一、随机事件的概率
通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解概率的意义及频率与概率的区别.
【例1】 随机抽取一个年份，对某市4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
（1）在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；
（2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
反思感悟
1.频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2.概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率.
【跟踪训练】
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大（只需写出结论）？
二、古典概型
古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P（A）＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
【例2】 （1）（2023·全国乙卷9题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. B.
C. D.
反思感悟
在古典概型中，计算概率的关键是准确找出样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.
【跟踪训练】
在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A. B.
C. D.
三、互斥事件、对立事件与相互独立事件
1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
2.若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与，与B，与也相互独立.
【例3】 （多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A.事件A1，A2互斥
B.事件B与事件A1相互独立
C.P（A1B）＝
D.P（B）＝
反思感悟
事件间关系的判断方法
（1）判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系；
（2）对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断；
（3）判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P（AB）与P（A）P（B）是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立.
【跟踪训练】
1.一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A.E与F不是互斥事件
B.F与G是对立事件
C.E与F是相互独立事件
D.F与G是相互独立事件
2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为 .
四、相互独立事件概率的计算
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相应的公式计算求解.
【例4】 我国的乒乓球运动领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.
（1）求这场选拔赛三局结束的概率；
（2）若第一局比赛乙队获胜，求这场选拔赛五局结束的概率.
反思感悟
求相互独立事件概率的步骤
（1）标记事件；
（2）判断事件的独立性；
（3）分清所涉及的事件及事件状态（互斥还是对立）；
（4）套用公式.
【跟踪训练】
甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）两人都射中的概率；
（2）两人中恰有一人射中的概率；
（3）两人中至少有一人射中的概率.
章末复习与总结
【例1】 解：（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任取一天，该市不下雨的概率约为P＝＝.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为.
跟踪训练
解：（1）由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
（2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
【例2】 （1）A （2）D 解析：（1）因为共有6个主题，甲、乙两位同学各抽取1个主题，结果有36种，其中抽到的主题相同的结果有6种，所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为1－＝.故选A.
（2）记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.
跟踪训练
B 因为区间的长度为，区间的长度为，所以在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率P＝÷＝.故选B.
【例3】 ACD 根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（B）＝＝，P（A1B）＝＝，故C正确，D正确；因为P（A1B）＝，P（A1）P（B）＝×＝，则P（A1B）≠P（A1）P（B），事件B与事件A1不独立，故B错误.
跟踪训练
1.A 因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确；由F∩G＝ ，即F与G互斥，但F∪G≠Ω，即F与G不是对立事件，B错误；由P（E）＝，P（F）＝，P（EF）＝≠P（E）·P（F），故E与F不是相互独立事件，C错误；由P（F）＝，P（G）＝，P（FG）＝0≠P（F）·P（G），所以F与G不是相互独立事件，D错误.故选A.
2.0.96 解析：记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，事件A，B，C彼此互斥且A与B＋C是对立事件，所以P（A）＝1－P（B＋C）＝1－P（B）－P（C）＝1－0.03－0.01＝0.96.
【例4】 解：（1）设“第i局甲胜”为事件Ai，“第j局乙胜”为事件Bj（i，j＝1，2，3，4，5），
记M1＝“三局结束比赛”，则M1＝A1A2A3＋B1B2B3，
∴P（M1）＝P（A1A2A3）＋P（B1B2B3）＝P（A1）·P（A2）P（A3）＋P（B1）P（B2）P（B3）
＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4
＝0.28.
（2）记M2＝“五局结束比赛”，则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋B2A3A4，
∴P（M2）＝P（A2A3B4）＋P（A2B3A4）＋P（B2A3A4）
＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6
＝0.432.
跟踪训练
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的.
（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72.
（2）两人中恰有一人射中的概率为P（A）＋P（B）＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26.
（3）两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有射中的概率，
∴所求的概率等于1－P（）＝1－P（）·P（）＝1－0.2×0.1＝0.98.
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章末复习与总结
一、随机事件的概率
通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解
概率的意义及频率与概率的区别.
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
【例1】 随机抽取一个年份，对某市4月份的天气情况进行统计，结
果如下：
（1）在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；
解：在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概
率，在4月份任取一天，该市不下雨的概率约为P＝ ＝ .
（2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，
估计运动会期间不下雨的概率.
解：称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日
与3日等），这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有
16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的
频率为 ，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为 .
反思感悟
1. 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接
近概率.
2. 概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试
验次数无关，可以用频率估计概率.
【跟踪训练】
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类
型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部
数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评
的第四类电影的概率；
解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋
800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为 ＝0.025.
（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
解：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋
50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝372.
故所求概率估计为1－ ＝0.814.
（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类
型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数
据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评
率减少0.1，可以使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总
部数的比值达到最大（只需写出结论）？
解：增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
二、古典概型
古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解
题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在
应用公式P（A）＝ 时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出
试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数k.
【例2】 （1）（2023·全国乙卷9题）某学校举办作文比赛，共6个
主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位
参赛同学抽到不同主题的概率为（ A ）
A. B.
C. D.
解析：因为共有6个主题，甲、乙两位同学各抽取1个主题，结果有36
种，其中抽到的主题相同的结果有6种，所以甲、乙两位同学抽到不
同主题的概率为1－ ＝ .故选A.
A
（2）（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二
年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名
学生来自不同年级的概率为（ D ）
A. B.
C. D.
D
解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分
别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基
本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），
（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年
级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），
（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝
＝ ，故选D.
反思感悟
在古典概型中，计算概率的关键是准确找出样本点的数目，这就
需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多
试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列
出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.
【跟踪训练】
在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为区间 的长度为 ，区间 的长度为 ，所
以在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率P＝ ÷ ＝
.故选B.
三、互斥事件、对立事件与相互独立事件
1. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事
件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定
是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件
的特殊情况.
2. 若事件A，B满足P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相
互独立，且当A与B相互独立时，A与 ， 与B， 与 也相互
独立.
【例3】 （多选）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、
1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表
示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个
球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的
是（ ）
A. 事件A1，A2互斥
B. 事件B与事件A1相互独立
C. P（A1B）＝
D. P（B）＝
解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，
所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，P（A1B）＝ ＝ ，故C正确，D正确；因为P（A1B）＝ ，P（A1）P（B）＝ × ＝ ，则P（A1B）≠P（A1）P（B），事件B与事件A1不独立，故B错误.
反思感悟
事件间关系的判断方法
（1）判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事
件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系；
（2）对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是
对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事
件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事
件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与
否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断；
（3）判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P
（AB）与P（A）P（B）是否相等，若相等，则A，B相互独
立，否则不相互独立.
【跟踪训练】
1. 一个质地均匀的正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，
拋掷这个正方体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空
间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，
3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A. E与F不是互斥事件
B. F与G是对立事件
C. E与F是相互独立事件
D. F与G是相互独立事件
解析： 因为E∩F＝{1}，所以E与F不是互斥事件，A正确；
由F∩G＝ ，即F与G互斥，但F∪G≠Ω，即F与G不是对立事
件，B错误；由P（E）＝ ，P（F）＝ ，P（EF）＝ ≠P
（E）·P（F），故E与F不是相互独立事件，C错误；由P（F）
＝ ，P（G）＝ ，P（FG）＝0≠P（F）·P（G），所以F与
G不是相互独立事件，D错误.故选A.
2. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出
现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查
一件，抽得正品的概率为 .
解析：记事件A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，事件
A，B，C彼此互斥且A与B＋C是对立事件，所以P（A）＝1－
P（B＋C）＝1－P（B）－P（C）＝1－0.03－0.01＝0.96.
0.96
四、相互独立事件概率的计算
相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问
题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率
值，解题时先要判断事件的性质（是互斥还是相互独立），再选择相
应的公式计算求解.
【例4】 我国的乒乓球运动领先世界水平，被国人称为“国球”，
在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜
三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率
为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.
（1）求这场选拔赛三局结束的概率；
解：设“第i局甲胜”为事件Ai，“第j局乙胜”为事件Bj（i，
j＝1，2，3，4，5），
记M1＝“三局结束比赛”，则M1＝A1A2A3＋B1B2B3，
∴P（M1）＝P（A1A2A3）＋P（B1B2B3）＝P（A1）·P
（A2）P（A3）＋P（B1）P（B2）P（B3）
＝0.6×0.6×0.6＋0.4×0.4×0.4
＝0.28.
（2）若第一局比赛乙队获胜，求这场选拔赛五局结束的概率.
解：记M2＝“五局结束比赛”，则M2＝A2A3B4＋A2B3A4＋
B2A3A4，
∴P（M2）＝P（A2A3B4）＋P（A2B3A4）＋P（B2A3A4）
＝0.6×0.6×0.4＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.432.
反思感悟
求相互独立事件概率的步骤
（1）标记事件；
（2）判断事件的独立性；
（3）分清所涉及的事件及事件状态（互斥还是对立）；
（4）套用公式.
【跟踪训练】
甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为
0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）两人都射中的概率；
解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，
击中目标”为事件B. 事件A与B是相互独立的.
两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝
0.72.
（2）两人中恰有一人射中的概率；
解：两人中恰有一人射中的概率为P（A ）＋P（ B）＝
0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26.
（3）两人中至少有一人射中的概率.
解：两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有射中
的概率，
∴所求的概率等于1－P（ ）＝1－P（ ）·P（ ）＝1－
0.2×0.1＝0.98.
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