GH,A1G,A1H,则A1G∥AE,又A1G 平面AEF,AE 平面AEF,所以A1G∥平面AEF,同理GH∥EF,GH 平面AEF,EF 平面AEF,所以GH∥平面AEF,因为A1G∩GH=G,所以平面A1GH∥平面AEF,因为P是侧面BCC1B1内一点,当P点在线段GH上时,能够满足A1P∥平面AEF,因为正方体棱长为2,由勾股定理得:A1G=A1H=,GH=,故点P落在GH中点时,A1P长度最小,此时A1P==,当点P与G或H重合时,长度最大,此时A1P=,综上:线段A1P长度的取值范围是.故选B.
16.解:(1)连接CP并延长与DA的延长线交于M点,连接D1M,则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
证明:因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,
故△PBC∽△PDM,所以==,
又因为==,所以==,所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA,PQ 平面A1D1DA,故PQ∥平面A1D1DA.
(2)当=时,能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明:因为=,即=,故=,所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA,PR 平面A1D1DA,
所以PR∥平面A1D1DA,由(1)知,PQ∥平面A1D1DA,又PQ∩PR=P,
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
3 / 38.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体,通过直观感知,归纳出平面与平面平行的判定定理,并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行 直观想象
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层.
【问题】 展馆的每两层所在的平面有什么位置关系?你是依据什么判断的?
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字 语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号 语言 a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α
图形 语言
提醒 判定平面α与平面β平行时,必须具备两个条件:①平面β内两条相交直线a,b,即a β,b β,a∩b=P;②两条相交直线a,b都与平面α平行,即a∥α,b∥α.
1.(2024·济南月考)在正方体中,相互平行的面不会是( )
A.前后相对侧面
B.上下相对底面
C.左右相对侧面
D.相邻的侧面
2.(2024·青岛月考)已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a α,b α,c β,d β,则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
3.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的对数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
【例1】 已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( )
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交
通性通法
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点;
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面;
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【跟踪训练】
(2024·南平月考)下列命题正确的是( )
A.一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
题型二 平面与平面平行的证明
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱DD1,CC1的中点,求证:平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1.利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2.转化思想
转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
【跟踪训练】
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.
求证:(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
1.已知α,β是两个不重合的平面,直线a α,命题p:a∥β,命题q:α∥β,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024·周口月考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在B1D1上,F在A1B1上,且=,过E作EH∥B1B交BD于H,则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.以上都有可能
3.如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是CE和CF的中点.证明:平面BDGH∥平面AEF.
第1课时 平面与平面平行的判定
【基础知识·重落实】
知识点
两条相交直线
自我诊断
1.D 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行,故选D.
2.C 由图①和图②可知,α与β平行或相交.
3.D 相对的两个侧面以及上下两底面相互平行,所以六棱柱的面中互相平行的有4对.
【典型例题·精研析】
【例1】 D 选项A、C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行;选项D正确,因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种,又因为两个平面不相交,所以这两个平面必定平行.故选D.
跟踪训练
B 对于A、C、D选项,两个平面均有可能相交,而对于B选项,如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,故A、C、D错误,B正确.
【例2】 证明:连接EF,
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,E,F分别为DD1,CC1的中点,
∴AB∥DC∥EF,AB=DC=EF,ED1∥CF,ED1=CF,
∴四边形ABFE,ED1FC为平行四边形,
则AE∥BF,EC∥D1F,
∵AE 平面BFD1,EC 平面BFD1,BF 平面BFD1,D1F 平面BFD1,
∴AE∥平面BFD1,EC∥平面BFD1,
∵AE 平面AEC,EC 平面AEC,AE∩EC=E,
∴平面AEC∥平面BFD1.
跟踪训练
证明:(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,A1E,EF 平面EFA1,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
随堂检测
1.B a α,a∥β ,α,β可能相交,也可能平行;由面面平行的定义可知,若α∥β且a α,则a∥β. 故p是q的必要不充分条件.故选B.
2.A 在平面A1B1C1D1中,因为=,所以EF∥A1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1∥A1D1,所以EF∥B1C1,又因为EH∥B1B,EH 平面EFH,EF 平面EFH,BB1 平面BB1C1C,B1C1 平面BB1C1C,EH∩EF=E,BB1∩B1C1=B1,所以平面EFH∥平面BB1C1C.故选A.
3.证明:在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,
所以GH∥EF,
又因为GH 平面AEF,EF 平面AEF,
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,因为OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,
又因为OH 平面AEF,AF 平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H,OH,GH 平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
2 / 3(共59张PPT)
第1课时 平面与平面平行的判定
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体,通过直观感知,归纳出平面与平面平
行的判定定理,并加以证明 逻辑推理
2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面
平行 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气
质,展馆共分三层.
【问题】 展馆的每两层所在的平面有什么位置关系?你是依据什么
判断的?
知识点 平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的 与另一个平面平行,
那么这两个平面平行
符号语言 a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α β∥α
图形语言
两条相交直线
提醒 判定平面α与平面β平行时,必须具备两个条件:①平面β内两
条相交直线a,b,即a β,b β,a∩b=P;②两条相交直线a,
b都与平面α平行,即a∥α,b∥α.
1. (2024·济南月考)在正方体中,相互平行的面不会是( )
A. 前后相对侧面 B. 上下相对底面
C. 左右相对侧面 D. 相邻的侧面
解析: 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平
行,故选D.
2. (2024·青岛月考)已知a,b,c,d是四条直线,α,β是两个不
重合的平面,若a∥b∥c∥d,a α,b α,c β,d β,则α
与β的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 以上都不对
解析: 由图①和图②可知,α与β平行或相交.
3. 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的
面中互相平行的对数为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析: 相对的两个侧面以及上下两底面相互平行,所以六棱柱
的面中互相平行的有4对.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面平行判定定理的理解
【例1】 已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出
平面α与平面β平行的是( )
A. 平面α内有一条直线与平面β平行
B. 平面α内有两条直线与平面β平行
C. 平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D. 平面α与平面β不相交
解析: 选项A、C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正
确,因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平
行;选项D正确,因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平
行两种,又因为两个平面不相交,所以这两个平面必定平行.故选D.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点;
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面;
(3)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
【跟踪训练】
(2024·南平月考)下列命题正确的是( )
A. 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么
这两个平面平行
B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个
平面平行
C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D. 如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面,那么这两个
平面平行
解析: 对于A、C、D选项,两个平面均有可能相交,而对于B选
项,如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个
平面平行,故A、C、D错误,B正确.
题型二 平面与平面平行的证明
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱
DD1,CC1的中点,求证:平面AEC∥平面BFD1.
证明:连接EF,
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,E,F分别为DD1,
CC1的中点,
∴AB∥DC∥EF,AB=DC=EF,ED1∥CF,
ED1=CF,
∴四边形ABFE,ED1FC为平行四边形,
则AE∥BF,EC∥D1F,
∵AE 平面BFD1,EC 平面BFD1,BF 平面
BFD1,D1F 平面BFD1,
∴AE∥平面BFD1,EC∥平面BFD1,
∵AE 平面AEC,EC 平面AEC,AE∩EC=E,
∴平面AEC∥平面BFD1.
通性通法
1. 利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤
2. 转化思想
转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直
线分别平行,则α∥β.
【跟踪训练】
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,
AC,A1B1,A1C1的中点.
求证:(1)B,C,H,G四点共面;
证明:∵G,H分别是A1B1,A1C1的中
点,∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明:∵E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G∥EB且A1G=EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,A1E,EF 平面EFA1,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
1. 已知α,β是两个不重合的平面,直线a α,命题p:a∥β,命题
q:α∥β,则p是q的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析: a α,a∥β ,α,β可能相交,也可能平行;由面面平
行的定义可知,若α∥β且a α,则a∥β. 故p是q的必要不充分条
件.故选B.
2. (2024·周口月考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在
B1D1上,F在A1B1上,且 = ,过E作EH∥B1B交BD于
H,则平面EFH与平面BB1C1C的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交
C. 垂直 D. 以上都有可能
解析: 在平面A1B1C1D1中,因为 = ,所以
EF∥A1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C1∥A1D1,所以
EF∥B1C1,又因为EH∥B1B,EH 平面EFH,EF 平面
EFH,BB1 平面BB1C1C,B1C1 平面BB1C1C,EH∩EF=
E,BB1∩B1C1=B1,所以平面EFH∥平面BB1C1C. 故选A.
3. 如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点
H分别是CE和CF的中点.证明:平面BDGH∥平面AEF.
证明:在△CEF中,因为G,H分别是CE,CF的中点,
所以GH∥EF,
又因为GH 平面AEF,EF 平面AEF,
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,因为
OA=OC,CH=HF,所以OH∥AF,
又因为OH 平面AEF,AF 平面AEF,
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH=H,OH,GH 平面BDGH,
所以平面BDGH∥平面AEF.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设α,β是两个不同的平面,m是直线且m α,m∥β,若使α∥β成
立,则需增加的条件是( )
A. n是直线且n α,n∥β
B. n,m是异面直线且n∥β
C. n,m是相交直线且n α,n∥β
D. n,m是平行直线且n α,n∥β
解析: 要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行,n,m是相交直线且n α,n∥β,m α,
m∥β,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
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2. 经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
解析: ①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β
使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面与平
面α至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交,不能作
出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
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3. 对于不重合的两个平面α与β,给定下列条件中,不能够判定α与β平
行的为( )
A. 存在平面γ,使得α,β都平行于γ
B. 平面α内的任意一条直线都平行于β
C. α内有不共线的三点到β的距离相等
D. 存在异面直线l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β
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解析: 对于A,存在平面γ,使得α,β都平行于γ,∴两个平面
平行,∴A正确;对于B,平面α内的任意一条直线都平行于β,当
然α内的两条相交直线也都平行于β,∴α∥β,∴B正确;对于C,
不能判定α与β平行,如α内不共线的三点不在β的同一侧时,α与β
相交,∴C不正确;对于D,可以判定α与β平行,可在平面α内作
l'∥l,m'∥m,则l'与m'必相交.又∵l∥β,m∥β,∴l'∥β,
m'∥β,∴α∥β,∴D正确.故选C.
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4. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱
A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有( )
A. BD1∥GH
B. BD∥EF
C. 平面EFGH∥平面ABCD
D. 平面EFGH∥平面A1BCD1
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解析: 易知GH∥D1C,因为过直线外一点
有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,
GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF
∥A1B,与选项A同理,可判断选项B错误;
因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面
ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;对于D,由E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,得出EF∥A1B,EH∥A1D1,所以EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,又EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故选D.
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5. (2024·广州月考)在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且
AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且有平面
BDM∥平面A1ACC1,则动点M的轨迹是( )
A. △A1B1C1边界的一部分
B. 一个点
C. 线段的一部分
D. 圆的一部分
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解析: 如图,过D作DE∥A1C1交B1C1于E,
连接BE,因为BD∥AA1,BD 平面AA1C1C,
AA1 平面AA1C1C,所以BD∥平面AA1C1C,同
理DE∥平面AA1C1C,又BD∩DE=D,BD,
DE 平面BDE,所以平面BDE∥平面AA1C1C,
所以M∈DE(M不与D重合,否则没有平面
BDM),故选C.
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6. 如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在
棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行
的是( )
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解析: 由题意可知经过P,Q,R三点的平
面即为平面PSRHNQ,如图所示,对图B、C,
可知N在经过P,Q,R三点的平面上,所以
图B、C中的阴影平面与平面PRQ不平行;对
图A,MC1与QN是相交直线,所以图A中的阴
影平面与平面PRQ不平行;对图D,因为A1C1∥RH,BC1∥QN,A1C1∩BC1=C1,又易知RH,QN也相交,A1C1,BC1 平面A1C1B,RH,QN 平面PSRHNQ,故平面A1C1B∥平面PSRHNQ,图D中的阴影平面与平面PRQ平行.
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7. 如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E,F分别是棱PA,PB,PC
的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
平行
解析:在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB. 又DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以DE∥平面ABC. 同理,可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF=E,DE,EF 平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.
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8. 已知平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线
b∥a,则α与β的位置关系是 (填“平行”或“相交”).
解析:若α∩β=l,则在平面α内,取与l相交的直线a,设a∩l=
A,对于β内的任意直线b,若b过点A,则a与b相交,若b不过点
A,则a与b异面,即β内不存在直线b∥a,矛盾.故α∥β.
平行
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9. 如图,三条直线AA1、BB1、CC1不共面,但交于一点O,若AO=
A1O,BO=B1O,CO=C1O,那么平面ABC和平面A1B1C1的位
置关系是 .
平行
解析:由AO=A1O,BO=B1O,且∠AOB=∠A1OB1,故△AOB≌△A1OB1,因此∠A1B1O=∠ABO,故A1B1∥AB,A1B1 平面A1B1C1,AB 平面A1B1C1,故AB∥平面A1B1C1,同
理可得BC∥平面A1B1C1,AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,故平面ABC∥平面A1B1C1.
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10. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=
PQ∶QD. 求证:平面MNQ∥平面PBC.
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证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC,NQ 平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD,所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PBC.
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11. (2024·宁波月考)已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面.
若m α,n α,l1 β,l2 β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分
条件是( )
A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析: 对于A,若m∥β且l1∥α,则α,β可能相交,故A错
误;对于B,若m∥β且n∥β,要得出α∥β,必须满足m,n相
交,故B错误;对于C,若m∥β且n∥l2,要得出α∥β,必须满足
m,n相交,故C错误;对于D,由定理“如果一个平面内的两条
相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行”,由选项D
可以推出α∥β,故D正确.
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12. (多选)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列说
法正确的有( )
A. BM∥平面DE
B. CN∥平面AF
C. 平面BDM∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCM
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解析:展开图可以折成如图①所示的正方体.
在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN. ∴BM∥平面DE. 同
理可证CN∥平面AF,∴选项A、B正确;如图③所示,连接
NF,BE,BD,DM,CF,易证BM∥平面AFN,BD∥平面
AFN,则平面BDM∥平面AFN,∴选项C正确;易得平面BDE与
平面NCM相交,∴D不正确.
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13. 如图,P是△ABC所在平面外一点,A',B',C'分别是△PBC,
△PAC,△PAB的重心,则平面A'B'C'与平面ABC的位置关系
为 .
平行
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解析:如图,连接PA',PC'并延长,分别交BC,
AB于点M,N,连接MN. ∵A',C'分别是
△PBC,△PAB的重心,∴PA'= PM,PC'=
PN,∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC,A'C' 平
面ABC,∴A'C'∥平面ABC. 同理,A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'=A',A'C',A'B' 平面
A'B'C',∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个
动点,E,F分别是BC,CM的中点.
(1)求证:EF∥平面BDD1B1;
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证明:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM,如图.
因为E,F分别是BC,CM的中点,
所以EF∥BM.
又EF 平面BDD1B1,BM 平面
BDD1B1,
所以EF∥平面BDD1B1.
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(2)设G为棱CD的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1.
证明:因为G是CD的中点,E是BC的中点,所以EG∥BD.
而EG 平面BDD1B1,BD 平面
BDD1B1,
从而得EG∥平面BDD1B1.
由(1)知EF∥平面BDD1B1,又
EF∩EG=E,EF,EG 平面GEF,
因此平面GEF∥平面BDD1B1.
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15. 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是
棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面
AEF,则线段A1P长度的取值范围是( )
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解析: 如图,取B1C1的中点G,BB1的中点
H,连接GH,A1G,A1H,则A1G∥AE,又
A1G 平面AEF,AE 平面AEF,所以A1G∥
平面AEF,同理GH∥EF,GH 平面AEF,
EF 平面AEF,所以GH∥平面AEF,因为
A1G∩GH=G,所以平面A1GH∥平面AEF,
因为P是侧面BCC1B1内一点,
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当P点在线段GH上时,能够满足A1P∥平面AEF,因为正方
体棱长为2,由勾股定理得:A1G=A1H= ,GH= ,故点P落在GH中点时,A1P长度最小,此时A1P= = ,当点P与G或H重合时,长度最大,此时A1P= ,综
上:线段A1P长度的取值范围是 .故选B.
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16. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1
上的点,且 = = .
(1)在图①中作出平面PQC和平面AA1D1D的交线(保留作图痕
迹),并求证:PQ∥平面A1D1DA;
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解:连接CP并延长与DA的延长线交于M点,连接D1M,则平面PQC和平面AA1D1D的交线为D1M.
证明:因为四边形ABCD为正方形,所
以BC∥AD,
故△PBC∽△PDM,所以 = = ,
又因为 = = ,所以 = = ,所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA,PQ 平面
A1D1DA,故PQ∥平面A1D1DA.
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(2)如图②,若R是AB上的点,当 的值为多少时,能使平面
PQR∥平面A1D1DA?请给出证明.
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解:当 = 时,能使平面PQR∥平面A1D1DA.
证明:因为 = ,即 = ,故 = ,所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA,PR 平面A1D1DA,
所以PR∥平面A1D1DA,由(1)知,PQ∥平面
A1D1DA,又PQ∩PR=P,
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
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谢 谢 观 看!