10.2 事件的相互独立性
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
1.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则两粒种子都发芽的概率是（ ）
A.0.26 B.0.08
C.0.18 D.0.72
2.设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独立，则下列命题一定成立的是（ ）
A.A与B相互独立 B.A与C互斥
C.B与C互斥 D.与相互独立
3.下列各对事件中，是相互独立事件的为（ ）
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
4.（2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，则（ ）
A.P（）＝ B.P（A）＝
C.P（A＋B）＝ D.P（A＋B）＝
6.（多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为.则（ ）
A.甲、乙都研发成功的概率为
B.疫苗A研发成功的概率为
C.疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为
D.仅有一款疫苗研发成功的概率为
7.设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P（AB）＝ ，P（A∪B）＝ .
8.甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是 .
9.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：
购买A种医用外科口罩 购买B种医用外科口罩 购买C种医用外科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 .
10.甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
（1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
（2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
11.如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A.0.960 B.0.864
C.0.720 D.0.576
12.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为（ ）
A. B.
C. D.
13.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）＝ .
14.某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响.求：
（1）此人进入第四环节才被淘汰的概率；
（2）此人至多进入第三环节的概率.
15.甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B.
C. D.
16.某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
1.D 由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D.
2.D 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
3.B 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P（B），故事件A，B不相互独立.
4.D 由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－）×（1－）×（1－）＝××＝，所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为1－＝.
5.AC 根据事件A，B相互独立，且P（A）＝，P（B）＝，可得P（）＝1－P（A）＝1－＝，故A正确；而P（）＝1－P（B）＝1－＝，所以P（A）＝P（A）P（）＝×＝，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝＋－＝，故C正确；由概率加法公式可得P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝×＋×＝，故D错误.
6.ACD 用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A.根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝；B.由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（）＝；C.两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝；D.所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝.故选A、C、D.
7.0.56 0.94 解析：P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P（A∪B）＝1－P（）P（）＝1－0.3×0.2＝0.94.
8. 解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝×＝，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝.
9.0.28 解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.
10.解：（1）记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝，P（B）＝，
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，
那么恰好有1人命中的概率P＝P（A）＋P（B）＝×＋×＝.
（2）由（1）知，两人都没有命中的概率为P（）＝×＝，
所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（）＝.
11.B 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P（）P（）＝1－（1－0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.
12.C 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概率为××＝，仅甲和丙被录取的概率为××＝，仅乙和丙被录取的概率为××＝，则他们三人中恰有两人被录取的概率为＋＋＝.
13. 解析：由题意知，P（）·P（）＝，P（）·P（B）＝P（A）·P（）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，1），则即∴x2－2x＋1＝，解得x＝或x＝（舍去），故P（A）＝.
14.解：（1）由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为×××（1－）＝.
（2）法一 此人进入第一环节被淘汰的概率为1－＝；
此人进入第二环节被淘汰的概率为
×（1－）＝；
此人进入第三环节被淘汰的概率为
××（1－）＝，
所以此人至多进入第三环节的概率为
＋＋＝.
法二 此人进入第四环节的概率为××＝，所以此人至多进入第三环节的概率为1－＝.
15.D 由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局甲队获胜，此时的概率为；②第一局乙队获胜，第二局甲队获胜，此时的概率为×＝，综上所述，甲队获胜的概率为＋＝，故选D.
16.解：（1）设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝，P（A2）＝，P（B1）＝，P（B2）＝，
∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝×＝，P（B1B2）＝P（B1）P（B2）＝×＝，
∵＞，∴派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，
D＝“乙赢得比赛”，
∵P（）＝1－P（A1A2）＝1－＝，P（）＝1－P（B1B2）＝1－＝.
设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”.
∴P（E）＝1－P（）＝1－P（）P（）＝1－×＝.
2 / 210.2 事件的相互独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？
知识点 事件的相互独立性
1.相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
2.相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件与事件B ，事件与事件 .
提醒 两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
3.推广
两个事件的相互独立性可以推广到n（n＞2，n∈N*）个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独立是不等同的.
1.掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ ）
A.互斥但不相互独立
B.相互独立但不互斥
C.互斥且相互独立
D.既不相互独立也不互斥
2.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为（ ）
A.0.8 B.0.7
C.0.56 D.0.1
3.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，求这两个人中恰有一人获得一等奖的概率.
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （2024·威海月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利用P（AB）＝P（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立；
（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件.
【跟踪训练】
甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
题型二 相互独立事件的性质及应用
【例2】 （多选）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中正确的命题为（ ）
A.若P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则，为相互独立事件
B.若P（）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则M，N为相互独立事件
C.若P（M）＝，P（）＝，P（MN）＝，则，N为相互独立事件
D.若P（M）＝，P（N）＝，P（）＝，则M，N为相互独立事件
通性通法
相互独立事件的性质
（1）如果事件A和事件B相互独立，那么它们中的任何一个事件也相互独立，也就是说，如果事件A和事件B可以同时发生，但它们发生的概率互不影响，那么事件A和事件B相互独立；
（2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.
提醒 概率为0的事件与任何事件相互独立.
【跟踪训练】
（2024·青岛月考）对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A）＝（ ）
A.0.42 B.0.28
C.0.12 D.0.18
题型三 相互独立事件的概率
【例3】 （2024·阳江月考）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
（2）恰有一人能破译的概率；
（3）至多有一人能破译的概率.
通性通法
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
【跟踪训练】
1.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 .
1.若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（ ）
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.无法判断
2.（2024·莆田月考）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（ ）
A.0.3 B.0.63
C.0.7 D.0.9
3.某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .
4.一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.
（1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”；
（2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红球”，B＝“第二次抽到黄球”.
试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件.
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
【基础知识·重落实】
知识点
1.P（A）P（B）
2.相互独立 相互独立 相互独立
自我诊断
1.B 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝＝×，即P（AB）＝P（A）P（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2.C 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
3.解：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 B 事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝，事件丁发生的概率P（丁）＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
跟踪训练
A 同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
【例2】 ABD P（M）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知，为相互独立事件，故A正确；P（）＝，P（N）＝，P（MN）＝，则P（M）＝1－P（）＝，P（MN）＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；P（M）＝，P（）＝，P（MN）＝，则P（N）＝1－P（）＝，P（M）P（N）＝×＝≠P（MN），故由相互独立事件的性质知，N不相互独立，故C错误；P（M）＝，P（N）＝，P（）＝，则P（MN）＝1－P（）＝＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确，故选A、B、D.
跟踪训练
D 由相互独立事件的性质知A与也相互独立，所以P（A）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
【例3】 解：（1）由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，
两人能否破译密码相互独立，
所以两人都能破译的概率为×＝.
（2）恰有一人能破译的概率为×（ 1－）＋（ 1－）×＝.
（3）事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为对立事件，
所以至多有一人能破译的概率为1－×＝1－＝.
跟踪训练
1.C 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P（M）＝＝，P（N）＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）P（N）＝×＝.
2. 解析：加工出来的零件的正品率是（1－）×（1－）×（1－）＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.
随堂检测
1.B 因为P（）＝，所以P（A）＝，又P（B）＝，所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B.
2.B 设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3. 解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝P（B）＝，所以淋雨的可能性为P（A）P（）＝×＝.
4.解：（1）有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否发生没有影响，它们是相互独立事件.
（2）无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，2，3，则样本空间
Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2）}，共包含6个样本点，
A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}.
因为P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，
所以P（AB）≠P（A）P（B），
所以事件A，B不是相互独立事件.
2 / 3(共34张PPT)
10.2 事件的相互独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率 数学运算
第1课时 事件的相互独立性及相互独立事件的概率
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一
名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？
知识点 事件的相互独立性
1. 相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝ 成
立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
P（A）P（B）
2. 相互独立事件的性质
当事件A，B相互独立时，事件A与事件 ，事件
与事件B ，事件 与事件 .
提醒 两个事件独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不
可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一
事件发生的概率没有影响.
相互独立
相互独立
相互独立
3. 推广
两个事件的相互独立性可以推广到n（n＞2，n∈N*）个事件的相
互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时
发生的概率P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.
提醒 当三个事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）＝P
（A）P（B）P（C）一般不成立，事件相互独立与事件两两独
立是不等同的.
1. 掷一枚正方体骰子一次，设事件A＝“出现偶数点”，事件B＝
“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是（ ）
A. 互斥但不相互独立 B. 相互独立但不互斥
C. 互斥且相互独立 D. 既不相互独立也不互斥
解析： 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，
样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.所以P（A）＝ ＝ ，P（B）
＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ × ，即P（AB）＝P（A）P
（B），因此事件A与B相互独立.当“出现6点”时，事件A，B
同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2. 甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确
率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概
率为（ ）
A. 0.8 B. 0.7
C. 0.56 D. 0.1
解析： 由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报
中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.
3. 甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能
荣获一等奖的概率分别为 和 ，甲、乙两人是否获得一等奖相互
独立，求这两个人中恰有一人获得一等奖的概率.
解：根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有
获得乙获得，则所求概率是 × ＋ × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的判断
【例1】 （2024·威海月考）有6个相同的球，分别标有数字1，2，
3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数
字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件
“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
解析： 事件甲发生的概率P（甲）＝ ，事件乙发生的概率P
（乙）＝ ，事件丙发生的概率P（丙）＝ ，事件丁发生的概率
P（丁）＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P
（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为
＝ ，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙
同时发生的概率为 ＝ ，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C
错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）定量法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率
与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.即利
用P（AB）＝P（A）·P（B）是否成立可以准确地判断两个
事件是否相互独立；
（2）定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否
有影响，若没有影响就是相互独立事件.
【跟踪训练】
甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A为“甲击中目标”，
事件B为“乙击中目标”，则事件A与事件B（ ）
A. 相互独立但不互斥 B. 互斥但不相互独立
C. 相互独立且互斥 D. 既不相互独立也不互斥
解析： 同时对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不
影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手
可能同时击中目标，即事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不
是互斥事件.故选A.
题型二 相互独立事件的性质及应用
【例2】 （多选）设M，N为两个随机事件，给出以下命题，其中
正确的命题为（ ）
A. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则 ， 为相互
独立事件
B. 若P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则M，N为相互
独立事件
C. 若P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则 ，N为相互
独立事件
D. 若P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（ ）＝ ，则M，N为相互
独立事件
解析： P（M）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（MN）＝P（M）P（N），故由相互独立事件的性质知 ， 为相互独立事件，故A正确；P（ ）＝ ，P（N）＝ ，P（MN）＝ ，则P（M）＝1－P（ ）＝ ，P（MN）＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故B正确；
P（M）＝ ，P（ ）＝ ，P（MN）＝ ，则P（N）＝1－P
（ ）＝ ，P（M）P（N）＝ × ＝ ≠P（MN），故由相互独
立事件的性质知 ，N不相互独立，故C错误；P（M）＝ ，P（N）
＝ ，P（ ）＝ ，则P（MN）＝1－P（ ）＝ ＝P（M）·P（N），故M，N为相互独立事件，故D正确，故选A、B、D.
通性通法
相互独立事件的性质
（1）如果事件A和事件B相互独立，那么它们中的任何一个事件也相
互独立，也就是说，如果事件A和事件B可以同时发生，但它们
发生的概率互不影响，那么事件A和事件B相互独立；
（2）如果有n个事件相互独立，那么将其中任意一个事件换成它们的
对立事件，所得的n个事件仍相互独立.
提醒 概率为0的事件与任何事件相互独立.
【跟踪训练】
（2024·青岛月考）对于两个相互独立的事件A与B，若P（A）＝
0.3，P（B）＝0.4，则P（A ）＝（ ）
A. 0.42 B. 0.28
C. 0.12 D. 0.18
解析： 由相互独立事件的性质知A与 也相互独立，所以P
（A ）＝P（A）[1－P（B）]＝0.18.
题型三 相互独立事件的概率
【例3】 （2024·阳江月考）甲、乙两人破译一密码，他们能破译的
概率分别为 和 ，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以
下事件发生的概率：
（1）两人都能破译的概率；
解：由题意，甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别
为 和 ，
两人能否破译密码相互独立，
所以两人都能破译的概率为 × ＝ .
（2）恰有一人能破译的概率；
解：恰有一人能破译的概率为 ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝
.
（3）至多有一人能破译的概率.
解：事件“至多有一人能破译”与事件“两人都能破译”互为
对立事件，
所以至多有一人能破译的概率为1－ × ＝1－ ＝ .
通性通法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率公式计算时，要掌握公式的适用
条件，即各个事件是相互独立的.
【跟踪训练】
1. 甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，
其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成
A型螺栓的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从
乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独
立，P（M）＝ ＝ ，P（N）＝ ＝ ，则从甲、乙两盒中
各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P（MN）＝P（M）
P（N）＝ × ＝ .
2. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分
别为 ， ， ，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次
品率为 .
解析：加工出来的零件的正品率是（1－ ）×（1－ ）×（1－
）＝ ，因此加工出来的零件的次品率为1－ ＝ .
1. 若P（AB）＝ ，P（ ）＝ ，P（B）＝ ，则事件A与B的关
系是（ ）
A. 互斥 B. 相互独立
C. 互为对立 D. 无法判断
解析： 因为P（ ）＝ ，所以P（A）＝ ，又P（B）＝ ，
所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝ ，所以有P
（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互
斥.故选B.
2. （2024·莆田月考）甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为
0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都
击中的概率是（ ）
A. 0.3 B. 0.63
C. 0.7 D. 0.9
解析： 设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则P（AB）＝P
（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故选B.
3. 某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是
等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，
他们就不会淋雨.则他们淋雨的概率是 .
解析：由题意，A表示下雨，B表示准时收到帐篷，且P（A）＝
P（B）＝ ，所以淋雨的可能性为P（A）P（ ）＝ × ＝ .
4. 一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3
个球.
（1）从口袋内有放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红
球”，B＝“第二次抽到黄球”；
解：有放回地抽取小球，事件A是否发生对事件B是否
发生没有影响，它们是相互独立事件.
解：无放回地抽取小球，记红、黄、蓝球的号码分别为1，
2，3，则样本空间
Ω＝{（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，
1），（3，2）}，共包含6个样本点，
A＝{（1，2），（1，3）}，B＝{（1，2），（3，2）}.
因为P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ，
所以P（AB）≠P（A）P（ B ），
所以事件A，B不是相互独立事件.
（2）从口袋内无放回地抽取2个球，记事件A＝“第一次抽到红
球”，B＝“第二次抽到黄球”.
试分别判断（1）（2）中的事件A，B是否为相互独立事件.
谢 谢 观 看！
