(共72张PPT)
4.1 数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念
及分类 数学抽象
2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公
式），了解数列是一种特殊函数 数学抽象、
数学运算
3.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出
数列的项，理解数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系 逻辑推理、
数学运算
第1课时
数列的概念与简单表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）
（2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.
这句话中隐藏着一列数：1， ， ， ， ，…；
（3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 025，
2 025，…，2 025；
（4）－ 的 n 次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…依次排成一列数：－
， ，－ ， ，….
【问题】 以上这些数，每个数与序号之间有什么关系？
知识点一 数列的概念
1. 定义：按照确定的 排列的一列数称为数列.
2. 项：数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置
上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置
上的数叫做这个数列的第2项，用 表示……第 n 个位置上的
数叫做这个数列的第 n 项，用 表示.其中第1项也叫做
.
3. 记法：数列的一般形式是 a1， a2，…， an ，…，简记为{ an }.
顺序
每一个数
a1
a2
an
首
项
提醒 （1）概念中的“一列数”，即不止一个数；（2）数列中的
数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列；（3）同一
个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，…；（4）数列
{ an }与 an 是不同的.{ an }表示数列： a1， a2， a3，…， an ，…. an
表示数列{ an }中的第 n 项.
知识点二 数列的分类
1. 按项的个数分类
类别 含义
有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
有限
无限
2. 按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列，
即 an＋1－ an ＞0（ n ∈N*）
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列，
即 an＋1－ an ＜0（ n ∈N*）
常数列 各项都 的数列，即 an＋1－ an ＝0（ n ∈N*）
周期数列 项呈现周期性变化
大于
小于
相等
知识点三 数列的通项公式
如果数列{ an }的第 n 项 an 与它的 之间的对应关系可
以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通
项公式.
提醒 （1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）数列的通项公式
的形式可以不唯一.例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公
式可以写成 an ＝（－1） n ， an ＝（－1） n－2， an ＝ cos n π等.
序号 n
一个式子
式子
知识点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如
下表：
定义域 正整数集N*（或其有限子集{1，2，…， n }）
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
【想一想】
函数 y ＝2 x 与数列{ an }的通项公式 an ＝2 n 有什么区别？
提示：函数 y ＝2 x 的自变量是连续变化的，图象是连续的直线. an ＝2
n 的自变量是离散的，图象由离散的点构成.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，0，1，0是一个数列. （ √ ）
（2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}. （ × ）
（3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.
（ × ）
（4）数列4，7，3，4的首项是4. （ √ ）
√
×
×
√
2. 数列3，4，5，6，…的一个通项公式为（ ）
A. an ＝ n ， n ∈N* B. an ＝ n ＋1， n ∈N*
C. an ＝ n ＋2， n ∈N* D. an ＝2 n ， n ∈N*
解析： 这个数列的前4项都比序号大2，所以它的一个通项公式
为 an ＝ n ＋2， n ∈N*.
3. 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A. 1， ， ， ，…
B. －1，－2，－3，－4
C. －1，－ ，－ ，－ ，…
D. 1， ， ，…，
解析： A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.
4. 已知数列{ an }的通项公式是 an ＝2 n －1，则 a8＝ .
解析： a8＝2×8－1＝15.
15
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列的概念与分类
【例1】 （1）下列各项表示数列的是（ ）
A. △，○，☆，□
B. 2 008，2 009，2 010，…，2 024
C. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D. a ＋ b ， a － b ， a · b ，λ a
解析：数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是
图形、文字、向量等，只有B项符合.
（2）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A. 1，2，3，…，20
B. sin ， sin ， sin ， sin ，…
C. 1，2，3，2，5，6，…
D. －1，0，1，2，…，100，…
解析：由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.
通性通法
数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排
列的数；
（2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变
化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的
还是无限的.
【跟踪训练】
1. （多选）下面四个结论中正确的是（ ）
A. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，
3，…， n }）上的函数
B. 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C. 数列的项数是无限的
D. 数列的通项公式是唯一的
解析： 数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C项错
误；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1，0，－1，0，1，0，
－1，0，…的通项公式可以是 an ＝ sin ，也可以是 an ＝ cos
，D项错误.故选A、B.
2. 给出下列数列：
①1，2，22，23，24，…，263；②－ ，－ ，－ ，…，－ ，…；
③1，2，3，…，10 000；④－1，1，－1，1，－1，1，…；
⑤1，2，3，5，8，13，21，…；⑥ ， ， ， ，….
其中， 为有穷数列， 为无穷数列，
为递增数列， 为递减数列， 为常数列.
解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为
无穷数列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列.
①③
②④⑤⑥
①③
⑤
②
⑥
题型二 数列的表示方法
【例2】 写出下列数列的前5项，并画出它们的图象：
（1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
解：前5项依次为2，3，5，7，11，图象如图①所示.
（2） an ＝－ n ＋1.
解：前5项依次为0，－1，－2，－3，－4，图象如图②所示.
通性通法
1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，
但它只能表示有限个元素之间的对应关系.
2. 图象法表示数列时，数列的图象是以（ n ， an ）为坐标的一系列孤
立的点.
【跟踪训练】
某种练习本单价5元，小王买了 n 本（ n ∈N*， n ≤5）该练习本，记 an
为买 n 本的总价，试用三种方法来表示数列{ an }.
解：通项公式法： an ＝5 n （ n ∈N*， n ≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
题型三 由数列的前几项写出数列的通项公式
【例3】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下
列各数：
（1）3，5，7，9，…；
解：各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为 an
＝2 n ＋1.
（2） ， ， ， ， ，…；
解： 每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，
22，23，24，25，…，所以原数列的一个通项公式为 an ＝ .
（3）9，99，999，9 999，…；
解： 各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，
此数列的通项公式为10 n ，可得原数列的一个通项公式为 an ＝10
n －1.
（4）－1， ，－ ， ，….
解： 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇
数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an ＝
， n ∈N*.
通性通法
根据数列的前几项求其通项公式的方法
（1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等；
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与
对应序号间的函数解析式；
（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1） n
或（－1） n＋1处理；
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利
用周期函数，如三角函数等.
【跟踪训练】
写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2×3，3×4，4×5，5×6，…；
解： 由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×
（2＋2），4×5＝（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×
（4＋2），…，可得 an ＝（ n ＋1）（ n ＋2）.
（2）1 ，2 ，3 ，4 ，…；
解： 此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号 n ，
分数部分与序号 n 的关系为 ，故所求数列的一个通项公式为
an ＝ n ＋ ＝ （ n ∈N*）.
（3）3，33，333，3 333，…；
解： 联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为 an ＝10 n
－1，于是该数列的一个通项公式为 an ＝ （10 n －1），即 an ＝
（10 n －1）.
（4）－1，0，－1，0，….
解： an ＝是此数列的一个通项公式.
由于－1＝－ － ，0＝－ ＋ .
联想到（－1） n 具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也
可写成 an ＝ .
题型四 数列中项的求解与判断
【例4】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－28 n .
（1）写出数列的第4项和第6项；
解： a4＝3×16－28×4＝－64， a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数
列的一项呢？
解： 令3 n2－28 n ＝－49，解得 n ＝7或 n ＝ （舍去），
所以 n ＝7，即－49是该数列的第7项.
令3 n2－28 n ＝68，解得 n ＝ 或 n ＝－2.
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项.
已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－28 n .
（3）数列{ an }中有多少个负数项？
解： an ＝ n （3 n －28），令 an ＜0，结合 n ∈N*，解得 n ＝
1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{ an }中有9个负数项.
已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－28 n .
【母题探究】
（变条件，变设问）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2－5 n ＋4，
n ∈N*.问当 n 为何值时， an 取得最小值？并求出最小值.
解：∵ an ＝ n2－5 n ＋4＝ － ，∴当 n ＝2或3时， an 取得最小
值，为 a2＝ a3＝－2.
通性通法
求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公
式，就可以求出数列中的指定项；
（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式
中，求出 n 的值.若求出的 n 为正整数，则该数是数列的项，否
则该数不是数列的项.
【跟踪训练】
1. 数列{ an }中，若 an ＝ ，则 a4＝ .
解析：因为 an ＝ ，所以 a4＝ ＝ .
2. （2024·日照月考）已知数列{ }，则0.98是它的第 项.
解析：令 ＝0.98＝ ，解得 n ＝7（负值舍去）.
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1. 下列说法正确的是（ ）
A. {0，1，2，3，4，5}是有穷数列
B. 所有正整数构成的数列是无穷数列
C. 数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列
D. 数列1，2，3，4，…， n 是无穷数列
解析： 因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错
误；所有正整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一
定次序排列的一列数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是
同一数列，故C错误；数列1，2，3，4，…， n ，共有 n 项，是有
穷数列，故D错误.
2. （2024·徐州月考）已知数列－1，0， ， ，…， ，…，则
是其（ ）
A. 第14项 B. 第12项
C. 第10项 D. 第8项
解析： 令 ＝ ，整理，得5 n2－72 n ＋144＝0，解得 n ＝12
或 n ＝ （舍去）.故选B.
3. 数列－1， ，－ ， ，－ ，…的一个通项公式 an ＝
.
解析：由题可知，数列－1， ，－ ， ，－ ，…，每项的分子
为1，分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列
的一个通项公式为 an ＝ .
4. 已知数列{ an }的通项公式是 an ＝ n2－ pn ＋ q ，且 a1＝0， a2＝－4.
（1）求 a5；
解： 由已知，得
解得所以 an ＝ n2－7 n ＋6，
所以 a5＝52－7×5＋6＝－4.
（2）150是不是该数列中的项？若是，是第几项？
解： 令 an ＝ n2－7 n ＋6＝150，解得 n ＝16或 n ＝－9
（舍去），所以150是该数列中的项，并且是第16项.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列叙述正确的是（ ）
A. 2，4，6，8与8，6，4，2是同一数列
B. 0，1，0，1，…是常数列
C. 数列0，1，2，3，…的通项公式为 an ＝ n
D. 若两个数列的每一项均对应相同，则这两个数列相同
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解析： 数列2，4，6，8与8，6，4，2中数的排列顺序不同，不
是同一数列，故A错误；数列0，1，0，1，…不是常数列，故B错
误；数列0，1，2，3，…的通项公式为 an ＝ n －1，故C错误；由数
列的定义可知D正确.
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2. 已知数列1， ， ， ，…， ，若3 是这个数列的
第 n 项，则 n ＝（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
解析： 由题意得， ＝3 ，即2 n －1＝45，解得 n ＝
23，故选D.
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3. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式可能是（ ）
A. an ＝2 n ＋1 B. an ＝2 n ＋1
C. an ＝2 n －1 D. an ＝2 n －1
解析： 由数列3，5，9，17，33，…，所以 a1＝21＋1＝3，排除
C、D选项，通过验证， a1， a2， a3， a4， a5都满足B项中数列的通
项公式.
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4. （2024·宁波月考）下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，
如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种
规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有（ ）
A. 151根 B. 154根
解析： 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴
棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中
的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B.
C. 157根 D. 160根
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5. 已知数列{ an }的一个通项公式为 an ＝（－1） n ·2 n ＋ a ，且 a3＝－
5，则实数 a ＝（ ）
A. 3 B. 1
C. －1 D. 0
解析： 因为 a3＝－5， an ＝（－1） n ·2 n ＋ a ，所以－8＋ a ＝－
5，解得 a ＝3，故选A.
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6. （多选）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2－8 n ＋15，则
（ ）
A. 3不是数列{ an }中的项
B. 3可能是数列{ an }的第2项
C. 3可能是数列{ an }的第6项
D. a3＜0
解析： 令 n2－8 n ＋15＝3，解此方程可得 n ＝2或 n ＝6，所以3
可能是该数列的第2项，也可能是该数列的第6项， a3＝9－24＋15
＝0.
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7. 数列{ an }的通项公式为 an ＝则 a2 a3＝ .
解析：由通项公式得 a2＝2×2－2＝2， a3＝3×3＋1＝10，所以 a2
a3＝20.
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8. （2024·开封月考）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝2 024－3 n ，则
使 an ＞0成立的正整数 n 的最大值为 .
解析：由 an ＝2 024－3 n ＞0，得 n ＜ ，又因为 n ∈N*，所以正
整数 n 的最大值为674.
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9. 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式是 an ＝ .
解析：－ ＝（－1）1× ， ＝（－1）2× ，－ ＝（－1）3×
， ＝（－1）4× ，所以其一个通项公式是 an ＝ .
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10. 根据下列数列{ an }的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们
的图象.
（1） an ＝ n －1；
解： 当通项公式中的 n ＝1，2，3，
4，5时，数列{ an }的前5项依次为－ ，
0， ，1， .
图象如图所示.
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（2） an ＝ sin .
解：当通项公式中的 n ＝1，2，3，4，5
时，数列{ an }的前5项依次为－1，0，1，
0，－1.图象如图所示.
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11. （2024·杭州月考）数列 ，－ ， ，－ ，…的第10项是
（ ）
A. － B. －
C. － D. －
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解析： 由数列 ，－ ， ，－ ，…，可知，奇数项的符号为
正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数2 n （ n 为项数），分
母比分子大1，故可得到通项公式 an ＝（－1） n＋1· ，所以 a10
＝（－1）11× ＝－ .
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12. （多选）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，则下列 n 的值中
满足 an ＜ an＋1的有（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析： 由题意，数列{ an }的通项公式为 an ＝ .可得 a3
＝ ， a4＝ ， a5＝4， a6＝－4， a7＝－ ，显然 a3＜ a4＜ a5， a6
＜ a7， a5＞ a6.故满足 an ＜ an＋1的 n 的值有3，4，6.
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13. （2024·洛阳质检）数列 ， ， ， ， ，…中，有序数
对（ a ， b ）可以是 .
解析：由已知，各项可写为 ， ， ， ，
，…，可得 a ＝3×5＝15， b ＝24＋2＝26，故数对（ a ，
b ）为（15，26）.
（15，26）
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14. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝－ n2＋ n ＋110.
（1）20是不是{ an }中的一项？
解： 令 an ＝－ n2＋ n ＋110＝20，
即 n2－ n －90＝0，
∴（ n ＋9）（ n －10）＝0，
∴ n ＝10或 n ＝－9（舍去）.
∴20是数列{ an }中的一项，且为数列{ an }中的第10项.
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（2）当 n 取何值时， an ＝0？
解： 令 an ＝－ n2＋ n ＋110＝0，
即 n2－ n －110＝0，
∴（ n －11）（ n ＋10）＝0，
∴ n ＝11或 n ＝－10（舍去），
∴当 n ＝11时， an ＝0.
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15. （2024·菏泽质检）正整数的排列规则如图所示，其中排在第 i 行
第 j 列的数记为 ai， j ，例如 a4，3＝9，则 a64，8＝ .
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解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时 a1，1＝ ＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时 a2，1＝ ＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时 a3，1＝ ＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为 a64，1＝ ＋1＝2 017，则 a64，8＝2 024.
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16. 在数列{ an }中， an ＝ .
（1）求数列{ an }的第7项；
解： a7＝ ＝ .
（2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内；
解：证明：因为 an ＝ ＝1－ ，
所以0＜ an ＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内.
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（3）区间（ ， ）内有没有数列{ an }中的项？若有，有几项？
解：令 ＜ ＜ ，则 ＜ n2＜2， n ∈N*，
解得 n ＝1，即在区间（ ， ）内有数列{ an }中的项，且只
有1项 a1.
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谢 谢 观 看！第1课时 数列的概念与简单表示
1.下列叙述正确的是（ ）
A.2，4，6，8与8，6，4，2是同一数列
B.0，1，0，1，…是常数列
C.数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n
D.若两个数列的每一项均对应相同，则这两个数列相同
2.已知数列1，，，，…，，若3是这个数列的第n项，则n＝（ ）
A.20 B.21 C.22 D.23
3.数列3，5，9，17，33，…的通项公式可能是（ ）
A.an＝2n＋1 B.an＝2n＋1
C.an＝2n－1 D.an＝2n－1
4.（2024·宁波月考）下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有（ ）
A.151根 B.154根
C.157根 D.160根
5.已知数列{an}的一个通项公式为an＝（－1）n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a＝（ ）
A.3 B.1
C.－1 D.0
6.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则（ ）
A.3不是数列{an}中的项 B.3可能是数列{an}的第2项
C.3可能是数列{an}的第6项 D.a3＜0
7.数列{an}的通项公式为an＝则a2a3＝ .
8.（2024·开封月考）已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的正整数n的最大值为 .
9.数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝ .
10.根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并作出它们的图象.
（1）an＝n－1；（2）an＝sin.
11.（2024·杭州月考）数列，－，，－，…的第10项是（ ）
A.－ B.－
C.－ D.－
12.（多选）已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列n的值中满足an＜an＋1的有（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
13.（2024·洛阳质检）数列，，，，，…中，有序数对（a，b）可以是 .
14.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
（1）20是不是{an}中的一项？
（2）当n取何值时，an＝0？
15.（2024·菏泽质检）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，8＝ .
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16.在数列{an}中，an＝.
（1）求数列{an}的第7项；
（2）求证：此数列的各项都在区间（0，1）内；
（3）区间（，）内有没有数列{an}中的项？若有，有几项？
第1课时 数列的概念与简单表示
1.D 数列2，4，6，8与8，6，4，2中数的排列顺序不同，不是同一数列，故A错误；数列0，1，0，1，…不是常数列，故B错误；数列0，1，2，3，…的通项公式为an＝n－1，故C错误；由数列的定义可知D正确.
2.D 由题意得，＝3，即2n－1＝45，解得n＝23，故选D.
3.B 由数列3，5，9，17，33，…，所以a1＝21＋1＝3，排除C、D选项，通过验证，a1，a2，a3，a4，a5都满足B项中数列的通项公式.
4.B 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，…，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B.
5.A 因为a3＝－5，an＝（－1）n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解得a＝3，故选A.
6.BC 令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可能是该数列的第2项，也可能是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0.
7.20 解析：由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2a3＝20.
8.674 解析：由an＝2 024－3n＞0，得n＜，又因为n∈N*，所以正整数n的最大值为674.
9. 解析：－＝（－1）1×，＝（－1）2×，－＝（－1）3×，＝（－1）4×，所以其一个通项公式是an＝.
10.解：（1）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－，0，，1，.
图象如图所示.
（2）当通项公式中的n＝1，2，3，4，5时，数列{an}的前5项依次为－1，0，1，0，－1.图象如图所示.
11.C 由数列，－，，－，…，可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数2n（n为项数），分母比分子大1，故可得到通项公式an＝（－1）n＋1·，所以a10＝（－1）11×＝－.
12.ABD 由题意，数列{an}的通项公式为an＝.可得a3＝，a4＝，a5＝4，a6＝－4，a7＝－，显然a3＜a4＜a5，a6＜a7，a5＞a6.故满足an＜an＋1的n的值有3，4，6.
13.（15，26） 解析：由已知，各项可写为，，，，，…，可得a＝3×5＝15，b＝24＋2＝26，故数对（a，b）为（15，26）.
14.解：（1）令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，
∴（n＋9）（n－10）＝0，
∴n＝10或n＝－9（舍去）.
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.
（2）令an＝－n2＋n＋110＝0，
即n2－n－110＝0，
∴（n－11）（n＋10）＝0，
∴n＝11或n＝－10（舍去），
∴当n＝11时，an＝0.
15.2 024 解析：根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为a64，1＝＋1＝2 017，则a64，8＝2 024.
16.解：（1）a7＝＝.
（2）证明：因为an＝＝1－，
所以0＜an＜1，故此数列的各项都在区间（0，1）内.
（3）令＜＜，则＜n2＜2，n∈N*，
解得n＝1，即在区间（，）内有数列{an}中的项，且只有1项a1.
2 / 24.1 数列的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念及分类 数学抽象
2.理解数列的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数 数学抽象、数学运算
3.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项，理解数列的前n项和Sn与an的关系 逻辑推理、数学运算
第1课时 数列的概念与简单表示
（1）
（2）战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
（3）从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 025，2 025，…，2 025；
（4）－的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…依次排成一列数：－，，－，，….
【问题】 以上这些数，每个数与序号之间有什么关系？
知识点一 数列的概念
1.定义：按照确定的 排列的一列数称为数列.
2.项：数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用 表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫做 .
3.记法：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
提醒 （1）概念中的“一列数”，即不止一个数；（2）数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列；（3）同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，…；（4）数列{an}与an是不同的.{an}表示数列：a1，a2，a3，…，an，….an表示数列{an}中的第n项.
知识点二 数列的分类
1.按项的个数分类
类别 含义
有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
2.按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列，即an＋1－an＞0（n∈N*）
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列，即an＋1－an＜0（n∈N*）
常数列 各项都 的数列，即an＋1－an＝0（n∈N*）
周期数列 项呈现周期性变化
知识点三 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通项公式.
提醒 （1）并不是所有的数列都有通项公式；（2）数列的通项公式的形式可以不唯一.例如数列－1，1，－1，1，－1，1，…的通项公式可以写成an＝（－1）n，an＝（－1）n－2，an＝cos nπ等.
知识点四 数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：
定义域 正整数集N*（或其有限子集{1，2，…，n}）
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
【想一想】
函数y＝2x与数列{an}的通项公式an＝2n有什么区别？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）1，0，1，0是一个数列.（ ）
（2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（ ）
（3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.（ ）
（4）数列4，7，3，4的首项是4.（ ）
2.数列3，4，5，6，…的一个通项公式为（ ）
A.an＝n，n∈N*
B.an＝n＋1，n∈N*
C.an＝n＋2，n∈N*
D.an＝2n，n∈N*
3.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A.1，，，，…
B.－1，－2，－3，－4
C.－1，－，－，－，…
D.1，，，…，
4.已知数列{an}的通项公式是an＝2n－1，则a8＝ .
题型一 数列的概念与分类
【例1】 （1）下列各项表示数列的是（ ）
A.△，○，☆，□
B.2 008，2 009，2 010，…，2 024
C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
D.a＋b，a－b，a·b，λa
（2）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A.1，2，3，…，20
B.sin，sin，sin，sin，…
C.1，2，3，2，5，6，…
D.－1，0，1，2，…，100，…
通性通法
数列的判定方法及其分类
（1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；
（2）判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的.
【跟踪训练】
1.（多选）下面四个结论中正确的是（ ）
A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数
B.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列的通项公式是唯一的
2.给出下列数列：
①1，2，22，23，24，…，263；
②－，－，－，…，－，…；
③1，2，3，…，10 000；
④－1，1，－1，1，－1，1，…；
⑤1，2，3，5，8，13，21，…；
⑥，，，，….
其中， 为有穷数列， 为无穷数列， 为递增数列， 为递减数列， 为常数列.
题型二 数列的表示方法
【例2】 写出下列数列的前5项，并画出它们的图象：
（1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
（2）an＝－n＋1.
通性通法
1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系.
2.图象法表示数列时，数列的图象是以（n，an）为坐标的一系列孤立的点.
【跟踪训练】
某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N*，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}.
题型三 由数列的前几项写出数列的通项公式
【例3】 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）3，5，7，9，…；
（2），，，，，…；
（3）9，99，999，9 999，…；
（4）－1，，－，，….
通性通法
根据数列的前几项求其通项公式的方法
（1）先统一各项的结构，如都化成分数、根式等；
（2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；
（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用（－1）n或（－1）n＋1处理；
（4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
【跟踪训练】
写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2×3，3×4，4×5，5×6，…；
（2）1，2，3，4，…；
（3）3，33，333，3 333，…；
（4）－1，0，－1，0，….
题型四 数列中项的求解与判断
【例4】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
（2）－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
（3）数列{an}中有多少个负数项？
【母题探究】
（变条件，变设问）已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值.
通性通法
求项或判断某数是否为数列的项的方法
（1）如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列中的指定项；
（2）判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值.若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项.
【跟踪训练】
1.数列{an}中，若an＝，则a4＝ .
2.（2024·日照月考）已知数列{}，则0.98是它的第 项.
1.下列说法正确的是（ ）
A.{0，1，2，3，4，5}是有穷数列
B.所有正整数构成的数列是无穷数列
C.数列2，5，7，8和数列5，2，7，8是同一数列
D.数列1，2，3，4，…，n是无穷数列
2.（2024·徐州月考）已知数列－1，0，，，…，，…，则是其（ ）
A.第14项 B.第12项
C.第10项 D.第8项
3.数列－1，，－，，－，…的一个通项公式an＝ .
4.已知数列{an}的通项公式是an＝n2－pn＋q，且a1＝0，a2＝－4.
（1）求a5；
（2）150是不是该数列中的项？若是，是第几项？
第1课时 数列的概念与简单表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.顺序 2.每一个数 a1 a2 an 首项
知识点二
1.有限 无限 2.大于 小于 相等
知识点三
序号n 一个式子 式子
想一想
提示：函数y＝2x的自变量是连续变化的，图象是连续的直线.an＝2n的自变量是离散的，图象由离散的点构成.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.C 这个数列的前4项都比序号大2，所以它的一个通项公式为an＝n＋2，n∈N*.
3.C A、B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.
4.15 解析：a8＝2×8－1＝15.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）D 解析：（1）数列是指按照确定的顺序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合.
（2）由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.
跟踪训练
1.AB 数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C项错误；数列的通项公式可能不唯一，比如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项公式可以是an＝sin，也可以是an＝cos，D项错误.故选A、B.
2.①③ ②④⑤⑥ ①③⑤ ② ⑥
解析：根据数列的分类，容易得到：①③为有穷数列，②④⑤⑥为无穷数列，①③⑤为递增数列，②为递减数列，⑥为常数列.
【例2】 解：（1）前5项依次为2，3，5，7，11，图象如图①所示.
（2）前5项依次为0，－1，－2，－3，－4，图象如图②所示.
跟踪训练
解：通项公式法：an＝5n（n∈N*，n≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
【例3】 解：（1）各项减去1后为正偶数，所以它的一个通项公式为an＝2n＋1.
（2）每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，25，…，所以原数列的一个通项公式为an＝.
（3）各项加1后，分别变成10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
（4）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
跟踪训练
解：（1）由2×3＝（1＋1）×（1＋2），3×4＝（2＋1）×（2＋2），4×5＝（3＋1）×（3＋2），5×6＝（4＋1）×（4＋2），…，可得an＝（n＋1）（n＋2）.
（2）此数列的整数部分1，2，3，4，…，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求数列的一个通项公式为an＝n＋＝（n∈N*）.
（3）联想特殊数列9，99，999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝（10n－1），即an＝（10n－1）.
（4）an＝是此数列的一个通项公式.
由于－1＝－－，0＝－＋.
联想到（－1）n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成an＝.
【例4】 解：（1）a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
（2）令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝（舍去），
所以n＝7，即－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
因为 N*，－2 N*，所以68不是该数列的项.
（3）an＝n（3n－28），令an＜0，结合n∈N*，解得n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，即数列{an}中有9个负数项.
母题探究
解：∵an＝n2－5n＋4＝－，∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
跟踪训练
1. 解析：因为an＝，所以a4＝＝.
2.7 解析：令＝0.98＝，解得n＝7（负值舍去）.
随堂检测
1.B 因为{0，1，2，3，4，5}是集合，不是数列，故A错误；所有正整数构成的数列是无穷数列，故B正确；数列是按照一定次序排列的一列数，因此数的次序很关键，所以这两个数列不是同一数列，故C错误；数列1，2，3，4，…，n，共有n项，是有穷数列，故D错误.
2.B 令＝，整理，得5n2－72n＋144＝0，解得n＝12或n＝（舍去）.故选B.
3. 解析：由题可知，数列－1，，－，，－，…，每项的分子为1，分母是项数的平方，奇数项为负，偶数项为正，故可得数列的一个通项公式为an＝.
4.解：（1）由已知，得
解得所以an＝n2－7n＋6，
所以a5＝52－7×5＋6＝－4.
（2）令an＝n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9（舍去），所以150是该数列中的项，并且是第16项.
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