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拓 视 野 互斥与独立事件关系的判断
1. 互斥事件与独立事件的区别与联系
从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相
容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比
如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影
响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容.
2. 互斥事件与独立事件的运算性质
已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有
事件 表示 概率（A，B互
斥） 概率（A，B相
互独立）
A，B中至少有
一个发生 P（A∪B） P（A）＋P
（B） 1－P（ ）P
（ ）或P
（A）＋P
（B）－P
（AB）
A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P
（B）
事件 表示 概率（A，B互
斥） 概率（A，B相
互独立）
A，B都不发生 P（ ） 1－[P（A）＋
P（B）] P（ ）P
（ ）
A，B恰有一个
发生 P（A ∪ B） P（A）＋P
（B） P（A）P
（ ）＋P
（ ）P（B）
A，B中至多有
一个发生 P（ ∪A
∪ B） 1 1－P（A）P
（B）
【例1】 （2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答
比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环
保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两
个家庭都回答错误的概率是 ，乙、丙两个家庭都回答正确的概
率是 .若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道
题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P
（A）＝ ，且有
即
所以P（B）＝ ，P（C）＝ .
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题
的概率.
解：有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（ ）＝P（ ）
P（ ）P（ ）＝ × × ＝ ，
有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A ＋ B ＋ C）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1
＝1－ － ＝ .
【例2】 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响
第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时
被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
解：设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），
那么事件Ak彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）
＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
解：事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，
记为 ，
根据对立事件的概率公式，得P（ ）＝1－P（A）＝1－0.95
＝0.05.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一
粒，则两粒种子都发芽的概率是（ ）
A. 0.26 B. 0.08
C. 0.18 D. 0.72
解析： 由题设，P＝0.8×0.9＝0.72.故选D.
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2. 设A，B，C为三个随机事件，其中A与B互斥，B与C相互独
立，则下列命题一定成立的是（ ）
A. A与B相互独立 B. A与C互斥
C. B与C互斥 D. 与 相互独立
解析： 注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别，前者指
的是不可能同时发生的事件，后者指的是在两个事件中，一个事件
是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.因为B与C相互独
立，由两事件相互独立的性质易知D正确.
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3. 下列各对事件中，是相互独立事件的为（ ）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没有射中目标”
D. 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中
目标但乙未射中目标”
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解析： 在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个
事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在B中，
甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的
概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一
次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同
时发生，二者是互斥事件，不相互独立；在D中，设“至少有1人
射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，
则AB＝B，因此当P（A）≠1时，P（AB）≠P（A）P
（B），故事件A，B不相互独立.
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4. （2024·徐州月考）端午节是我国传统节日，甲、乙、丙3人端午节
来徐州旅游的概率分别是 ， ， ，假定3人的行动相互之间没有
影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率为（1－ ）
×（1－ ）×（1－ ）＝ × × ＝ ，所以这段时间内至少有1
人来徐州旅游的概率为1－ ＝ .
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5. （多选）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）＝
，则（ ）
A. P（ ）＝ B. P（A ）＝
C. P（A＋B）＝ D. P（A ＋ B）＝
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解析： 根据事件A，B相互独立，且P（A）＝ ，P（B）
＝ ，可得P（ ）＝1－P（A）＝1－ ＝ ，故A正确；而P
（ ）＝1－P（B）＝1－ ＝ ，所以P（A ）＝P（A）P
（ ）＝ × ＝ ，故B错误；P（AB）＝P（A）P（B）＝
× ＝ ，所以P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝
＋ － ＝ ，故C正确；由概率加法公式可得P（A ＋ B）＝P
（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ ，故D错误.
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6. （多选）甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为 ，乙
成功的概率为 ，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为 .则
（ ）
A. 甲、乙都研发成功的概率为
B. 疫苗A研发成功的概率为
C. 疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为
D. 仅有一款疫苗研发成功的概率为
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解析： 用A，B，C分别表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，则：A. 根据概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝ ；B. 由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率P1＝1－P（ ）＝ ；C. 两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为P2＝P1·P（C）＝ ；D. 所求概率为P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝ .故选A、C、D.
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7. 设P（A）＝0.7，P（B）＝0.8，且A与B相互独立，则P
（AB）＝ ，P（A∪B）＝ .
解析：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.8＝0.56.P
（A∪B）＝1－P（ ）P（ ）＝1－0.3×0.2＝0.94.
0.56
0.94
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8. 甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都
是 ，则这道数学题被解出的概率是 .
解析：由题意知，这道数学题解不出的概率为P＝ ×
＝ ，∴这道数学题被解出的概率为1－P＝ .
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9. 甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售
A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口
罩的概率分别如表：
购买A种医用外
科口罩 购买B种医用外
科口罩 购买C种医用外
科口罩
甲 0.1 0.4
乙 0.3 0.2
则甲、乙购买同一种医用外科口罩的概率为 .
解析：由表知，甲购买A种口罩的概率为0.5，乙购买B种口罩的
概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋
0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28.
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10. 甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为 ，
乙投篮命中的概率为 ，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相
互没有影响.
（1）求甲、乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
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解：记“甲投篮命中”为事件A，“乙投篮命中”为事件B， 则P（A）＝ ，P（B）＝ ，
因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B相互独立，
那么恰好有1人命中的概率P＝P（A ）＋P（ B）＝ × ＋ × ＝ .
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（2）求甲、乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
解：由（1）知，两人都没有命中的概率为P（ ）
＝ × ＝ ，
所以至少有1人命中的概率为P1＝1－P（ ）＝ .
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11. 如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工
作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K，A1，
A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率
为（ ）
A. 0.960 B. 0.864
C. 0.720 D. 0.576
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解析： 根据题意，记K，A1，A2正常工作分别为事件A，B，
C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.8，A1，A2
至少有一个正常工作的概率为1－P（ ）P（ ）＝1－（1－
0.8）×（1－0.8）＝0.96，则系统正常工作的概率为0.9×0.96
＝0.864.故选B.
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12. 已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概
率分别是 ， ， ，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们
三人中恰有两人被录取的概率为（ ）
A. B. C. D.
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解析： 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是 ，
， ，且三人录取结果相互之间没有影响，仅甲和乙被录取的概
率为 × × ＝ ，仅甲和丙被录取的概率为 ×
× ＝ ，仅乙和丙被录取的概率为 × × ＝ ，则他
们三人中恰有两人被录取的概率为 ＋ ＋ ＝ .
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13. 设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为 ，A发生B不发生
的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P
（A）＝ .
解析：由题意知，P（ ）·P（ ）＝ ，P（ ）·P（B）＝P
（A）·P（ ）.设P（A）＝x，P（B）＝y，x，y∈（0，
1），则即∴x2－
2x＋1＝ ，解得x＝ 或x＝ （舍去），故P（A）＝ .
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14. 某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环
节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是 ，
， ， ，且每个环节是否通过互不影响.求：
（1）此人进入第四环节才被淘汰的概率；
解：由独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四
环节才被淘汰的概率为 × × ×（1－ ）＝ .
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（2）此人至多进入第三环节的概率.
解：法一 此人进入第一环节被淘汰的概率为1－ ＝ ；
此人进入第二环节被淘汰的概率为
×（1－ ）＝ ；
此人进入第三环节被淘汰的概率为
× ×（1－ ）＝ ，
所以此人至多进入第三环节的概率为 ＋ ＋ ＝ .
法二 此人进入第四环节的概率为 × × ＝ ，所以此人至多进入第三环节的概率为1－ ＝ .
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15. 甲、乙两队进行羽毛球决赛，甲队只要再胜一局就获得冠军，乙
队需要再胜两局才能获得冠军，若每局甲队获胜的概率为 ，则
甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由已知得甲队获胜可能分为以下两种情况：①第一局
甲队获胜，此时的概率为 ；②第一局乙队获胜，第二局甲队获
胜，此时的概率为 × ＝ ，综上所述，甲队获胜的概率
为 ＋ ＝ ，故选D.
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16. 某学校组织安全知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须
参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知
在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ；在第二轮
比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛
中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概
率更大？
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解：设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则A1A2＝“甲赢得比赛”，B1B2＝“乙赢得比赛”，∵P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（B1）＝ ，P（B2）＝ ，∴P（A1A2）＝P（A1）P（A2）＝ × ＝ ，P（B1B2）
＝P（B1）P（B2）＝ × ＝ ，∵ ＞ ，∴派甲参赛获胜的概率更大.
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（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
解：由（1）知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙赢得比赛”，
∵P（ ）＝1－P（A1A2）＝1－ ＝ ，P（ ）＝1－P（B1B2）＝1－ ＝ .
设E＝“两人中至少有一人赢得比赛”.
∴P（E）＝1－P（ ）＝1－P（ ）P（ ）＝1－ × ＝ .
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谢 谢 观 看！互斥与独立事件关系的判断
1.互斥事件与独立事件的区别与联系
从互斥事件和独立事件的概念我们可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同时发生的事件，交集为空，但会产生相互影响（比如A发生，B就一定不发生了）；独立事件A和B的发生互不影响，可能会同时发生.简单的说就是互斥必相互影响，独立必相容.
2.互斥事件与独立事件的运算性质
已知事件A，B发生的概率分别为P（A），P（B），则有
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）
A，B中至少有一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（）或P（A）＋P（B）－P（AB）
A，B都发生 P（AB） 0 P（A）P（B）
A，B都不发生 P（） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（）
A，B恰有一个发生 P（A∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋P（）P（B）
A，B中至多有一个发生 P（∪A∪B） 1 1－P（A）P（B）
【例1】 （2024·南阳月考）某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
【例2】 某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
拓视野 互斥与独立事件关系的判断
【例1】 解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，
则P（A）＝，且有
即
所以P（B）＝，P（C）＝.
（2）有0个家庭回答正确的概率为P0＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为P1＝P（A＋B＋C）＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－－＝.
【例2】 解：（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），
那么事件Ak彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）
＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A的对立事件，记为，
根据对立事件的概率公式，得P（）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.
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