模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
2.如图，向量＝a，＝b，＝c，则向量可以表示为（ ）
A.a＋b－c B.a－b＋c
C.b－a＋c D.b－a－c
3.某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例如图所示，现从中按分层随机抽样抽取25人进行优质课展示，则应抽取高中部男教师的人数为（ ）
A.3 B.6
C.7 D.9
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为（ ）
A. B.
C. D.－
5.如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（ ）
A.28 mm B.28.5 mm
C.29 mm D.29.5 mm
7.某校为普及足球运动知识，组织了有关知识的多项选择题测试.规定全部选对得10分，部分选对的得2分，有错选得0分，根据以往做题经验，多项选择题正确选项有两项的概率为，正确选项有三项的概率为，正确选项有四项的概率为0.若某同学对某一道多选题随机选出一项，则该同学得2分的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8.《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为V≈L2h，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A.15 B.3 C. D.8
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列关于复数x＋i的说法一定正确的是（ ）
A.是虚数
B.存在x使得x＋i是纯虚数
C.存在x使得x＋i小于0
D.实部和虚部均为1
10.某地遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5 000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐，如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况.以下描述正确的是（ ）
A.这8个月销量的极差为4 132
B.这8个月销量的中位数为2 499
C.这8个月中2月份的销量最低
D.这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（ ）
A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔使用，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
13.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为 .
14.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知向量a与b的夹角为θ＝，且｜a｜＝3，｜b｜＝2.
（1）若ka＋2b与3a＋4b共线，求k；
（2）求a·b，｜a＋b｜.
16.（本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）.
（1）证明：2a2＝b2＋c2；
（2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长.
17.（本小题满分15分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径为2，AB∥CD，AB＝2CD，点P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，如图②所示，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，连接PC，PD.
（1）求三棱锥P-ACD体积的最大值；
（2）当PC∥平面QBD时，求的值.
18.（本小题满分17分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如下表：
A类轿车 B类轿车 C类轿车
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.
（1）求z的值；
（2）在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
19.（本小题满分17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f（x＋yi）＝x1＋y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）.例如f（z）＝将点（0，1）“f对应”到点（0，－1）.
（1）若f（z）＝z＋1（z∈C）将点P1（1，1）“f对应”到点Q1，将点P2“f对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标；
（2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx＋t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由；
（3）设常数a，b∈R，集合D＝{z｜z∈C且Rez＞0}（Rez表示复数z的实部）和A＝{ω｜ω∈C且｜ω｜＜1}，若f（z）＝满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素ω，都存在集合D中的元素z使得ω＝f（z）.请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件.
模块综合检测
1.A 2.C 3.B 4.C
5.B 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三角形上的数字之和恰为26－20＝6.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，其中“两个数字之和为6”的样本点有2个，则所求概率为＝.
6.C 棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为（0.01＋0.01＋0.04＋0.06）×5＝0.6＝60%，在30 mm以下的比例为60%＋25%＝85%，因此，80%分位数一定位于[25，30）内，因为25＋5×＝29，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29 mm.故选C.
7.C 若答案是两个选项，所有的可能情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种情况，此时该同学随机选出一项，得2分的概率为＝；若答案是三个选项，所有的可能情况有ABC，ACD，ABD，BCD，共有4种情况，此时该同学随机选出一项，得2分的概率为；所以该同学得2分的概率为P＝×＋×＝，故选C.
8.D 因为V＝πr2h，L＝2πr，所以V＝π（ ）2h＝L2h.又因为V≈L2h，即L2h≈L2h，所以π≈.设圆锥母线长为l，底面半径为r，则侧面积为×l＝，解得l＝4.因为圆锥底面的周长2πr＝，所以r＝.又π≈，所以r≈3.设截面的顶角为θ，当截面为轴截面时，cos θ＝＝－＜0，即截面顶角的最大值θmax为钝角，所以θ∈（0，θmax].又截面面积为l2sin θ＝8sin θ，所以当θ＝时截面面积最大，为8.故选D.
9.BC 由复数x＋i，当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故A不正确；当x＝0时，x＋i＝i，故B正确；取x＝－2－i，可知C正确；由于x的取值未知，故D错误；故选B、C.
10.ACD 对于A，这8个月销量的极差为4 844－712＝4 132，故A正确；对于B，这8个月的销量从小到大依次为712，1 433，1 533，1 952，2 822，3 046，4 532，4 844，所以这8个月销量的中位数是＝2 387，故B不正确；对于C，由题图可知，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，由题图可知，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，增加了4 532－2 822＝1 710，故D正确.
11.ABC 如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝，PM＝，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，易证BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选A、B、C.
12. 解析：第一次取出的笔是黑色笔的概率是，第二次取出的笔是黑色笔的概率也是，且两次取笔的结果相互独立，故两次使用的都是黑色笔的概率为×＝.
13. 解析：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，则球的半径R＝1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝πR3＝.
14. 解析：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝.在△BCD中，∠BCD＝60°＋45°＝105°，sin∠BCD＝sin（60°＋45°）＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，所以BD＝CD·＝·＝a.在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝a2＋（a）2－2·a·a·＝a2，所以AB＝.
15.解：（1）若ka＋2b与3a＋4b共线，则存在实数λ，使得ka＋2b＝λ（3a＋4b），
即（k－3λ）a＋（2－4λ）b＝0，又因为向量a与b不共线，
所以解得所以k＝.
（2）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝3×2×＝－6，
｜a＋b｜＝＝＝.
16.解：（1）证明：因为sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A），
所以sin Csin Acos B－sin Csin Bcos A＝sin Bsin Ccos A－sin Bsin Acos C，
所以ac·－2bc·＝－ab·，
即－（b2＋c2－a2）＝－，
所以2a2＝b2＋c2.
（2）因为a＝5，cos A＝，
由（1）得b2＋c2＝50，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
则50－bc＝25，
所以bc＝，
故（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，
所以b＋c＝9.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
17.解：（1）当PO⊥AB时，三棱锥P-ACD体积最大，由PO 平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，知PO⊥平面ABCD，此时，点P到平面ABCD的距离最大，为PO＝2，
所以VP-ACD的最大值为×S△ACD×PO＝××2××2＝.
（2）如图，连接BD，交AC于点M，连接QM，
则平面PAC∩平面QBD＝QM，
依题意，PC∥平面QBD，PC 平面PAC，所以PC∥QM，所以＝，在等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，则＝，所以＝＝＝.
18.解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆.
由题意得＝，解得n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
（2）设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车.
由题意得＝，则a＝2.
因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，从5辆轿车中任取2辆，则样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}.
设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，则E＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，
故P（E）＝，即所求概率为.
（3）总体平均数＝×（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.0.
设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，则样本空间包含8个样本点，事件D包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，
所以P（D）＝＝，即所求概率为.
19.解：（1）由P1（1，1）知z＝1＋i，则f（z）＝z＋1＝2＋i，故Q1（2，1）；
设P2（x，y），则f（z）＝z＋1＝（x＋1）＋yi，
由Q2（1，1）知x＋1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2（0，1）.
（2）∵直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1），
∴z＝x＋yi，f（z）＝z2＝（x2－y2）＋2xyi，且y＝kx＋t，
∴x2－y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2－y2，2xy），
由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上，则2xy＝k（x2－y2）＋t，又y＝kx＋t，
则2x（kx＋t）＝k[x2－（kx＋t）2]＋t，
展开整理得（k3＋k）x2＋（2t＋2k2t）x＋kt2－t＝0，
则解得k＝t＝0，
∴所求的有序实数对（k，t）为（0，0）.
（3）满足条件的一个有序实数对为（－1，1），即a＝－1，b＝1，f（z）＝，证明如下：
设z＝x＋yi，x，y∈R，x＞0，则f（z）＝＝，｜f（z）｜＝＝＝，
∵（－x＋1）2＋y2－[（x＋1）2＋y2]＝－4x＜0，
∴（－x＋1）2＋y2＜（x＋1）2＋y2，
｜f（z）｜＝＜1，即f（z）∈A，满足条件①；
设ω＝m＋ni，m，n∈R，且｜ω｜＜1，即＜1，得m2＋n2＜1，
由ω＝f（z）得ω＝，
则z＝＝－1＋＝－1＋＝－1＋
＝－1＋－
＝－，
则Rez＝＞0，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为（－1，1）.
4 / 4(共46张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若复数z满足z（2－i）＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（ ）
A. 3＋5i B. 3－5i
C. －3＋5i D. －3－5i
解析： 由z（2－i）＝11＋7i得，z＝ ＝ ＝
＝3＋5i.
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2. 如图，向量 ＝a， ＝b， ＝c，则向量 可以表示为
（ ）
A. a＋b－c
B. a－b＋c
C. b－a＋c
D. b－a－c
解析： 依题意 ＝ － ＝ ＋ － ，即 ＝b－
a＋c，故选C.
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3. 某中学高中部共有80名教师，初中部共有120名教师，其性别比例
如图所示，现从中按分层随机抽样抽取25人进行优质课展示，则应
抽取高中部男教师的人数为（ ）
A. 3 B. 6
C. 7 D. 9
解析： 依题意，高中部、初中部教师人数比为 ＝ ，按分层
随机抽样抽取的25人中，高中部的教师人数为25× ＝10，所以应
抽取高中部男教师的人数为10×60%＝6.故选B.
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4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝
2c2，则 cos C的最小值为（ ）
A. B.
C. D. －
解析： 由余弦定理，得 cos C＝ ＝ ≥ ，当且
仅当a＝b时取“＝”.
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5. 如图所示的三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为
26，则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之
和为20，现从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个
三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意可知，若该图形为“和谐图形”，则另外两个三
角形上的数字之和恰为26－20＝6.从1，2，3，4，5中任取两个不
同的数字的样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，
5），共10个，其中“两个数字之和为6”的样本点有2个，则所求
概率为 ＝ .
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6. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤
维的长度（单位：mm），所得数据都在区间[5，40]中，其频率
分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位
数是（ ）
A. 28 mm B. 28.5 mm
C. 29 mm D. 29.5 mm
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解析： 棉花纤维的长度在25 mm以下的比例为（0.01＋0.01＋
0.04＋0.06）×5＝0.6＝60%，在30 mm以下的比例为60%＋25%
＝85%，因此，80%分位数一定位于[25，30）内，因为25＋
5× ＝29，所以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位
数是29 mm.故选C.
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7. 某校为普及足球运动知识，组织了有关知识的多项选择题测试.规
定全部选对得10分，部分选对的得2分，有错选得0分，根据以往做
题经验，多项选择题正确选项有两项的概率为 ，正确选项有三项
的概率为 ，正确选项有四项的概率为0.若某同学对某一道多选题
随机选出一项，则该同学得2分的概率为（ ）
A. B.
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解析： 若答案是两个选项，所有的可能情况有AB，AC，AD，
BC，BD，CD，共有6种情况，此时该同学随机选出一项，得2分
的概率为 ＝ ；若答案是三个选项，所有的可能情况有ABC，
ACD，ABD，BCD，共有4种情况，此时该同学随机选出一项，得
2分的概率为 ；所以该同学得2分的概率为P＝ × ＋ × ＝ ，
故选C.
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8. 《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，是我国现存最早的有系统
的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘
也，叉以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面
周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h.它实际上是将圆
锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为 ，侧
面面积为 ，其体积的近似公式为V≈ L2h，用此π的近似取值
（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A. 15 B. 3
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解析： 因为V＝ πr2h，L＝2πr，所以V＝ π（ ）2h＝
L2h.又因为V≈ L2h，即 L2h≈ L2h，所以π≈ .设圆锥母
线长为l，底面半径为r，则侧面积为 × l＝ ，解得l＝4.因
为圆锥底面的周长2πr＝ ，所以r＝ .又π≈ ，所以r≈3.设截
面的顶角为θ，当截面为轴截面时， cos θ＝ ＝－ ＜0，
即截面顶角的最大值θmax为钝角，所以θ∈（0，θmax].又截面面积
为 l2 sin θ＝8 sin θ，所以当θ＝ 时截面面积最大，为8.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于复数x＋i的说法一定正确的是（ ）
A. 是虚数
B. 存在x使得x＋i是纯虚数
C. 存在x使得x＋i小于0
D. 实部和虚部均为1
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解析： 由复数x＋i，当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故A不正
确；当x＝0时，x＋i＝i，故B正确；取x＝－2－i，可知C正确；
由于x的取值未知，故D错误；故选B、C.
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10. 某地遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐赠5
000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐，如图为
该品牌服饰某分店1～8月的销量（单位：件）情况.以下描述正确
的是（ ）
A. 这8个月销量的极差为4 132
B. 这8个月销量的中位数为2 499
C. 这8个月中2月份的销量最低
D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份
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解析： 对于A，这8个月销量的极差为4 844－712＝4 132，故A正确；对于B，这8个月的销量从小到大依次为712，1 433，1 533，1 952，2 822，3 046，4 532，4 844，所以这8个月销量的中位数是 ＝2 387，故B不正确；对于C，由题图可知，这8个月中2月份的销量最低，故C正确；对于D，由题图可知，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，增加了4 532－2 822＝1 710，故D正确.
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11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝
60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列
说法正确的是（ ）
A. 在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB
B. 异面直线AD与PB所成的角为90°
C. 二面角P-BC-A的大小为45°
D. BD⊥平面PAC
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解析： 如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM. ∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD. 又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM.
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又PM∩BM＝M，PM，BM 平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确.对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确.对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角.设AB＝1，则BM＝ ，PM＝ ，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝ ＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P-BC-A的大小为45°，故C正确.对于D，易证BD与PA
不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选A、B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出
一支笔使用，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支
笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .
解析：第一次取出的笔是黑色笔的概率是 ，第二次取出的笔是
黑色笔的概率也是 ，且两次取笔的结果相互独立，故两次使用
的都是黑色笔的概率为 × ＝ .
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13. 已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球
面上，则该球的体积为 .
解析：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ，∴正四棱柱体
对角线的长为 ＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面
上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，则球的半径R＝
1，根据球的体积公式，得此球的体积V＝ πR3＝ .
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14. 在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为
的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且
∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.
如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为 .
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解析：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又∠ACD＝
60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝ .在△BCD
中，∠BCD＝60°＋45°＝105°， sin ∠BCD＝ sin （60°＋
45°）＝ sin 60° cos 45°＋ cos 60° sin 45°＝ ，∠DBC
＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得 ＝ ，
所以BD＝CD· ＝ · ＝ a.在△ADB中，由余
弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝ a2＋（
a）2－2· a· a· ＝ a2，所以AB＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知向量a与b的夹角为θ＝ ，且｜a｜＝
3，｜b｜＝2 .
（1）若ka＋2b与3a＋4b共线，求k；
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解：若ka＋2b与3a＋4b共线，则存在实数λ，使得
ka＋2b＝λ（3a＋4b），
即（k－3λ）a＋（2－4λ）b＝0，又因为向量a与b不共线，
所以解得所以k＝ .
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（2）求a·b，｜a＋b｜.
解：a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝3×2 × ＝－6，
｜a＋b｜＝ ＝ ＝ .
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解：证明：因为 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A），
所以 sin C sin A cos B－ sin C sin B cos A＝ sin B sin C cos A－
sin B sin A cos C，
所以ac· －2bc· ＝－ab· ，
即 －（b2＋c2－a2）＝－ ，
所以2a2＝b2＋c2.
16. （本小题满分15分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知 sin C sin （A－B）＝ sin B sin （C－A）.
（1）证明：2a2＝b2＋c2；
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（2）若a＝5， cos A＝ ，求△ABC的周长.
解：因为a＝5， cos A＝ ，
由（1）得b2＋c2＝50，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
则50－ bc＝25，
所以bc＝ ，
故（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，
所以b＋c＝9.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
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17. （本小题满分15分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆半径
为2，AB∥CD，AB＝2CD，点P是上半圆上的动点（不包含
A，B两点），点Q是线段PA上的动点，如图②所示，将半圆
APB所在的平面沿直径AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，连
接PC，PD.
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解：当PO⊥AB时，三棱锥P-ACD体积最大，由PO 平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，知PO⊥平面ABCD，此时，点P到平面ABCD的距离最大，为PO＝2，
（1）求三棱锥P-ACD体积的最大值；
所以VP-ACD的最大值为 ×S△ACD×PO＝ × ×2× ×2＝ .
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（2）当PC∥平面QBD时，求 的值.
解：如图，连接BD，交AC于点M，
连接QM，
则平面PAC∩平面QBD＝QM，
依题意，PC∥平面QBD，PC 平面PAC，所以
PC∥QM，所以 ＝ ，在等腰梯形ABCD中，
△MAB∽△MCD，则 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ .
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18. （本小题满分17分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿
车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如
下表：
A类轿车 B类轿车 C类轿车
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其
中有A类轿车10辆.
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（1）求z的值；
解：设该厂这个月共生产轿车n辆.
由题意得 ＝ ，解得n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
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（2）在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5
辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
解：设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车.
由题意得 ＝ ，则a＝2.
因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型
轿车.
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用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标
准型轿车，从5辆轿车中任取2辆，则样本空间Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}.
设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，则E＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，
故P（E）＝ ，即所求概率为 .
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（3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
解：总体平均数 ＝ ×（9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2）＝9.0.
设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差
的绝对值不超过0.5”，则样本空间包含8个样本点，事件D
包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，
所以P（D）＝ ＝ ，即所求概率为 .
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19. （本小题满分17分）设f（z）是一个关于复数z的表达式，若f
（x＋yi）＝x1＋y1i（其中x，y，x1，y1∈R，i为虚数单位），
就称f将点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）.例如f（z）
＝ 将点（0，1）“f对应”到点（0，－1）.
（1）若f（z）＝z＋1（z∈C）将点P1（1，1）“f对应”到点Q1，将点P2“f对应”到点Q2（1，1），求点Q1、P2的坐标；
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解：由P1（1，1）知z＝1＋i，则f（z）＝z＋1＝2＋i，故Q1（2，1）；
设P2（x，y），则f（z）＝z＋1＝（x＋1）＋yi，
由Q2（1，1）知x＋1＝1，y＝1，则x＝0，y＝1，即P2（0，1）.
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（2）设常数k，t∈R，若直线l：y＝kx＋t，f（z）＝z2（z∈C），是否存在一个有序实数对（k，t），使得直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点Q（x1，y1）后，点Q仍在直线l上？若存在，试求出所有的有序实数对（k，t）；若不存在，请说明理由；
解：∵直线l上的任意一点P（x，y）“f对应”到点
Q（x1，y1），
∴z＝x＋yi，f（z）＝z2＝（x2－y2）＋2xyi，且y＝kx＋t，
∴x2－y2＝x1，2xy＝y1，即Q（x2－y2，2xy），
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由题意，点Q（x1，y1）仍在直线l上，则2xy＝k（x2－y2）＋t，又y＝kx＋t，
则2x（kx＋t）＝k[x2－（kx＋t）2]＋t，
展开整理得（k3＋k）x2＋（2t＋2k2t）x＋kt2－t＝0，
则解得k＝t＝0，
∴所求的有序实数对（k，t）为（0，0）.
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（3）设常数a，b∈R，集合D＝{z｜z∈C且Rez＞0}（Rez表示复数z的实部）和A＝{ω｜ω∈C且｜ω｜＜1}，若f（z）＝ 满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有f（z）∈A；②对于集合A中的任意一个元素ω，都存在集合D中的元素z使得ω＝f（z）.请写出满足条件的一个有序实数对（a，b），并论证此时的f（z）满足条件.
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解：满足条件的一个有序实数对为（－1，1），即a
＝－1，b＝1，f（z）＝ ，证明如下：
设z＝x＋yi，x，y∈R，x＞0，则f（z）＝ ＝
，｜f（z）｜＝ ＝
＝ ，
∵（－x＋1）2＋y2－[（x＋1）2＋y2]＝－4x＜0，
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∴（－x＋1）2＋y2＜（x＋1）2＋y2，
｜f（z）｜＝ ＜1，即f（z）∈A，满足条
件①；
设ω＝m＋ni，m，n∈R，且｜ω｜＜1，即 ＜1，
得m2＋n2＜1，
由ω＝f（z）得ω＝ ，
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则z＝ ＝－1＋ ＝－1＋ ＝－1＋
＝－1＋ －
＝ － ，
则Rez＝ ＞0，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为（－1，1）.
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谢 谢 观 看！
