(共59张PPT)
第2课时 直线与平面垂直的性质
新课程标准解读 核心素养
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直
观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系 数学抽象
2.归纳出直线与平面垂直的性质定理 逻辑推理
3.了解直线与平面、平面与平面的距离 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
【问题】 （1）如果直线a垂直于一个平面α，直线b与直线a平行，
那么直线b与平面α是否垂直？猜测结果并说明理由；
（2）如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样
的位置关系？猜测结果并说明理由.
知识点一 直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
平行
a∥b
【想一想】
在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直线与平面ABCD位置
关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
提示：棱AA'，BB'所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相
平行.
知识点二 线面距与面面距
1. 直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上
到这个平面的距离.
2. 平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内
的 到另一个平面的距离都相等.
任
意一点
任意一点
【想一想】
是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离？
提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距
离问题.
1. △ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，
m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 异面
C. 平行 D. 不确定
解析： ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，
同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2. 如图，平行四边形ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝
3，则CE＝（ ）
A. 2 B. 3
解析： 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且
AF＝DE. 因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以
DE⊥DC. 因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝
＝ ＝ .故选D.
C. D.
3. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线B1C1到平面ABCD的距
离是 .
解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线
B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体
的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD
的距离为1.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 线面垂直有关性质的理解
【例1】 已知直线m，n和平面α，若n⊥α，则“m α”是
“n⊥m”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 若n⊥α，m α，则n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，
n⊥α，则m α或m∥α，故必要性不成立，故“m α”是
“n⊥m”的充分不必要条件.故选A.
通性通法
1. 线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关
系之间的转化.
2. 常用的线面垂直的性质还有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，
a⊥β α∥β.
【跟踪训练】
（多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是
A1C的中点，MN⊥平面A1DC，则下列选项正确的是（ ）
A. AD1与平面A1DC相交
B. AD1⊥平面A1DC
C. AD1与MN异面
D. AD1∥MN
解析： 因为AD1∩A1D＝O，则点O∈平面A1DC且点A 平面A1DC，A正确；因为AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正确；又因MN⊥平面A1DC，则AD1∥MN即D正确，C错误.故选A、B、D.
题型二 直线与平面垂直的性质的应用
【例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC
上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D， ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
通性通法
证明线线平行常用的方法
（1）利用线线平行定义：证共面且无公共点；
（2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且
MN⊥AB，MN⊥PC. 证明：AE∥MN.
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又
AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
题型三 空间中的距离问题
【例3】 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列
距离：
（1）点A到平面BB1D1D的距离；
解：连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的 ，即 a.
（2）点C到平面BDC1的距离.
解：设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为
×（ a）2＝ a2，
由等体积法可得V＝ × ×a×a×a＝ × a2×h，
解得h＝ a.所以点C到平面BDC1的距离为 a.
通性通法
求点到平面的距离的两种方法
（1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将
所求线段化归到三角形中求解；
（2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，
利用体积相等建立方程求解.
无论是求直线与平面的距离还是求平面与平面的距离，最终都
转化为点到平面的距离.
【跟踪训练】
（2024·济南月考）如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，
侧棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，
AD∥BC，求AD到平面PBC的距离.
解：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝
90°，即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，
设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得
PA·S△ABC＝ d·S△PBC，
所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，得d＝ ，所以AD到平面
PBC的距离为 .
1. 在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是（ ）
A. 一个点 B. 一条直线
C. 一个平面 D. 一个球面
解析： 过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆
周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一
条直线.故选B.
2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下
面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是（ ）
A. α∥β，且m α B. m∥n，且n⊥β
C. m⊥n，且n β D. m⊥n，且n∥β
解析： A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合题意；B中，
由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂
直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m β或
m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B.
3. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则
平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离为 .
解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为
4，所以所求距离为4.
4
证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平
面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以
AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
4. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 求证：l∥AE.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的
（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 根据线面垂直的性质定理可知，“m∥l”是“m⊥α”
的充要条件.
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2. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足
l⊥m，l⊥n，l α，l β，则（ ）
A. α∥β，且l∥α
B. α⊥β，且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行于l
解析： 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平
面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线
l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
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3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，平面AB1D1到平面
BC1D的距离为（ ）
A. B.
解析： 因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面
AB1D1的距离h，由等体积法可得 ＝ ，
即h× × ×22× sin 60°＝ × × × × ，解得h＝
，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为 .
C. D.
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4. 已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6
cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离
是（ ）
A. cm B. cm
解析： 如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝ BG. 设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB. 在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
C. 2 cm D. 2 cm
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5. （多选）（2024·潮州月考）如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，
则下列结论中正确的是（ ）
A. PB⊥BC
B. PD⊥CD
C. PD⊥BD
D. PA⊥BD
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解析： ∵PA⊥矩形ABCD，BD 矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确；若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正确.故选A、B、D.
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6. （多选）如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到
△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正
确的是（ ）
A. A'C⊥BD B. A'D⊥BC
C. A'C⊥BC D. A'D⊥A'B
解析： ∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C. 显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D. 故B、C、D正确.
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7. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，
则EF与AA1的位置关系是 .
解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面
BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，
所以EF∥AA1.
平行
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8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.则直线
AB到平面A1B1C1D1的距离为 ；平面ADD1A1与平面BCC1B1
之间的距离为 .
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解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面A1B1C1D1的距离，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
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9. 一条与平面α相交的线段，其长度为10 cm，两端点到平面α的距离
分别是2 cm，3 cm，则这条线段与平面α所成角的大小是 .
解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，
AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB
相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝
6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
30°
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证明：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以
BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
10. 斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC. AE⊥PB，AF⊥PC，
E，F分别为垂足，如图.
（1）求证：EF⊥PB；
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又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
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（2）若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.
证明：由（1）知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
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11. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足
分别为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（ ）
A. EF⊥平面α
B. EF⊥平面β
C. PQ⊥GE
D. PQ⊥FH
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解析： 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四
点共面.又PQ 平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β，则由
PQ 平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面
EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
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12. （多选）如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为
AD，沿AD把△ABC折起来，则（ ）
A. 在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C
B. 三棱锥A-DB'C的体积的最大值为
C. 当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为
D. 当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为
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解析： 因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为 × × × × ＝ ，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝ ＝ ，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝ ，故D不正确.
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13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是 .
（0，1]
解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM. 又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0＜a≤1.
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14. 如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，点
P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A
作AE⊥PC，交PC于点E.
（1）求证：AE⊥PB；
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解：证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
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（2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积.
解：因为点C到平面PAB的距离为1且C为 的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
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15. （2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，
∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动
点，则PM的最小值为（ ）
A. 2 B. 7
C. D.
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解析： 如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM
平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角
形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，
CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC
＝4 ，故CM的最小值为2 ，又PC＝4，则
PM的最小值为 ＝2 .
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16. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC
＝ ，AC＝2.
（1）证明：BC⊥平面PAB；
解：证明：由题知AB＝1，BC＝ ，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
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（2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出
PD的值，若不存在，请说明理由.
解：在线段PC上存在点D，当PD＝ 时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B
作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，
过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接
BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
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又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝ ＝ ，
所以AE＝ ，CE＝ ，
所以 ＝ ，所以CD＝ ，PD＝ .
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谢 谢 观 看！第2课时 直线与平面平行的性质
1.若l∥平面α，m α，则l与m的关系一定存在的是（ ）
A.l∥m B.l与m异面
C.l与m可能相交 D.l∩m＝
2.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
3.（2024·商丘月考）已知直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（ ）
A.0条 B.1条
C.0条或1条 D.无数条
4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为（ ）
A.2＋ B.3＋
C.3＋2 D.2＋2
5.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A.MN∥PD
B.MN∥平面PAB
C.MN∥AD
D.MN∥PA
6.（多选）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是（ ）
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
7.平面α外的两条直线a，b，且a∥α，则a∥b是b∥α的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交于BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是 （填平行、相交、异面其中之一）.
9.（2024·福州质检）如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B，C，D∈a，AB，AC，AD分别交平面α于点E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝ .
10.一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.
（1）过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，在木块的表面应该怎样画线？
（2）在平面ABC中所画的线与棱AC是什么位置关系？
11.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D两点，则四边形EFBC是（ ）
A.空间四边形 B.矩形
C.梯形 D.平行四边形
12.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为（ ）
A.1 B.
C.2 D.3
13.如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D为棱A1B1的中点，则过BC和D的截面面积等于 cm2.
14.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点.
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若点D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求的值.
15.（多选）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且AB∥CD，AC，BD的交点为O，CD＝3AB，在PC上取一点N，使得PA∥平面NBD，四棱锥P-ABCD的体积为V1，三棱锥N-BDC的体积为V2，则下面结论正确的为（ ）
A.＝ B.PA∥ON
C.VP-ADC＝VP-ABC D.＝
16.如图所示，四边形EFGH为三棱锥A-BCD的一个截面，四边形EFGH为平行四边形.
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
第2课时 直线与平面垂直的性质
1.C 根据线面垂直的性质定理可知，“m∥l”是“m⊥α”的充要条件.
2.D 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
3.C 因为两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h，由等体积法可得＝，即h×××22×sin 60°＝××××，解得h＝，即平面AB1D1到平面BC1D的距离为.
4.B 如图所示，过F，G分别作FA⊥α，GB⊥α，A，B分别为垂足，连接AE，EB，在Rt△FAE中，FE＝2FA，在Rt△GBE中，EG＝BG.设FG到平面α的距离为d，则d＝FA＝GB.在Rt△FEG中，EF2＋EG2＝36，即4d2＋2d2＝36，d2＝6，所以d＝ cm.
5.ABD ∵PA⊥矩形ABCD，BD 矩形ABCD，∴PA⊥BD，故D正确；若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥BC，又在矩形ABCD中，AB⊥BC，又PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴PB⊥BC，故A正确.故选A、B、D.
6.BCD ∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C.显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D.故B、C、D正确.
7.平行 解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1.
8.2 4 解析：如图，在长方体中，因为AB∥平面A1B1C1D1，点A到平面A1B1C1D1的距离就是AB到平面
A1B1C1D1的距离，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以所求距离为AA1＝2；AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距离为AB＝4.
9.30° 解析：如图，作出AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，则AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.
10.证明：（1）因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
又因为AF 平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，
所以AF⊥平面PBC.
又PB 平面PBC，所以AF⊥BP.
又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又EF 平面AEF，所以EF⊥PB.
（2）由（1）知，PB⊥平面AEF，
而l⊥平面AEF，所以PB∥l.
11.B 因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以E，F，H，G四点共面.又PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
12.ABC 因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB' 平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为××××＝，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE，则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝＝，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝，故D不正确.
13.（0，1] 解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0＜a≤1.
14.解：（1）证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为的中点，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE，
又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，
所以AE⊥PB.
（2）因为点C到平面PAB的距离为1且C为的中点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积为S＝2×π×12＋2π×1×2＝6π.
15.A 如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.由条件知AC＝4，BC＝4，故CM的最小值为2，又PC＝4，则PM的最小值为＝2.
16.解：（1）证明：由题知AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
（2）在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，
所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝，所以CD＝，
PD＝.
3 / 3第2课时 直线与平面平行的性质
新课程标准解读 核心素养
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系 直观想象
当直线l∥平面α时，l与α没有公共点.此时，若m α，这时可以判定，l与m的位置关系是平行或异面.
【问题】 那么在什么情况下l与m平行呢？
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行
符号语言 a∥α， a∥b
图形语言
提醒 （1）线面平行的性质定理的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a β.三个条件缺一不可；（2）定理的作用：①线面平行 线线平行；②画一条直线与已知直线平行.
1.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（ ）
A.b∥α B.b与α相交
C.b α D.b∥α或b与α相交
2.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（ ）
A.EF与BC相交 B.EF∥BC
C.EF与BC异面 D.以上均有可能
3.如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，则CD与EF的位置关系为 .
题型一 直线与平面平行性质定理的应用
【例1】 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
通性通法
1.利用线面平行性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
【跟踪训练】
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体.求证：截面MNPQ是平行四边形.
题型二 与线面平行性质定理有关的计算问题
【例2】 如图，在四面体A-BCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点.若AG∥平面CEF，求线段CF的长.
通性通法
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
（1）根据已知线面平行关系推出线线平行关系；
（2）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系；
（3）利用所得关系计算求值.
【跟踪训练】
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.
题型三 线面平行关系的综合应用
【例3】 如图所示的一块木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要经过平面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
通性通法
关于线面平行关系的综合应用
判定和性质之间的推理关系是由线线平行 线面平行 线线平行得来的，既体现了线线平行与线面平行之间的相互联系，也体现了空间和平面之间的相互转化.
【跟踪训练】
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
1.若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面（ ）
A.存在无数个 B.不存在
C.存在但只有一个 D.只存在两个
2.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A.m∥α，m∥n n∥α
B.m∥α，n∥α m∥n
C.m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D.m∥α，n α m∥n
3.如图，四棱锥P-ABCD中底面是正方形，四条侧棱均相等，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH.求证：GH∥EF.
第2课时 直线与平面垂直的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
平行 a∥b
想一想
提示：棱AA'，BB'所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行.
知识点二
1.任意一点 2.任意一点
想一想
提示：不是.只有当直线与平面平行、平面与平面平行时才涉及距离问题.
自我诊断
1.C ∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.
2.D 因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE，且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD，所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.故选D.
3.1 解析：由正方体的性质可知，B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1到平面ABCD的距离即为B1到平面ABCD的距离，由正方体的性质知B1到平面ABCD的距离为1，即直线B1C1到平面ABCD的距离为1.
【典型例题·精研析】
【例1】 A 若n⊥α，m α，则n⊥m，故充分性成立，若n⊥m，n⊥α，则m α或m∥α，故必要性不成立，故“m α”是“n⊥m”的充分不必要条件.故选A.
跟踪训练
ABD 因为AD1∩A1D＝O，则点O∈平面A1DC且点A 平面A1DC，A正确；因为AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC，B正确；又因MN⊥平面A1DC，则AD1∥MN即D正确，C错误.故选A、B、D.
【例2】 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D， ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②
由①②可知EF∥BD1.
跟踪训练
证明：因为AB⊥平面PAD，AE 平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
【例3】 解：（1）连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D，
所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的，即a.
（2）设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V，
在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝a，则△BDC1的面积为×（a）2＝a2，
由等体积法可得V＝××a×a×a＝×a2×h，
解得h＝a.所以点C到平面BDC1的距离为a.
跟踪训练
解：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，
设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，
所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距离为.
随堂检测
1.B 过圆的圆心作此圆所在平面的垂线，则垂线上的点到圆周的各点距离相等，所以到一圆周上各点距离相等的点的集合是一条直线.故选B.
2.B A中，由α∥β，且m α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m β或m∥β或m与β相交，不符合题意.故选B.
3.4 解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所求距离为4.
4.证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE.
又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.
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