10.3 频率与概率
1.下列说法中正确的有（ ）
A.任何事件发生的概率总是在（0，1）之间
B.概率是随机的，在试验前不能确定
C.频率是客观存在的，与试验次数无关
D.频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
2.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示“投进球”这一事件，则事件A发生的（ ）
A.概率为
B.频率为
C.频率为8
D.概率接近0.8
3.在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如下表：
最高水位范围（米） ＜10 [10，12） [12，14） [14，16） ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的频率是（ ）
A.0.28 B.0.38
C.0.66 D.0.76
4.（2024·泰安月考）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟的方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.5
5.（多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次朝上的点数都是6，则下列说法正确的是（ ）
A.朝上的点数是6的概率和频率均为1
B.若抛掷10 000次，则朝上的点数是6的概率约为
C.抛掷第11次，朝上的点数一定不是6
D.抛掷6 000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000次
6.（多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
7.在用随机数（整数）模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，被抽选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是 .
8.某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为 .
9.一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗.
10.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000根，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [700， 900） [900， 1 100） [1 100， 1 300） [1 300， 1 500） [1 500， 1 700） [1 700， 1 900） [1 900， 2 100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（1）将各组的频率填入表中；
（2）用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管的使用寿命不足1 500 h的概率.
11.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
12.（多选）（2024·绍兴月考）某评分网站将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，依此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的分值作为最终评分.某影片的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（ ）
A.m的值是32.0%
B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（1）摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请 位好友参与“好友助力”活动.
14.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案？为什么？
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
15.独立地重复一个随机试验n（n∈N，n≥1）次，设随机事件A发生的频率为f（n），随机事件A发生的概率为P，有如下两个判断：①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元素，则P＝1；②集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，其中（ ）
A.①正确，②正确 B.①错误，②正确
C.①正确，②错误 D.①错误，②错误
16.（2024·广州月考）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
10.3 频率与概率
1.D 概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，故B、C错误；D显然正确.
2.B 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为＝.
3.D 由表格得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋0.38＝0.76.
4.A 由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有569，989，共2个，估计“3例心脏手术全部成功”的概率为＝0.2.
5.BD 对A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，故A错误；对B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，故B正确；对C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，所以抛掷第11次，朝上点数可能是6，也可能不是6，故C错误；对D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为，抛掷6 000次，频率接近，频数大约为1 000次，故D正确.
6.ACD A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；B项，P（点数之和大于7）＝＝，P（点数之和小于等于7）＝＝；C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝.故选A、C、D.
7.选出的4人中有1个男生、3个女生
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中有1个男生、3个女生.
8.74% 解析：该同学这两场投篮的命中率为＝74%.
9.300 解析：设白色围棋子的数目为n，则由已知可得＝，解得n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗.
10.解：（1）填表如下：
分组 [700，900） [900，1 100） [1 100，1 300） [1 300，1 500）
频数 48 121 208 223
频率 0.048 0.121 0.208 0.223
分组 [1 500，1 700） [1 700，1 900） [1 900，2 100]
频数 193 165 42
频率 0.193 0.165 0.042
（2）样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1 500 h 的频率是＝0.6，即估计该种型号灯管的使用寿命不足1 500 h的概率为0.6.
11.D 由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合，故B错误；一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确.故选D.
12.ACD 对于A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%＋32.9%＋m＋8.7%＝97.6%，所以m＝32.0%，故A正确；对于B选项，随机抽取100名观众，可能有100×24.0%＝24（人）评价五星，但不是一定的，故B错误；对于C选项，由A选项知，评价是三星或五星的概率约为32.0%＋24.0%＝56.0%，故C正确；对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.
13.15 解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且＝14.2，所以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动.
14.解：（1）如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为＝0.5；
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，“是4的整数倍数”的概率为＝0.2；
方案C中“是大于4的数”的概率为＝0.6，“不是大于4的数”的概率为＝0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B，猜“不是4的整数倍数”.
（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
（3）可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性.
15.B ①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元素，而试验的频率只有一个值，事件A为必然事件或不可能事件，P＝0或P＝1，故①错误；②频率随着试验次数的变化而变化，则集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，故②正确.
16.解：（1）设A表示事件“赔付金额为3 000元”，
B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P（A）＝＝0.15，
P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3 000元和4 000元，
所以其概率约为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆）.
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
3 / 310.3 频率与概率
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率 数学抽象、数据分析
2.了解随机数的意义，会用模拟法估计概率，理解用模拟法估计概率的实质 数学建模
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是一样的，都是.很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近，我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将固定在处，即正面和反面出现的概率都为.
【问题】 你认为频率与概率之间有什么关系？
知识点一 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有 .一般地，随着试验次数n的 ，频率偏离概率的幅度会 ，即事件A发生的 会逐渐稳定于事件A发生的 .我们称频率的这个性质为频率的 .因此，我们可以用频率fn（A）估计 .
【想一想】
频率和概率可以相等吗？
知识点二 随机模拟
1.产生随机数的方法
（1）利用计算器或计算机软件产生随机数；
（2）构建模拟试验产生随机数.
2.蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
提醒 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（ ）
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
2.从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A.0.53 B.0.51
C.0.49 D.0.47
3.（2024·宁德月考）某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有 套次品.
题型一 用频率估计概率
【例1】 某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
通性通法
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.
2.解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.
【跟踪训练】
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各组优等品频率，填入上表；
（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
题型二 游戏的公平性
【例2】 （2024·汕头月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由.
通性通法
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.
【跟踪训练】
某校高一年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？
题型三 用随机模拟估计概率
【例3】 （1）通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，那么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 ；
（2）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此估计恰好在第3次停止摸球的概率.
通性通法
1.利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题；
（2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题.
2.利用随机模拟试验估计概率的两个关注点
（1）当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点；
（2）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【跟踪训练】
（2024·安阳月考）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989.据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A.0.40 B.0.30
C.0.25 D.0.20
1.在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P（A）与的关系是（ ）
A.P（A）≈ B.P（A）＜
C.P（A）＞ D.P（A）＝
2.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（ ）
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
3.在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A.0.56，0.56 B.0.56，0.5
C.0.5，0.5 D.0.5，0.56
4.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了 次试验.
10.3 频率与概率
【基础知识·重落实】
知识点一
随机性 增大 缩小 频率fn（A） 概率P（A） 稳定性 概率P（A）
想一想
提示：可以相等.但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
自我诊断
1.D “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨的可能性为90%”.故选D.
2.B 由题意知，取到号码为奇数的频率为＝0.51，故选B.
3.50 解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
跟踪训练
解：（1）根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
（2）由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
【例2】 解：（1）记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，
则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为＝.
（2）不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，
故甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，故不公平.
跟踪训练
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，
（2）班代表获胜的概率P2＝＝，
即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的.
【例3】 （1） 解析：表示三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组，而随机数总共20组，所以所求的概率约为＝.
（2）解：在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，234，214，442，共4组，则估计恰好在第3次停止摸球的概率为P＝＝.
跟踪训练
D 由题意知，在20组随机数中恰有两天下雨的可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数，∴所求概率为＝0.20，故选D.
随堂检测
1.A 在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于P（A），所以可以用近似的代替P（A），即P（A）≈，故选A.
2.B 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.
3.B 某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为＝0.56；由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故出现正面朝上的概率为0.5.
4.500 解析：设进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验.
4 / 4(共64张PPT)
10.3 频率与概率
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，会用频率估计概率 数学抽象、数据
分析
2.了解随机数的意义，会用模拟法估计概率，理
解用模拟法估计概率的实质 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
投掷一枚质地均匀，形状规范的硬币，正面和反面出现的概率是
一样的，都是 .很多人会问，为什么正面和反面出现的概率是一样
的？显然，硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有
更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的，这称为古典概型
的对称性，体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球，谁选场地.为
了解释这个现象，在历史上，有很多人对这个问题进行过验证，从结
果可以看出，随着次数的不断增加，正面出现的频率越来越接近 ，
我们也有理由相信，随着次数的继续增加，正面和反面出现的频率将
固定在 处，即正面和反面出现的概率都为 .
【问题】 你认为频率与概率之间有什么关系？
知识点一 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生
的频率具有 .一般地，随着试验次数n的 ，频率偏
离概率的幅度会 ，即事件A发生的 会逐渐
稳定于事件A发生的 .我们称频率的这个性质为频率
的 .因此，我们可以用频率fn（A）估计 .
随机性
增大
缩小
频率fn（A）
概率P（A）
稳定性
概率P（A）
频率和概率可以相等吗？
提示：可以相等.但因为每次试验的频率为多少是不固定的，而概率
是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的.
【想一想】
知识点二 随机模拟
1. 产生随机数的方法
（1）利用计算器或计算机软件产生随机数；
（2）构建模拟试验产生随机数.
2. 蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
提醒 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，
用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思
想是用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
1. 气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是
（ ）
A. 本市明天将有90%的地区降雨
B. 本市明天将有90%的时间降雨
C. 明天出行不带雨具肯定会淋雨
D. 明天出行不带雨具可能会淋雨
解析： “本市明天降雨的概率是90%”也即为“本市明天降雨
的可能性为90%”.故选D.
2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100
次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到的次数 11 10 5 8 5 12 19 10 11 9
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A. 0.53 B. 0.51
C. 0.49 D. 0.47
解析： 由题意知，取到号码为奇数的频率为 ＝
0.51，故选B.
3. （2024·宁德月考）某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人
员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有
2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有 套次品.
解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知 ＝ ，解得n
＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用频率估计概率
【例1】 某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
解：表中从左到右依次填入的数据为0.80，0.95，0.88，
0.92，0.89，0.91.
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击
中靶心的概率约是0.9.
通性通法
1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.频率本身是随
机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定
值就是概率.
2. 解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用
频率估计概率.
【跟踪训练】
下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
（1）计算各组优等品频率，填入上表；
解：根据优等品频率＝ ，可得优等品的频率从左到右
依次为：0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.
（2）根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解：由（1）可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附
近，故估计“抽取的是优等品”的概率是0.95.
题型二 游戏的公平性
【例2】 （2024·汕头月考）有两个不透明的箱子，每个箱子都装有
4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4.
（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个
球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平
局），求甲获胜的概率；
解：记甲、乙摸出的数字为（x，y），则共有16种情况，
则x＞y的有（4，1），（4，2），（4，3），（3，2），
（3，1），（2，1），共6种情况，故甲获胜的概率为 ＝ .
（2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同
甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明
理由.
解：不公平.理由如下：摸到的球上所标数字相同的情况有
（4，4），（3，3），（2，2），（1，1），共4种情况，
故甲获胜的概率为 ＝ ，乙获胜的概率为 ＝ ，故不公平.
通性通法
游戏公平性的标准及判断方法
（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或
概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的；
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行
比较.
【跟踪训练】
某校高一年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛
热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始
时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一
个节目.（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7
的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一
个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数
时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜.
该方案对双方是否公平？为什么？
解：该方案是公平的，理由如下：
各种情况如下表所示：
和 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数
的有6种，为奇数的也有6种，
所以（1）班代表获胜的概率P1＝ ＝ ，
（2）班代表获胜的概率P2＝ ＝ ，
即P1＝P2，机会是均等的，
所以该方案对双方是公平的.
题型三 用随机模拟估计概率
【例3】 （1）通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884
2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725
6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰有三次击中目标，那
么四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 ；
解析：表示三次击中目标的随机数分别是3013，2604，5725，6576，
6754，共5组，而随机数总共20组，所以所求的概率约为 ＝ .
（2）在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小
球，分别标有数字1，2，3，4.现有放回地每次从中任意取出一
个小球，若标有偶数的球都取到过，则停止摸球.小明用随机模
拟的方法估计恰好在第3次停止摸球的概率，利用计算机软件产
生1～4之间（包括1和4）取整数值的随机数，每1组中有3个数
字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随
机数：
131 432 123 233 234 122 332 141 312
241 122 214 431 241 141 433 223 442
由此估计恰好在第3次停止摸球的概率.
解：在18组随机数中，表示恰好在第3次停止摸球的是432，
234，214，442，共4组，则估计恰好在第3次停止摸球的概率为
P＝ ＝ .
通性通法
1. 利用随机模拟试验估计概率可适用的事件类型特点
（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题；
（2）对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重
复、不遗漏的概率问题，或对于基本事件的等可能性难以验
证的概率问题.
2. 利用随机模拟试验估计概率的两个关注点
（1）当试验的样本点等可能时，样本点总数即为产生随机数的范
围，每个随机数代表一个样本点；
（2）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为
一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【跟踪训练】
（2024·安阳月考）天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均
为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先
由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下
雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机
数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989.据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A. 0.40 B. 0.30
C. 0.25 D. 0.20
解析： 由题意知，在20组随机数中恰有两天下雨的可以通过列
举得到：271 932 812 393 共4组随机数，∴所求概率为 ＝
0.20，故选D.
1. 在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很大时，事
件A发生的概率P（A）与 的关系是（ ）
A. P（A）≈ B. P（A）＜
C. P（A）＞ D. P（A）＝
解析： 在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为 ，当n很
大时， 越来越接近于P（A），所以可以用 近似的代替P
（A），即P（A）≈ ，故选A.
2. 用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（ ）
A. 产生的随机数的大小 B. 产生的随机数的个数
C. 随机数对应的结果 D. 产生随机数的方法
解析： 随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.
3. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000
次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和
概率分别为（ ）
A. 0.56，0.56 B. 0.56，0.5
C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.56
解析： 某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验，发现正
面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率为 ＝0.56；由
于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是0.5，故
出现正面朝上的概率为0.5.
4. 已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进
行了 次试验.
解析：设进行了n次试验，则有 ＝0.02，得n＝500，故进行了
500次试验.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法中正确的有（ ）
A. 任何事件发生的概率总是在（0，1）之间
B. 概率是随机的，在试验前不能确定
C. 频率是客观存在的，与试验次数无关
D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
解析： 概率的取值范围为[0，1]，故A错误；频率是不能脱离
试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理
论值，故B、C错误；D显然正确.
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2. 某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次.若用A表示
“投进球”这一事件，则事件A发生的（ ）
A. 概率为 B. 频率为
C. 频率为8 D. 概率接近0.8
解析： 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事
件A发生的频数为8，所以事件A发生的频率为 ＝ .
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3. 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的频率如
下表：
最高水位范围（米） ＜10 [10，12） [12，14） [14，16） ≥16
频率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
若当最高水位低于14米时为“安全水位”，则出现“安全水位”的
频率是（ ）
A. 0.28 B. 0.38
C. 0.66 D. 0.76
解析： 由表格得，出现“安全水位”的频率是0.1＋0.28＋
0.38＝0.76.
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4. （2024·泰安月考）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟
的方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计
算机产生0～9之间的整数随机数，由于成功率是0.6，我们用0，
1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以
每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10
组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，
907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A. 0.2 B. 0.3
C. 0.4 D. 0.5
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解析： 由题意，10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，表示“3例心脏手术全部成功”的有569，989，共2个，估计“3例心脏手术全部成功”的概率为 ＝0.2.
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5. （多选）小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次
朝上的点数都是6，则下列说法正确的是（ ）
A. 朝上的点数是6的概率和频率均为1
B. 若抛掷10 000次，则朝上的点数是6的概率约为
C. 抛掷第11次，朝上的点数一定不是6
D. 抛掷6 000次，朝上的点数为6的次数大约为1 000次
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解析： 对A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点
数是6的概率为 ，故A错误；对B，因为频率随着实验的次数的
不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的
值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率
为 ，故B正确；对C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上
的点数是6的概率为 ，所以抛掷第11次，朝上点数可能是6，也
可能不是6，故C错误；对D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为 ，抛掷6 000次，频率接近 ，频数大约为1 000次，故D正确.
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6. （多选）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙
胜
B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，
是黑色则乙胜
D. 甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
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解析： A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝ ；B
项，P（点数之和大于7）＝ ＝ ，P（点数之和小于等于7）＝
＝ ；C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝ ；D项，P
（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝ .故选A、C、D.
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7. 在用随机数（整数）模拟“有4个男生和5个女生，从中抽选4个，
被抽选的4个中有2个男生、2个女生”的概率时，可让计算机产生
1～9的随机整数，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因为是选
出4个，所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为
“4678”，则它代表的含义是 .
解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示选出的4人中
有1个男生、3个女生.
选出的4人中有1个男生、3个女生
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8. 某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为
80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命
中率为 .
解析：该同学这两场投篮的命中率为 ＝74%.
74%
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9. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明
将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得
其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目
为 颗.
解析：设白色围棋子的数目为n，则由已知可得 ＝ ，解得
n＝300，即白色围棋子的数目大约有300颗.
300
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10. 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000根，该公司对这些
灯管的使用寿命（单位：h）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [700，
900） [900，
1 100） [1
100，1
300） [1
300，1
500） [1
500，1
700） [1
700，1
900） [1
900，2
100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
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（1）将各组的频率填入表中；
解：填表如下：
分组 [700，
900） [900，
1 100） [1
100，1
300） [1
300，1
500） [1
500，1
700） [1
700，1
900） [1
900，2
100]
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
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（2）用频率估计概率，根据上述统计结果，估计该种型号的灯管
的使用寿命不足1 500 h的概率.
解：样本中使用寿命不足1 500 h的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿命不足1 500 h 的频率是 ＝0.6，即估计该种型号灯管的使用寿命不足1 500 h的概率为0.6.
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11. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的
频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
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解析： 由折线图可知，频率在0.3到0.4之间.抛一枚硬币，出
现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；掷一个正六面体的
骰子，出现3点朝上的概率为 ，不符合，故B错误；一副去掉大
小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
，不符合，故C错误；从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任
取一球，取到的是黑球的概率为 ，在0.3到0.4之间，符合题
意，故D正确.故选D.
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12. （多选）（2024·绍兴月考）某评分网站将用户评价的一到五星转
化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，依此类推），
以得分总和除以评分的用户人数所得的分值作为最终评分.某影片
的评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于
二星，则下列说法正确的是（ ）
A. m的值是32.0%
B. 随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星
C. 随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56
D. 若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五
星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件
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解析： 对于A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%＋32.9%＋m＋8.7%＝97.6%，所以m＝32.0%，故A正确；对于B选项，随机抽取100名观众，可能有100×24.0%＝24（人）评价五星，但不是一定的，故B错误；对于C选项，由A选项知，评价是三星或五星的概率约为32.0%＋24.0%＝56.0%，故C正确；对于D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.
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13. 某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约
一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如
下：（1）摇号的初始中签率为0.19；（2）当中签率不超过1时，
可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与
“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，
则至少需要邀请 位好友参与“好友助力”活动.
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解析：因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，
需要增加的中签率大于0.9－0.19＝0.71，因为每邀请到一位好友
参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，且 ＝14.2，所
以至少需要邀请15位好友参与“好友助力”活动.
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14. 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转
盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如
下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出
的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲
获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
A. 猜“是奇数”或“是偶数”；
B. 猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”；
C. 猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
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（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案，并
且怎样猜？为什么？
解：如题图，方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为 ＝0.5；
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为 ＝0.8，“是4的
整数倍数”的概率为 ＝0.2；
方案C中“是大于4的数”的概率为 ＝0.6，“不是大于4
的数”的概率为 ＝0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案B，
猜“不是4的整数倍数”.
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（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案？
为什么？
解：为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
解：可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平性.
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15. 独立地重复一个随机试验n（n∈N，n≥1）次，设随机事件A发
生的频率为f（n），随机事件A发生的概率为P，有如下两个判
断：①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元素，则
P＝1；②集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，
其中（ ）
A. ①正确，②正确 B. ①错误，②正确
C. ①正确，②错误 D. ①错误，②错误
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解析： ①如果集合{f（n）｜n∈N，n≥1}中只含有一个元
素，而试验的频率只有一个值，事件A为必然事件或不可能事
件，P＝0或P＝1，故①错误；②频率随着试验次数的变化而变
化，则集合{f（n）｜n∈N，n≥1}不可能只含有两个元素，故
②正确.
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16. （2024·广州月考）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车
辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数 500 130 100 150 120
（1）若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保
金额的概率；
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解：设A表示事件“赔付金额为3 000元”，
B表示事件“赔付金额为4 000元”，
以频率估计概率得P（A）＝ ＝0.15，
P（B）＝ ＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是3
000元和4 000元，
所以其概率约为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
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（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投
保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率.
解：设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆）.
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为 ＝
0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
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