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第四章《图形的相似》单元知识点分类训练
知识点1 成比例线段与平行线分线段成比例（共4小题）
1．已知，则的值为（ ）
A． B．﹣19 C． D．19
【思路点拔】先根据得5a＝3b，进而得a＝0.6b，然后将a＝0.6b代入之中进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴5a＝3b，
∴a＝0.6b，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决问题的关键．
2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两点确定一条直线
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【思路点拔】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
3．如图，DE∥BC，AD：BD＝2：3，EC＝12，则AE的长是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．20
【思路点拔】由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
由平行线分线段成比例定理得：
，
即，
解得：AE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．如图所示，已知直线a∥b∥c，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴，故A选项不正确，不符合题意；
∵a∥b∥c，
∴，故B选项不正确，不符合题意；
∵a∥b∥c，
∴，故C选项不正确，不符合题意；
∵a∥b∥c，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平行线段成比例的基本事实，找到对应线段的比是解题的关键．
知识点2 相似多边形（共2小题）
5．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【思路点拔】根据相似多边形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴相似比2，
故选：C．
【点评】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，属于中考常考题型．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 1 ．
【思路点拔】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出CE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即，
∴CE＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
知识点3 相似三角形的判定（共3小题）
7．已知△ABC的三边长分别是，，与△ABC相似的三角形三边长可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．
【解答】解：∵1：：：2：，
∴与△ABC相似的三角形三边长是选项A中的数据，
∵选项B、C、D中的数据之比都不等于1：：，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，数据相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．
【思路点拔】（1）根据∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB即可得出结论；
（2）设AD＝x，AC＝AD+CD＝x+4，根据△ABD和△ACB相似得AB：AC＝AD：AB，将AB＝5，AD＝x，AC＝x+4代入比例式整理得x2+4x﹣25＝0，由此解出x即可得AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB；
（2）设AD＝x，
∵AB＝5，CD＝4，
∴AC＝AD+CD＝x+4，
∵△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，
∴AB2＝AD AC，
∴52＝x（x+4），
整理得：x2+4x﹣25＝0，
解得：x，x（不合题意，舍去），
∴AD＝x．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
9．（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）；
（2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明．
【思路点拔】由三角形中位线定理可得EC＝2FG，通过证明△AHF∽△ACE，可得，即可求解．
【解答】解：如图2，连接AH，AF，EC，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，
∴∠EAF＝∠HAC＝30°，AF⊥DE，AH⊥BC，EC＝2FG，
∴，，∠HAF＝∠CAE，
∴，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
∴，
∴FHFG，
如图3，连接AH，AF，EC，
同理可证：FHFG．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
知识点4 相似三角形的应用（共3小题）
10．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ）#ZZ04
A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm
【思路点拔】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：如图所示：作BF⊥AE于点F，
由题意可得，BC＝6cm，CEDC＝8cm，
故BE10（cm），
可得：∠CEB＝∠BAF，∠C＝∠AFB，
故△BEC∽△BAF，
∴，
∴，
解得：BF＝9.6cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．
11．图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度．
【思路点拔】根据题意可得△CDI∽△BDA，△GEF∽△ABF，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可．
【解答】解：∵IC⊥BF，AB⊥BF，
∴IC∥AB，
∴△CDI∽△BDA，
∴，
∵GE⊥BF，
∴GE∥AB，
∴△GEF∽△ABF，
∴，
∵IC＝GE，
∴，
∵CD＝3m，EF＝5m，CE＝5m，
∴EF+CE＝10（m），
∴，
解得BC＝7.5，
∵IC＝2m，，
∴，
解得AB＝7．
所以大拇指的高度为7m．
【点评】本题考查相似三角形的应用以及生活中的平移现象，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
【思路点拔】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可；
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm，
∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴．
∵AB∥A′B′，
∴△OAC∽△OA′D，
∴，
∴，
∴，
∴A′B′＝3.2．
答：像A′B′的长度3.2厘米．
（2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图，
∵A′E∥OD，MN∥A′B′，
∴四边形A′EOD为平行四边形，
∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D．
同理：四边形ACOP为平行四边形，
∴AP＝OC＝32cm，
∵AP∥CD，A′E∥OD，
∴AP∥A′E，
∴△APO∽△A′EO，
∴，
∴．
∵MN∥A′B′，
∴△POF∽△A′DF，
∴，
∴OFOD（厘米）．
答：凸透镜焦距OF的长为厘米．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
知识点5 相似三角形的相性质（共3小题）
13．已知△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，则DF＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【思路点拔】直接根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，
∴，即，
解得DF＝6．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
14．若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（ ）
A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：81
【思路点拔】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：9，
∴这两个三角形的周长之比为1：9，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED．若S△ABC＝12，则S△BDE＝ 3 ．
【思路点拔】根据三角形的中位线定理可知，ED∥AC，，故△BDE∽△BCA，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案．
【解答】解：∵AD，CE是△ABC的两条中线，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥AC，，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
∴，
∴S△BDE＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键，
知识点6 图形的位似（共3小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，已知点A（2，a）、A'（4，b），则△ABC与△A′B′C′的相似比是 1：2 ．
【思路点拔】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据点A、B的坐标求出相似比．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵点A（2，a）、A'（4，b），
∴△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．
17．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．C点 B．F点 C．E点 D．G点
【思路点拔】根据OD、OB的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵OD＝4，OB＝2，
∴线段AB与其位似的图形的相似比为1：2，
由图可知：点A的对应点是点G，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似图形，根据题意求出相似比是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 2k （用含k的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
∵△ABC的周长为k，
∴△A1B1C1的周长是2k．
故答案为：2k．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章《图形的相似》单元知识点分类训练
知识点1 成比例线段与平行线分线段成比例（共4小题）
1．已知，则的值为（ ）
A． B．﹣19 C． D．19
2．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线互相平行
B．两点确定一条直线
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．如图，DE∥BC，AD：BD＝2：3，EC＝12，则AE的长是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．20
4．如图所示，已知直线a∥b∥c，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 相似多边形（共2小题）
5．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 ．
知识点3 相似三角形的判定（共3小题）
7．已知△ABC的三边长分别是，，与△ABC相似的三角形三边长可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的长．
9．（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）；
（2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明．
知识点4 相似三角形的应用（共3小题）
10．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（ ）#ZZ04
A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm
11．图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度AB的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线BF垂直的竹竿IC，点A，I，D在同一直线上，测得CD为3m．将竹竿IC平移5m至E处，点A，G，F在同一直线上，测得EF为5m．求大拇指的高度．
12．如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米．
（1）求像A′B′的长度．
（2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长．
知识点5 相似三角形的相性质（共3小题）
13．已知△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，AC＝9，则DF＝（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
14．若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（ ）
A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：81
15．如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED．若S△ABC＝12，则S△BDE＝ ．
知识点6 图形的位似（共3小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，已知点A（2，a）、A'（4，b），则△ABC与△A′B′C′的相似比是 ．
17．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．C点 B．F点 C．E点 D．G点
18．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 （用含k的代数式表示）．
