8.6.1 直线与直线垂直
1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是（ ）
A.BC1
B.A1D
C.AC
D.BC
3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四边形一定是（ ）
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A.AB与CD所在直线垂直
B.CD与EF所在直线平行
C.AB与MN所在直线成60°角
D.MN与EF所在直线异面
6.（多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝CD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有 条.
8.已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b所成的角为 .
9.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 .
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.
（1）求证：MN∥A1C1；
（2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
11.（2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（ ）
A. B.2
C. D.4
12.（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是（ ）
A.直线EF，AO共面
B.直线EF，BB1是相交直线
C.直线EF与BC1所成的角为30°
D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
13.（2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长度为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
15.当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为 .
16.如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱锥A1-APB的体积；
（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
8.6.1 直线与直线垂直
1.B ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
2.C 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
3.B 如图，易知四边形EFGH为平行四边形.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.
4.C 如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.
5.CD 画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D.
6.ABD 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D.
7.2 解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.
8.60° 解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°.
9. 解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝m，BB1＝m，由勾股定理得AB1＝B1C＝m，∴DE＝BE＝m，∴△BDE为等边三角形，∴∠EDB＝，∴sin∠EDB＝.
10.解：（1）证明：连接AC，∵M，N分别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.
（2）连接A1B，由（1）知∠A1C1B或其补角为所求角，
∵A1B＝A1C1＝，BC1＝，
∴由余弦定理得cos∠A1C1B＝＝.
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为.
11.A 取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝＝，故选A.
12.AC 连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）是异面直线EF与BC1所成的角.连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos∠OBB1＝＝＝，D中说法错误.故选A、C.
13.或 解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF.∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝；当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×＝.
14.证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
15.［，］ 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，
由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线D1P与BC1所成角，在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝，又∵x∈[0，1]，∴cos∠AD1P＝∈［，］，又y＝cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［，］.
16.解：（1）由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2，
∴S△PAB＝×2×2＝2，
∴＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
（2）当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，
∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为.
3 / 38.6.1 直线与直线垂直
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系 逻辑推理
2.会求两异面直线所成的角 直观想象
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面.
【问题】 （1）直观上，你认为这两种异面有什么区别？
（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？
知识点一 异面直线所成的角
1.已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.
2.当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成角α的取值范围是 .
提醒 （1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
知识点二 直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b.
提醒 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.
1.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
3.若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为 .
题型一 求异面直线所成的角
【例1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
通性通法
求两异面直线所成角的一般步骤
（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；
（2）计算角：求角度，常利用三角形；
（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
提醒 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行直线若在外，补上原体在外边.
【跟踪训练】
1.（2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面直线PD，BE所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角；
（2）FO与BD所成的角.
题型二 证明直线与直线垂直
【例2】 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
通性通法
证明空间中两条直线垂直的方法
（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.
【跟踪训练】
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
1.已知直线a，b，c，则（ ）
A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D.若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A.2条 B.4条
C.6条 D.8条
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为 .
4.（2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为 .
8.6.1 直线与直线垂直
【基础知识·重落实】
知识点一
1.a'与b' 2.0°≤α≤90°
知识点二
直角 ⊥
自我诊断
1.D 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.
2.A 过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.
3.60° 解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝AB，GF∥CD且GF＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
跟踪训练
1.B 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2，EF＝，BF＝＝，所以cos∠BEF＝＝.故选B.
2.解：（1）∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
（2）如图，连接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
【例2】 证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，
EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
跟踪训练
证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，则AB2＝a2＋b2.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1＋B，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
随堂检测
1.C 由异面直线所成角的定义可知C正确.
2.D 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.
3.60° 解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
4.45° 解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC.因为点C是弧的中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D，E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°.
3 / 3(共57张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，了解空间
中直线与直线垂直的关系 逻辑推理
2.会求两异面直线所成的角 直观想象
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB
与B1D1也异面.
【问题】 （1）直观上，你认为这两种异面有
什么区别？
（2）如果要利用角的大小来区分这两种异面，
你认为应该怎样做？
知识点一 异面直线所成的角
1. 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，
b'∥b，我们把直线 所成的角α叫做异面直线a与b所成的
角（或夹角）.
2. 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°，所以空间
两条直线所成角α的取值范围是 .
a'与b'
提醒 （1）两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线
的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；（2）找出两条异面
直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成
的角转化为两条相交直线所成的角.
0°≤α≤90°
知识点二 直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条异面
直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a b.
提醒 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相
交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.
直角
⊥
1. 设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 以上都有可能
解析： 如图，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1
＝b，则a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD
＝b，则a和b异面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC
＝b，则a和b平行，所以空间中垂直于同一条直
线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.
2. 设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）
A. 有无数条 B. 有两条
C. 至多有两条 D. 有一条
解析： 过点P且与l成30°角的异面直线有无数条，并且异面
直线在以P为顶点的圆锥的侧面上.故选A.
3. 若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB
所成的角的大小为 .
解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为
锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
60°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求异面直线所成的角
【例1】 在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成角为
30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
解：如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB且EG＝ AB，GF∥CD且GF＝ CD.
由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与
AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
通性通法
求两异面直线所成角的一般步骤
（1）构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，
作出异面直线夹角的相关角；
（2）计算角：求角度，常利用三角形；
（3）确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线
所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线
所成的角.
提醒 找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行直线若在外，补上原体在外边.
【跟踪训练】
1. （2024·龙岩月考）如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝CA＝
CB＝5，AB＝PC＝2，点D，E分别为AB，PC的中点，则异面
直线PD，BE所成角的余弦值为（ ）
解析： 如图，连接CD，取CD的中点F，连接EF，BF，则EF∥PD，∠BEF为异面直线PD，BE所成的角.由题意可知PD＝CD＝BE＝2 ，EF＝ ，BF＝ ＝ ，所以 cos
∠BEF＝ ＝ .故选B.
2. 如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
（1）BE与CG所成的角；
解：∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
（2）FO与BD所成的角.
解：如图，连接FH，
易知FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，
连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
题型二 证明直线与直线垂直
【例2】 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求
证：DB1⊥EF.
证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点
O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
通性通法
证明空间中两条直线垂直的方法
（1）定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；
（2）平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂
直、等腰三角形（等边三角形）底边的中线和底边垂直等.
【跟踪训练】
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1.
证明：如图，连接A1B，设A1C1＝a，B1C1＝b，AA1
＝h，则AB2＝a2＋b2.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以B ＝b2＋h2，A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1 ＋B ，
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
1. 已知直线a，b，c，则（ ）
A. 若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B. 若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C. 若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D. 若a与c所成的角等于c与b所成的角，则a∥b
解析： 由异面直线所成角的定义可知C正确.
2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（ ）
A. 2条 B. 4条 C. 6条 D. 8条
解析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有
BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.故选D.
3. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所
成的角大小为 .
60°
解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B
与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B
＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的
角为60°.
4. （2024·开封月考）如图，AB是圆O的直径，C是弧 的中点，
D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角
为 .
45°
解析：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC. 因为点C是弧 的
中点，所以BC＝AC，所以∠ABC＝45°.在△VBC中，因为D，
E分别为VB，VC的中点，所以DE∥BC，所以∠ABC即为异面直
线DE与AB所成的角.所以异面直线DE与AB所成的角为45°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）
A. 一定平行 B. 一定垂直
C. 一定是异面直线 D. 一定相交
解析： ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
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2. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的
是（ ）
A. BC1
B. A1D
C. AC
D. BC
解析： 连接BD（图略），∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故选C.
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3. 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，则顺次连接四边中点的四
边形一定是（ ）
A. 空间四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
解析： 如图，易知四边形EFGH为平行四边形.
因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.
同理FG∥BD，所以∠EFG或其补角为AC与BD所
成的角.因为AC与BD所成的角为90°，所以
∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形.
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4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝
2，BB1＝1，AC＝2 ，则异面直线BD与AC所成的角为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 如图，取B1C1的中点E，连接BE，
DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）
即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝
DE＝EB＝ ，所以∠BDE＝60°，故选C.
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5. （多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下
列四个结论，其中正确的是（ ）
A. AB与CD所在直线垂直
B. CD与EF所在直线平行
C. AB与MN所在直线成60°角
D. MN与EF所在直线异面
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解析： 画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选C、D.
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6. （多选）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列
结论正确的是（ ）
A. AC⊥BD
B. AC∥截面PQMN
C. AC＝CD
D. 异面直线PM与BD所成的角为45°
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解析： 因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN 平面DAC，PQ 平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ 平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因为AC 截面PQMN，MN 截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ，因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选A、B、D.
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7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，
则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有 条.
解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.
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8. 已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直
线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a与b
所成的角为 .
解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a与b所
成的角为∠BAC的补角.所以直线a与b所成的角为60°.
60°
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9. 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝ ∶1，则异面直线AB1与BD所成角的正弦值为 .
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解析：连接B1C，取B1C的中点E，连接DE，BE，
∵D是AC的中点，∴DE是△ACB1的中位线，
∴AB1∥DE，∴∠EDB（或其补角）为异面直线
AB1与BD所成的角.设AB＝m（m＞0），则BD＝
m，BB1＝ m，由勾股定理得AB1＝B1C＝
m，∴DE＝BE＝ m，∴△BDE为等边三角形，
∴∠EDB＝ ，∴ sin ∠EDB＝ .
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10. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分别是AD，DC的中点.
（1）求证：MN∥A1C1；
解：证明：连接AC，∵M，N分
别为AD，DC的中点，∴MN∥AC且
AC∥A1C1，∴MN∥ A1C1.
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（2）求异面直线MN与BC1所成角的余弦值.
解：连接A1B，由（1）知
∠A1C1B或其补角为所求角，
∵A1B＝A1C1＝ ，BC1＝ ，
∴由余弦定理得 cos ∠A1C1B＝ ＝ .
故异面直线MN与BC1所成角的余弦值为 .
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11. （2024·湛江月考）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边
AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，如图所示，
若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为
（ ）
B. 2
D. 4
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解析： 取A'D的中点N，连接PN，MN（图略）.因为M是A'C的中点，所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MB∥PN，所以∠A'PN为异面直线BM与PA'所成的角.在Rt△NA'P中，tan∠A'PN＝ ＝ ，故选A.
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12. （多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正
确的是（ ）
A. 直线EF，AO共面
B. 直线EF，BB1是相交直线
C. 直线EF与BC1所成的角为30°
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解析： 连接OF（图略），∵O为正方形A1B1C1D1的中心，
F是A1D1的中点，∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而
EF，AO共面，A中说法正确；连接B1E，∵F 平面BEB1，
BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，∴EF，BB1是异面直
线，B中说法错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四
边形EFOB是平行四边形，∴EF∥BO，∴∠OBC1（或其补角）
是异面直线EF与BC1所成的角.
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连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝ ，OC1＝ ，
BO＝EF＝ ＝ ，∴ cos ∠OBC1＝
＝ ，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；同理得
∠OBB1（或其补角）是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1
中，易得 cos ∠OBB1＝ ＝ ＝ ，D中说法错误.故选A、C.
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13. （2024·珠海质检）在四面体A-BCD中，E，F分别是AB，CD
的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的
长度为 .
或
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解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF.
∴OE∥AC，OF∥BD，∴∠EOF（或其补
角）即为AC与BD所成的角.而AC，BD所成的
角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝ ；当
∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，
则OM⊥EF，EF＝2EM＝2× ＝ .
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14. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是
BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
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证明：如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝ BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝ BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1（或其补角）是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
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∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
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解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0，1]，连接AD1，AP，由正方体的性质可知AD1∥BC1，∴∠AD1P即为异面直线
D1P与BC1所成角，
［ ， ］
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在△AD1P中，AD1＝ ，AP＝D1P＝ ，故 cos ∠AD1P＝ ，又∵x∈[0，1]，∴ cos ∠AD1P＝ ∈［ ， ］，又y＝ cos x在（0，π）为减函数，∴∠AD1P∈［ ， ］.
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16. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面☉O上，AA1⊥AB，
BP⊥A1P，AB，A1B1分别为☉O，☉O1的直径，且AB∥A1B1.
若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°.
（1）求三棱锥A1-APB的体积；
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解：由题意，得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2 ，
∴S△PAB＝ ×2×2 ＝2 ，
∴ ＝ S△PAB·AA1＝ ×2 ×3＝2 .
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（2）在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成
角的余弦值为 ？若存在，请指出点M的位置，并证明；若
不存在，请说明理由.
解：当点M为AP的中点时，异面
直线OM与A1B所成角的余弦值为 .
证明如下：
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∵O，M分别为AB，AP的中点，
∴OM∥BP，
∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.
∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.
又BP⊥A1P，∴ cos ∠A1BP＝ ＝ ，
∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成角的余弦值为 .
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谢 谢 观 看！
