专题五 与相似三角形有关的动态变化（含解析）

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专题五 与相似三角形有关的动态变化
类型一 相似三角形中的平移、翻折、旋转
方法技巧：对给定的图形(或其中一部分)进行某种位置变换（平移、翻折或旋转)、然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，可根据变换前后对应角相等、对应边相等找到相似三角形的判定条件证明三角形相似
【母题练方法】1．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E．
（1）求证：△EFB∽△FDC；
（2）若AD＝10，CD＝6，求BE的长；
【子题练变式】2．如图，将线段AB平移得到CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD，BC．
（1）求证：∠B＝∠ADC；
（2）点G在BC的延长线上，点C与C′关于直线DG对称，直线DC′交BC的延长线于点E．点F在线段CE上，且∠DFE＝∠EDF．
①设∠B＝α，求∠FDG的度数（用含α的代数式表示）；
②证明：．
3．数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．
类型二 相似中的动点问题
方法技巧：此类题目需在点的运动中寻找相似三角形，通过列方程、分类讨论求解.
【母题练方法】4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．若△BMN与△ABC相似，求t的值为 　 　 ．
【子题练变式】5．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
6．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在
P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S（直接写出答案即可）
专题五 与相似三角形有关的动态变化
类型一 相似三角形中的平移、翻折、旋转
方法技巧：对给定的图形(或其中一部分)进行某种位置变换（平移、翻折或旋转)、然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，可根据变换前后对应角相等、对应边相等找到相似三角形的判定条件证明三角形相似
【母题练方法】1．如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E．
（1）求证：△EFB∽△FDC；
（2）若AD＝10，CD＝6，求BE的长；
【思路点拔】（1）由折叠性质得∠DEF＝90°，再根据互余性质得出△EFB和△EDC的两个锐角相等，便可由相似三角形的判定得出结论；
（2）由折叠性质得DE，再由勾股定理求得CE，由线段和差求得BE，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
根据折叠性质知，∠A＝∠DEF＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠DEC＝90°，
∴∠BFE＝∠DEC，
∴△EFB∽△FDC；
（2）解：由折叠性质知，AD＝DF＝10，AE＝EF，
∵CD＝6，
∴CF，
∵AD＝BC＝10，
∴BF＝BC﹣CE＝10﹣8＝2．
∵EF2＝BE2+BF2，
∴BE．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，注意对应相等关系．
【子题练变式】2．如图，将线段AB平移得到CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD，BC．
（1）求证：∠B＝∠ADC；
（2）点G在BC的延长线上，点C与C′关于直线DG对称，直线DC′交BC的延长线于点E．点F在线段CE上，且∠DFE＝∠EDF．
①设∠B＝α，求∠FDG的度数（用含α的代数式表示）；
②证明：．
【思路点拔】（1）根据平移的性质可得AB∥CD，AB＝CD，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
（2）①利用平行线的性质可得∠B＝∠DCF＝α，再根据三角形的外角性质可得∠DFE＝∠DCF+∠CDF，从而利用角的和差关系可得∠CDE＝2∠CDF+∠DCF，然后根据轴对称的性质可得∠CDG＝∠C′DG∠CDE＝∠CDF∠DCF，从而可得∠CDG﹣∠CDF∠DCF，进而可得∠FDG∠DCFα，即可解答；
②过点G作GH∥CD，交DE于点H，连接GC′，先证明A字模型相似三角形△CDE∽△GHE，从而可得，再根据轴对称的性质可得△CDG≌△C′DG，从而可得CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，进而可得∠DC′G＝∠HGE，然后证明△HC′G∽△HGE，从而利用相似三角形的性质可得，即可解答．
【解答】（1）证明：由平移得：AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC；
（2）①解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF＝α，
∵∠DFE是△DCF的一个外角，
∴∠DFE＝∠DCF+∠CDF，
∵∠DFE＝∠EDF，
∴∠CDE＝∠CDF+∠EDF
＝∠CDF+∠DFE
＝∠CDF+∠DCF+∠CDF
＝2∠CDF+∠DCF，
∵点C与C′关于直线DG对称，
∴∠CDG＝∠C′DG∠CDE（2∠CDF+∠DCF）＝∠CDF∠DCF，
∴∠CDG﹣∠CDF∠DCF，
∴∠FDG∠DCFα，
∴∠FDG的度数为α；
②过点G作GH∥CD，交DE于点H，连接GC′，
∴∠DCG＝∠HGE，∠CDH＝∠GHE，
∴△CDE∽△GHE，
∴，
∵点C与C′关于直线DG对称，
∴△CDG≌△C′DG，
∴CG＝C′G，∠DCG＝∠DC′G，
∴∠DC′G＝∠HGE，
∵∠GHE＝∠GHC′，
∴△HC′G∽△HGE，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，平移的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM＝∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F，连接AC交BD于点O，求的值．
【思路点拔】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究一】证明△CNM≌△CNH，即可得证；
【探究二】根据正方形的性质证明∠CEF＝∠FNB，根据三角形内角和定理得出∠CEF＝∠FNB，加上公共角∠ECF＝∠NCM，进而可证明；
【探究三】，先证明△ECD∽△NCA，得到∠CED＝∠CNA，，将△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，得出△NCG≌△NCM，根据全等三角形的性质得出∠MNC＝∠GNC，进而得到∠CNM＝∠CEF，可证明△ECF∽△NCM，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论．
【解答】【探究一】证明：∵把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上，
∴CM＝CH，∠MCH＝90°，
∴∠NCH＝∠MCH﹣∠MCN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MCN＝∠HCN，
在△CNM和△CNH中，
，
∴△CNM≌△CNH（SAS），
∴∠CNM＝∠CNH；
【探究二】证明：如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA＝45°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠FBN＝∠FCE＝45°，
∵∠EFC＝∠BFN，
∴∠CEF＝∠FNB，
∵∠CNM＝∠CNH，
∴∠CEF＝∠CNM，
∵公共角∠ECF＝∠NCM，
∴△CEF∽△CNM；
【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠CDE＝180°﹣∠BDC＝135°，∠CAN＝180°﹣∠BAC＝135°，
∴∠CDE＝∠CAN，
∵∠MCN＝∠DCA＝45°，
∴∠MCN﹣∠DCN＝∠DCA﹣∠DCN，
即∠ECD＝∠NCA，
∴△ECD∽△NCA，
∴∠CED＝∠CNA，，
如图所示，将△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，则点G在直线AB上，
∴MC＝GC，∠MCG＝90°，
∴∠NCG＝∠NCM＝45°，
∵CN＝CN，
∴△NCG≌△NCM（SAS），
∴∠MNC＝∠GNC，
∵∠CNA＝∠CEF，
∴∠CNM＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠NCM，
∴△ECF∽△NCM，
∴，
即．
【点评】本题是相似形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．
类型二 相似中的动点问题
方法技巧：此类题目需在点的运动中寻找相似三角形，通过列方程、分类讨论求解.
【母题练方法】4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．若△BMN与△ABC相似，求t的值为 　或　 ．
【思路点拔】根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值．
【解答】解：由题意知，BM＝3t cm，CN＝2t cm，
∴BN＝（8﹣2t）cm，，
当△BMN∽△BAC时，，
∴，
解得：；
当△BMN∽△BCA时，，
∴，
解得：，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
【子题练变式】5．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【思路点拔】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
6．等腰△ABC，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在
P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
③设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S（直接写出答案即可）
【思路点拔】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF＝150°，∠CPF+∠CFP＝150°，得出∠BPE＝∠CFP，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明，③小题求出△BPE中BE上的高，求出△PEF中EF上的高，得出关系式．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝150°，
又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝150°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：①结论：△BPE∽△CFP．
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝150°，
又∠EPF＝30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝150°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BPE∽△CFP
②结论：△BPE与△PFE相似．
理由：∵△BPE∽△CFP，
∴，而CP＝BP，因此，
又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP＝∠PEF．
分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM＝PN．
连AP，在Rt△ABP中，由∠B＝30°，AB＝4，可得AP＝2．
所以PM，所以PN，
所以SPN×EFm．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，角平分线的性质定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．