10.1.1 有限样本空间与随机事件
1.下列事件为随机事件的是（ ）
A.投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B.投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C.下周日下雨
D.在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾
2.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为（ ）
A.{10，11，…，99} B.{1，2，…，18}
C.{0，1，…，18} D.{1，2，…，10}
3.已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有（ ）
A.7个 B.8个
C.9个 D.10个
4.（2024·佛山月考）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结果为（ ）
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚为5或6点，第二枚为1点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为1点，第二枚为6点
5.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为（ ）
A.10 B.15
C.16 D.17
6.（多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中取出两个，下列事件是基本事件的是（ ）
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球标号都大于3
D.取出的两球标号的和为8
7.在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）.
8.从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先后），设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件A包含的样本点有 个.
9.笼子中有4只鸡和3只兔，依次随机抽取，每次只取一只，直到3只兔全部被取出.记录剩余动物的脚的只数，则该试验的样本空间为 .
10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男 A B C
女 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛.
（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M包含的样本点.
11.（2024·泉州月考）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为（ ）
A.36 B.30
C.25 D.19
12.（多选）先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一次，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（ ）
A.至少有一枚硬币正面向上
B.至多有一枚硬币正面向上
C.两枚硬币都正面向上
D.两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上
13.在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况.
（1）写出该试验的样本空间；
（2）用集合表示下列事件：
A＝“至少有两科成绩为优秀”；
B＝“三科成绩不都相同”.
14.班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽取a人打扫卫生.
（1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为 ；
（2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为 .
15.设有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票.设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达站点的集合，B表示乙可能到达站点的集合.
（1）写出该事件的样本空间Ω；
（2）写出事件A，事件B包含的样本点；
（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
10.1.1 有限样本空间与随机事件
1.C A、D中事件为必然事件；B中事件为不可能事件；C中事件为随机事件.
2.B
3.C 事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0.又集合A中有9个非零数，故选C.
4.C “X＞4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6点，第二枚为1点”.故选C.
5.C 为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.故选C.
6.ABC 取出的两球标号为3和7是基本事件，故选项A正确；取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故选项B正确；取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故选项C正确；取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确.故选A、B、C.
7.随机 解析：由于是任意取一球，所以是随机事件.
8.4 解析：由题意知，A＝{（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）}，共包含4个样本点.
9.{0，2，4，6，8} 解析：由题意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余鸡的只数最多为4，最少为0，所以剩余动物的脚的只数可能是8，6，4，2，0，故样本空间为{0，2，4，6，8}.
10.解：（1）样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），（B，Y），（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z）}.
（2）事件M包含的样本点为（A，Y），（A，Z），（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y）.
11.D 掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示：
方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点.
12.AB A中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”3个样本点，故A符合题意；B中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”“两个硬币均反面向上”3个样本点，故B符合题意；C中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C不符合题意；D中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”2个样本点，故D不符合题意.故选A、B.
13.解：分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样本点表示为（x1，x2，x3）.用1表示优秀，用0表示良好，则x1，x2，x3∈{0，1}.
（1）该试验的样本空间可表示为Ω＝{（x1，x2，x3）｜x1，x2，x3∈{0，1}}，用列举法表示为Ω＝{（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}.
（2）A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}；
B＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}.
14.（1）18＜a≤33，a∈N* （2）1≤a＜33，a∈N* 解析：（1）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*.
（2）班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*.
15.解：（1）Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.
（2）A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}.
（3）铁路局需要准备从S1站发车的车票9种，从S2站发车的车票8种，……，从S9站发车的车票1种，合计9＋8＋…＋2＋1＝45（种）.
2 / 210.1.1 有限样本空间与随机事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义 数学抽象
2.理解随机事件与样本点的关系 数学建模
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球.
【问题】 观察两个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种情况吗？
知识点一 随机试验及样本空间
1.随机试验的概念和特点
（1）随机试验：我们把对 的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表示.
（2）随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是 的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
【想一想】
随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？
2.样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 随机试验E的每个 的 称为样本点 用 表示样本点
样本空间 全体 的集合称为试验E的样本空间 用 表示样本空间
有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
提醒 对样本点和样本空间的再理解：①样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；②只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
知识点二 三种事件的定义
随机 事件 我们将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了 的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能 事件 空集 不包含 样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件
1.下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天.其中是随机事件的是（ ）
A.①② B.②③
C.①③ D.②
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
3.“袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色”这一试验的样本空间为 .
题型一 事件类型的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）三角形的两边之和大于第三边；
（2）没有空气和水，人类可以生存下去；
（3）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
（4）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.
通性通法
判断一个事件是哪类事件的方法
（1）看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
（2）看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
（2024·开封月考）从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
题型二 确定试验的样本点与样本空间
【例2】 写出下列试验的样本空间：
（1）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
通性通法
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
（1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
（2）树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举；
（3）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
【跟踪训练】
1.一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A.（男，女），（男，男），（女，女）
B.（男，女），（女，男）
C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D.（男，男），（女，女）
2.甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间.
题型三 随机事件的含义
【例3】 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义：
（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
通性通法
解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件的含义.
【跟踪训练】
在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
（1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，3），（6，3）}；
（2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）}；
（3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4）}.
1.以下事件中不是随机事件的是（ ）
A.在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，两次都出现反面
B.明天下雨
C.连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点
D.平面四边形的内角和是360°
2.（2024·青岛月考）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A.8 B.9
C.12 D.11
3.用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，黄）}，则事件A的含义是 .
4.从标有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字.
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）求这个试验的样本点的总数；
（3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
10.1.1 有限样本空间与随机事件
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）随机现象 E （2）①重复 ②明确可知
想一想
提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的.
2.可能 基本结果 ω 样本点 Ω
知识点二
子集 一个 所有 任何
自我诊断
1.B ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机事件.故选B.
2.D 将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{（1，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，因此至少有1件正品为必然事件.
3.{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}
解析：袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色，可能的组合有：（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝），故该试验的样本空间为{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件.
（2）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.
（3）任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件.
（4）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.
跟踪训练
C 因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这三个数的和大于10”是随机事件，故选C.
【例2】 解：（1）该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}.
（2）该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（3）列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表：
由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
跟踪训练
1.C 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故选C.
2.解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}.
【例3】 解：（1）事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
（2）事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
（3）事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.
跟踪训练
解：（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，
故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
（2）事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，
故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
（3）事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，
故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
随堂检测
1.D 因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，而其他三个都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选D.
2.D 从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点.
3.甲、乙两个小球所涂颜色相同
4.解：（1）这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.
（2）样本点的总数是10.
（3）“数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：（1，4），（2，3）.
3 / 4(共58张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的
含义 数学抽象
2.理解随机事件与样本点的关系 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同的小球标上号码，分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后放入摇奖器中经过充分搅拌后先后摇出两个小球.
【问题】 观察两个小球的号码，你知道这个试验的结果有几种
情况吗？
知识点一 随机试验及样本空间
1. 随机试验的概念和特点
（1）随机试验：我们把对 的实现和对它的观察称为
随机试验，简称试验，常用字母 表示.
（2）随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下 进行；
②试验的所有可能结果是 的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不
能确定出现哪一个结果.
随机现象
E
重复
明确可知
【想一想】
随机试验在相同条件下重复进行时所得结果一样吗？
提示：所得结果是随机的，但所有可能结果是一样的.
2. 样本点和样本空间
定义 字母表示
样本点 随机试验E的每个 的
称为样本点 用 表示样本点
样本空
间 全体 的集合称为试验E的
样本空间 用 表示样本空
间
有限样
本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，
ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，
ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，
ωn}
可能
基本
结果
ω
样本点
Ω
提醒 对样本点和样本空间的再理解：①样本点是指随机试验的每
个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；②只
讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
知识点二 三种事件的定义
随机 事件 我们将样本空间Ω的 称为随机事件，简称事件，并把
只包含 样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用
大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了 的样本点，在每次试验中
总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件 空集 不包含 样本点，在每次试验中都不会发生，我
们称 为不可能事件
子集
一个
所有
任何
1. 下列事件：①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角
形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天.其中是
随机事件的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②
解析： ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
是必然事件；②经过有信号灯的路口，可能遇上红灯也可能不遇上
红灯，是随机事件；③下周六可能是晴天也可能不是晴天，是随机
事件.故选B.
2. 从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事
件是（ ）
A. 3件都是正品 B. 至少有1件次品
C. 3件都是次品 D. 至少有1件正品
解析：将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{（1，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，因此至少有1件正品为必然
事件.
3. “袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜色”这
一试验的样本空间为 .
{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}
解析：袋子中有红、黄、蓝三个小球，从中取出两个球，观察颜
色，可能的组合有：（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝），故该
试验的样本空间为{（红，黄），（红，蓝），（黄，蓝）}.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件类型的判断
【例1】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
（1）三角形的两边之和大于第三边；
解：所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件.
（2）没有空气和水，人类可以生存下去；
解：空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无
法生存，所以是不可能事件.
（3）从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
解：任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所
以是随机事件.
（4）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会
出现.
解：由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出
现，所以是不可能事件.
通性通法
判断一个事件是哪类事件的方法
（1）看条件：因为三种事件都是相对于一定条件而言的；
（2）看结果是否发生：一定发生的是必然事件，不一定发生的是随
机事件，一定不发生的是不可能事件.
【跟踪训练】
（2024·开封月考）从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的
数，那么事件“这三个数的和大于10”是（ ）
A. 必然事件
B. 不可能事件
C. 随机事件
D. 以上选项均不正确
解析： 因为从1，2，3，…，10这10个数中任取3个不同的数，这3
个数的和可能小于10，可能等于10，也有可能大于10，所以事件“这
三个数的和大于10”是随机事件，故选C.
题型二 确定试验的样本点与样本空间
【例2】 写出下列试验的样本空间：
（1）同时抛掷三枚质地均匀的骰子，记录三枚骰子出现的点数之和；
解：该试验的样本空间Ω1＝{3，4，5，…，18}.
（2）从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两
件，观察取出产品的结果；
解：该试验所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（3）将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用（x，y）表示，其
中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点
数.用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
解：列出抛掷两次骰子出现点数和对应的表：
由表可知“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
通性通法
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
（1）列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举
出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏；
（2）树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分
步（两步及两步以上）完成的结果可以用树状图进行列举；
（3）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结
果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有
序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不
易遗漏.
【跟踪训练】
1. 一个家庭生两个小孩，所有的样本点有（ ）
A. （男，女），（男，男），（女，女）
B. （男，女），（女，男）
C. （男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D. （男，男），（女，女）
解析： 把第一个孩子的性别写在前面，第二个孩子的性别写在
后面，则所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），
（女，女），故选C.
2. 甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）.求该事件的样本空间.
解：样本空间Ω＝{（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，
布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，
锤子），（布，剪刀），（布，布）}.
题型三 随机事件的含义
【例3】 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，
B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标
为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义：
（1）M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，
B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
解：事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2
只鞋不成双”.
（2）N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
解：事件N的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取出
的2只鞋都是左脚的”.
（3）P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解：事件P的含义是“从3双不同的鞋中，随机抽取2只，取到
的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成双”.
通性通法
解答此类题目，要首先理解题意，清楚试验过程及样本空间，以
及事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定事件
的含义.
【跟踪训练】
在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点
数”中，指出下列随机事件的含义：
（1）事件A＝{（1，3），（2，3），（3，3），（4，3），（5，
3），（6，3）}；
解：事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知
第二个数为3的样本点都在事件A中，
故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的
点数为3.
（2）事件B＝{（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，
3）}；
解：事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中
两数和为6的样本点都在事件B中，
故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点
数之和为6.
（3）事件C＝{（1，3），（3，1），（4，2），（2，4），（3，
5），（5，3），（4，6），（6，4）}.
解：事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空
间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，
故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点
数之差的绝对值为2.
1. 以下事件中不是随机事件的是（ ）
A. 在相同的条件下投掷一枚均匀的硬币两次，两次都出现反面
B. 明天下雨
C. 连续两次抛掷同一枚骰子，两次都出现2点
D. 平面四边形的内角和是360°
解析： 因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实，
而其他三个都是随机出现的，所以选项D不符合题意，故选D.
2. （2024·青岛月考）集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中
各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A. 8 B. 9
C. 12 D. 11
解析： 从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，
42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点.
3. 用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球
只涂一种颜色，若事件A＝{（红，红），（黑，黑），（黄，
黄）}，则事件A的含义是 .
甲、乙两个小球所涂颜色相同
（1）写出这个试验的样本空间；
解：这个试验的样本空间Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.
4. 从标有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，观察取出的卡片上
的数字.
（2）求这个试验的样本点的总数；
解：样本点的总数是10.
（3）“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？
解： “数字之和为5”这一事件包含以下两个样本点：
（1，4），（2，3）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列事件为随机事件的是（ ）
A. 投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B. 投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C. 下周日下雨
D. 在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾
解析： A、D中事件为必然事件；B中事件为不可能事件；C中
事件为随机事件.
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2. 试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情
况”，则该试验的样本空间为（ ）
A. {10，11，…，99} B. {1，2，…，18}
C. {0，1，…，18} D. {1，2，…，10}
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3. 已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1，0，2，4，6，8}，从集
合A中任取两个不相同的数作为点P的坐标，则事件“点P落在x
轴上”包含的样本点共有（ ）
A. 7个 B. 8个
C. 9个 D. 10个
解析： 事件“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标
为0.又集合A中有9个非零数，故选C.
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4. （2024·佛山月考）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点
数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示试验的结
果为（ ）
A. 第一枚为5点，第二枚为1点
B. 第一枚为5或6点，第二枚为1点
C. 第一枚为6点，第二枚为1点
D. 第一枚为1点，第二枚为6点
解析： “X＞4”即“X＝5”表示的试验结果为“第一枚为6
点，第二枚为1点”.故选C.
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5. 一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一
个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k
的最小值为（ ）
A. 10 B. 15
C. 16 D. 17
解析： 为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，需满
足k－1≥7＋8，即k的最小值为16.故选C.
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6. （多选）袋中装有标号分别为1，3，5，7的四个相同的小球，从中
取出两个，下列事件是基本事件的是（ ）
A. 取出的两球标号为3和7
B. 取出的两球标号的和为4
C. 取出的两球标号都大于3
D. 取出的两球标号的和为8
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解析：取出的两球标号为3和7是基本事件，故选项A正确；取出的两球标号的和为4，指取出的两球标号为1和3，是基本事件，故选项B正确；取出的两球标号都大于3，指取出的两球标号为5和7，是基本事件，故选项C正确；取出的两球标号的和为8包括取出的两球标号为1和7、3和5，是两个样本点，故选项D不正确.故选A、B、C.
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7. 在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的
球是白球”为 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）.
随机
解析：由于是任意取一球，所以是随机事件.
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8. 从长度为2，4，5，7，9的五条线段中任取三条（抽取不分先
后），设事件A＝“取出的三条线段能构成一个三角形”，则事件
A包含的样本点有 个.
解析：由题意知，A＝{（2，4，5），（4，5，7），（4，7，
9），（5，7，9）}，共包含4个样本点.
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9. 笼子中有4只鸡和3只兔，依次随机抽取，每次只取一只，直到3只
兔全部被取出.记录剩余动物的脚的只数，则该试验的样本空间
为 .
解析：由题意知，最少取3次，最多取7次，那么剩余鸡的只数最多
为4，最少为0，所以剩余动物的脚的只数可能是8，6，4，2，0，
故样本空间为{0，2，4，6，8}.
{0，2，4，6，8}
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10. 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年
级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男 A B C
女 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛.
（1）用表中字母写出这个试验的样本空间；
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解：样本空间Ω＝{（A，B），（A，C），（A，X），（A，Y），（A，Z），（B，C），（B，X），
（B，Y），（B，Z），（C，X），（C，Y），（C，
Z），（X，Y），（X，Z），（Y，Z）}.
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1
名女同学”，求事件M包含的样本点.
解：事件M包含的样本点为（A，Y），（A，Z），
（B，X），（B，Z），（C，X），（C，Y）.
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11. （2024·泉州月考）将一枚骰子掷两次，若朝上的面先后出现的点
数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为
（ ）
A. 36 B. 30 C. 25 D. 19
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解析： 掷一枚骰子两次，向上的面出现的点数如表所示：
方程x2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件为b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个满足题意的样本点.
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12. （多选）先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一次，观察落
地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（ ）
A. 至少有一枚硬币正面向上
B. 至多有一枚硬币正面向上
C. 两枚硬币都正面向上
D. 两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上
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解析： A中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”3个样本点，故A符合题意；B中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”“两个硬币均反面向上”3个样本点，故B符合题意；C中包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”1个样本点，故C不符合题意；D中包括“一角硬币正面向上，五角硬币反面向上”“一角硬币反面向上，五角硬币正面向上”2个样本点，故D不符合题意.故选A、B.
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13. 在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是
优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文、数
学、英语这三科成绩的情况.
（1）写出该试验的样本空间；
（1）该试验的样本空间可表示为Ω＝{（x1，x2，x3）｜
x1，x2，x3∈{0，1}}，用列举法表示为Ω＝{（0，0，0），
（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），
（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}.
解：分别用x1，x2，x3表示语文、数学、英语的成绩，则样
本点表示为（x1，x2，x3）.用1表示优秀，用0表示良好，
则x1，x2，x3∈{0，1}.
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（2）用集合表示下列事件：
A＝“至少有两科成绩为优秀”；
B＝“三科成绩不都相同”.
解： A＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），
（1，1，1）}；
B＝{（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，
0），（1，0，1），（0，1，1）}.
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14. 班里有18个男生，15个女生，其中一名女生叫小丽，从中任意抽
取a人打扫卫生.
（1）若女生被抽到是必然事件，则a的取值范围为
；
解析：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*.
18＜
a≤33，a∈N*
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（2）若女生小丽被抽到是随机事件，则a的取值范围为
.
解析：班里有18个男生，15个女生，从中任意抽取a人打扫卫生，女生小丽被抽到是随机事件，所以1≤a＜33，a∈N*.
1≤a＜
33，a∈N*
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15. 设有一列单程北上的火车，已知停靠的站点由南至北分别为S1，
S2，…，S10，共十站.若甲在S3站买票，乙在S6站买票.设样本空
间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达站点的集
合，B表示乙可能到达站点的集合.
（1）写出该事件的样本空间Ω；
解：Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}.
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（2）写出事件A，事件B包含的样本点；
解：A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}.
（3）铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
解：铁路局需要准备从S1站发车的车票9种，从S2站发车的车票8种，……，从S9站发车的车票1种，合计9＋8＋…＋2＋1＝45（种）.
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谢 谢 观 看！
