(共54张PPT)
第2课时
数列的递推公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中
数字出现的规律是：
a2－ a1＝3－1＝2，
a3－ a2＝6－3＝3，
a4－ a3＝10－6＝4，
a5－ a4＝15－10＝5，
……
（2）你能用 an＋1与 an 的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的
关系吗？
【问题】 （1）你能写出该数列的第8个数吗？
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
提醒 对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公
式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式
和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项.
相邻
知识点二 数列的前 n 项和
1. 数列{ an }的前 n 项和
把数列{ an }从第1项起到第 n 项止的各项之和，称为数列{ an }的前 n
项和，记作 ，即 Sn ＝ .
2. 数列{ an }的前 n 项和公式
如果数列{ an }的前 n 项和 与它的 之间的对应
关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前
n 项和公式.
Sn
a1＋ a2＋…＋ an
Sn
序号 n
3. an 与 Sn 的关系
an ＝
提醒 在应用数列的前 n 项和公式求通项时，往往容易忽略验证 n
＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成 an ＝ Sn － Sn－1的形
式，但它只适用于 n ≥2的情形.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在数列{ an }中，若 an＋1＝2 an ， n ∈N*，则 a2＝2 a1.
（ √ ）
（2）利用 an＋1＝2 an ， n ∈N*可以确定数列{ an }. （ × ）
（3）递推公式是表示数列的一种方法. （ √ ）
（4） S2 n 表示数列{ an }中所有偶数项的和. （ × ）
√
×
√
×
2. 符合递推关系式 an ＝2 an－1的数列是（ ）
A. 1，2，3，4，… B. 1，2，4，8，…
C. ，2， ，2，… D. 0， ，2，2 ，…
解析： B项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关
系式 an ＝2 an－1.
3. 已知数列{ an }的首项 a1＝1，且 an ＝2 an－1＋1（ n ≥2），则 a5＝
（ ）
A. 7 B. 15 C. 30 D. 31
解析： ∵ an ＝2 an－1＋1（ n ≥2）， a1＝1，∴ a5＝2 a4＋1＝4 a3
＋3＝8 a2＋7＝16 a1＋15＝31.故选D.
4. （2024·宁波月考）已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 Sn ＝2 n －1，
则 a8＝ .
解析：因为数列{ an }的前 n 项和为 Sn ， Sn ＝2 n －1，所以 a8＝ S8－
S7＝28－1－（27－1）＝27＝128.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{ an }中， a1＝1，且满足 an ＝3 an－1＋ （ n
∈N*，且 n ＞1），写出数列{ an }的前5项.
解：由题意，得 a2＝3 a1＋ ，
而 a1＝1，所以 a2＝3×1＋ ＝ .
同理 a3＝3 a2＋ ＝10， a4＝3 a3＋ ＝ ， a5＝3 a4＋
＝91.
通性通法
由递推公式写出数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分
的关系，依次代入计算即可；
（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面
的项的形式，如 an ＝2 an＋1＋1.
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }满足 a1＝1， a2＝1， an＋2＝ an＋1＋ an ，则 a5＝
（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 由题意 a3＝ a2＋ a1＝2， a4＝ a3＋ a2＝3， a5＝ a4＋
a3＝5.
2. 已知数列{ an }满足 an＋1＝ ， a5＝2，则 a1＝ .
解析：因为 an＋1＝ ， a5＝2，令 n ＝4，2＝ ，所以 a4＝ ，
令 n ＝3， ＝ ，所以 a3＝－1，令 n ＝2，－1＝ ，所以 a2
＝2，令 n ＝1，2＝ ，所以 a1＝ .
题型二 由递推公式求数列的通项公式
【例2】 （1）（2024·厦门月考）在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝ an
＋ － ，则 an ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 法一（归纳法） 数列的前5项分别为 a1＝1， a2＝
1＋1－ ＝2－ ＝ ， a3＝ ＋ － ＝2－ ＝ ， a4＝ ＋ －
＝2－ ＝ ， a5＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，所以 an ＝2－ ＝
（ n ≥2），又 a1＝1满足上式，由此可得数列的一个通项公式为
an ＝ .
法二（迭代法） a2＝ a1＋1－ ， a3＝ a2＋ － ，…， an ＝ an
－1＋ － （ n ≥2），则 an ＝ a1＋1－ ＋ － ＋ － ＋…＋
－ ＝2－ ＝ （ n ≥2）.又 a1＝1也适合上式，所以 an
＝ （ n ∈N*）.
法三（累加法） an＋1－ an ＝ － ， a1＝1， a2－ a1＝1－ ， a3－
a2＝ － ， a4－ a3＝ － ，…， an － an－1＝ － （ n ≥2），以上
各式相加得 an ＝1＋1－ ＋ － ＋…＋ － .所以 an ＝ （ n
≥2）.因为 a1＝1也适合上式，所以 an ＝ （ n ∈N*）.
（2）（2024·深圳月考）已知数列{ an }满足 a1＝1， an＋1＝ an （ n
∈N*），则 an ＝（ ）
A. n ＋1 B. n
C. D.
解析： （累乘法）由题意，因为数列{ an }满足 an＋1＝ an （ n
∈N*），所以 ＝ ，所以 an ＝ · ·…· · · a1＝
× ×…× × ×1＝ .
通性通法
由递推公式求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归
纳出通项公式；
（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
① an＋1－ an ＝常数，或 an＋1－ an ＝ f （ n ）（ f （ n ）是可以求和
的），使用累加法或迭代法；
② an＋1＝ pan （ p 为非零常数），或 an＋1＝ f （ n ） an （ f （ n ）
是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }满足 a1＝1， an ＝ an－1＋ － （ n ≥2），求
an .
解：因为 an ＝ an－1＋ － （ n ≥2），
所以 an － an－1＝ － .
所以 an ＝（ an － an－1）＋（ an－1－ an－2）＋…＋（ a2－ a1）＋ a1
＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋1＝
－ ＋1.
又 a1＝1也符合上式，所以 an ＝ － ＋1， n ∈N*.
2. 已知数列{ an }满足 a1＝1，ln an －ln an－1＝1（ n ≥2），求 an .
解：因为ln an －ln an－1＝1，
所以ln ＝1，
即 ＝e（ n ≥2）.
所以 an ＝ · ·…· · a1＝
＝e n－1（ n ≥2），
又 a1＝1也符合上式，
所以 an ＝e n－1， n ∈N*
题型三 利用 Sn 与 an 的关系求通项公式
【例3】 设 Sn 为数列{ an }的前 n 项和， Sn ＝2 n2－30 n .求 a1及 an .
解：因为 Sn ＝2 n2－30 n ，
所以当 n ＝1时， a1＝ S1＝2×12－30×1＝－28，
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝2 n2－30 n －[2（ n －1）2－30（ n －1）]
＝4 n －32.
且当 n ＝1时， a1＝4×1－32＝－28，依然成立，
所以 an ＝4 n －32， n ∈N*.
【母题探究】
（变条件，变设问）将本例的条件“ Sn ＝2 n2－30 n ”改为“ Sn ＝2
n2－30 n ＋1”，其他条件不变，求 an .
解：因为 Sn ＝2 n2－30 n ＋1，
所以当 n ＝1时， a1＝ S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1
＝2 n2－30 n ＋1－[2（ n －1）2－30（ n －1）＋1]＝4 n －32.
当 n ＝1时不符合上式.
所以 an ＝
通性通法
由 Sn 求通项公式 an 的步骤
（1）当 n ＝1时， a1＝ S1；
（2）当 n ≥2时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an ＝ Sn － Sn－1；
（3）如果 a1也满足当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1的通项公式，那么数列
{ an }的通项公式为 an ＝ Sn － Sn－1；否则数列{ an }的通项公式要
分段表示为 an ＝
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ ，则 a5＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 根据题意， Sn ＝ ，则 S5＝ ， S4＝ ，则 a5＝ S5－ S4
＝ － ＝ ，故选B.
2. （2024·泉州月考）已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn ＝2 n＋
2－3，求 an .
解：当 n ≥2时，有 an ＝ Sn － Sn－1＝（2 n＋2－3）－（2 n＋1－3）＝2
n＋1，
当 n ＝1时，有 a1＝ S1＝8－3＝5，不符合 an ＝2 n＋1，
故 an ＝
1. 已知数列{ an }中首项 a1＝1，且满足 an＋1＝ an ＋ ，则此数列的
第三项是（ ）
A. 1 B.
C. D.
解析： 由题知 a2＝ ×1＋ ＝1， a3＝ ×1＋ ＝ .
2. 已知数列{ an }满足 a1＝1， － ＝1，则 a10＝（ ）
A. 10 B. 20
C. 100 D. 200
解析： 数列{ an }满足 a1＝1， － ＝1，可得 ＝1，
－ ＝1， － ＝1，…， － ＝1，叠加可得
＝10，所以 a10＝100.
3. 若数列{ an }满足（ n －1） an ＝（ n ＋1） an－1（ n ≥2， n ∈N*），
且 a1＝1，则 a100＝ .
解析：由（ n －1） an ＝（ n ＋1） an－1，得 ＝ （ n ≥2， n
∈N*），则 a100＝ a1· · ·…· ＝1× × ×…× ＝ 5 050.
5 050
4. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，求数列{ an }的通项公式：
（1） Sn ＝3 n ＋2；
解： 当 n ＝1时， a1＝ S1＝5；
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝（3 n ＋2）－（3 n－1＋2）＝2·3 n
－1， a1＝5不满足上式，故 an ＝
（2） Sn ＝ n2－ n .
解： 当 n ＝1时， a1＝ S1＝12－1＝0，当 n ≥2时， an ＝
Sn － Sn－1＝（ n2－ n ）－[（ n －1）2－（ n －1）]＝2 n －2，
又 a1＝0满足 an ＝2 n －2，故 an ＝2 n －2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A. an ＝ an－1＋2（ n ≥2）
B. an ＝2 an－1（ n ≥2）
C. a1＝2， an ＝ an－1＋2（ n ≥2）
D. a1＝2， an ＝2 an－1（ n ≥2）
解析： A、B中没有说明第一项，无法递推；D中 a1＝2， a2＝
4， a3＝8，不合题意.故选C.
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2. 设数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2，则 a9＝（ ）
A. 15 B. 17
C. 49 D. 64
解析： 由已知， a9＝ S9－ S8＝92－82＝17.
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3. 已知 a1＝1， an ＝ an－1＋3（ n ≥2， n ∈N*），则数列的通项公式为
（ ）
A. an ＝3 n ＋1 B. an ＝3 n
C. an ＝3 n －2 D. an ＝3（ n －1）
解析： 因为 an ＝ an－1＋3，所以 an － an－1＝3.所以 a2－ a1＝3，
a3－ a2＝3， a4－ a3＝3，…， an － an－1＝3，以上各式两边分别相
加，得 an － a1＝3（ n －1），因为 a1＝1，所以 an ＝ a1＋3（ n －1）
＝1＋3（ n －1）＝3 n －2.当 n ＝1时，也适合上式，所以 an ＝3 n
－2.
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4. （2024·绍兴月考）在数列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ，则 a11＝
（ ）
A. 512 B. 256
C. 2 048 D. 1 024
解析： 因为 an＋1＝2 an ，即 ＝2，所以 ＝2， ＝2，…，
＝2，累乘可得 a11＝1 024.
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5. （多选）符合递推关系式 an ＝ an－1的数列是（ ）
A. 1，2，3，4，… B. 1， ，2，2 ，…
C. ，2，2 ，4，… D. 0， ，2，2 ，…
解析： B与C中从第2项起，后一项是前一项的 倍，符合递
推公式 an ＝ an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为
an ＝ an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
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6. （多选）已知数列{ an }的前 n 项和满足 Sn ＝2 n＋1－1，下列说法正
确的是（ ）
A. a1＝3 B. an ＝2 n （ n ≥2）
C. an ＝2 n D. an ＝2 n （ n ≥2）
解析： Sn ＝2 n＋1－1，当 n ＝1时， a1＝ S1＝21＋1－1＝3；当 n
≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝（2 n＋1－1）－（2 n －1）＝2 n .当 n ＝1
时，不符合上式，故 an ＝
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7. 数列{ an }中，已知 a1＝5，且 an＋1＝ an ＋（－1） n ，则 a10＝
.
解析：因为 an＋1＝ an ＋（－1） n ，所以 an＋1－ an ＝（－1） n ，所
以 a10＝ a10－ a9＋ a9－ a8＋…＋ a2－ a1＋ a1＝（－1）9＋（－1）8
＋…＋（－1）1＋5＝4.
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8. 已知在数列{ an }中， a1 a2… an ＝ n2（ n ∈N*），则 a9＝ .
解析： a1 a2… a8＝82，①， a1 a2… a9＝92，②，②÷①得， a9＝
＝ .
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9. 已知数列{ an }满足 a1＝ ， an ＝ an－1＋ （ n ≥2），则 an
＝ .
解析：因为 an ＝ an－1＋ （ n ≥2），所以 an － an－1＝
＝ － ，所以 a2－ a1＝ － ， a3－ a2＝ －
，…， an － an－1＝ － （ n ≥2）.以上各式相加，得 an
－ a1＝ － （ n ≥2），所以 an ＝ a1＋ － ＝
（ n ≥2），又 a1＝ 适合上式，所以 an ＝ .
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10. 已知数列{ an }中， a1＝1， a2＝2，以后各项由 an ＝ an－1＋ an－2
（ n ≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
解： 因为 an ＝ an－1＋ an－2（ n ≥3），且 a1＝1，
a2＝2，
所以 a3＝ a2＋ a1＝3， a4＝ a3＋ a2＝3＋2＝5， a5＝ a4＋
a3＝5＋3＝8.
故数列{ an }的前5项依次为 a1＝1， a2＝2， a3＝3， a4＝
5， a5＝8.
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（2）通过公式 bn ＝ 构造一个新的数列{ bn }，写出数列{ bn }
的前4项.
解： 因为 bn ＝ ，且 a1＝1， a2＝2， a3＝3， a4＝
5， a5＝8，
所以 b1＝ ＝ ， b2＝ ＝ ， b3＝ ＝ ， b4＝ ＝ .
故数列{ bn }的前4项依次为 b1＝ ， b2＝ ， b3＝ ， b4＝ .
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11. 在数列{ an }中， a1＝2， an＋1＝ an ＋ln ，则数列{ an }的通
项公式为 an ＝（ ）
A. 2＋ln n B. 2＋（ n －1）ln n
C. 2＋ n ln n D. 1＋ n ＋ln n
解析： a2＝ a1＋ln ， a3＝ a2＋ln ，…， an ＝ an
－1＋ln （ n ≥2），则 an ＝ a1＋ln（ × × ×…×
）＝2＋ln n （ n ≥2）.又 a1＝2＝2＋ln 1，所以 an ＝2＋ln n .
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12. （多选）由1，3，5，…，2 n －1，…构成数列{ an }，数列{ bn }满
足 b1＝2，当 n ≥2时， bn ＝ ，则（ ）
A. b3＝5 B. b4＝9
C. b5＝15 D. b6＝33
解析： 因为 an ＝2 n －1， bn ＝ ，所以 b2＝ ＝ a2＝
3， b3＝ ＝ a3＝5， b4＝ ＝ a5＝9， b5＝ ＝ a9＝17， b6＝
＝ a17＝33.
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13. （2024·台州月考）设数列{ an }满足 a1＋2 a2＋22 a3＋…＋2 n－1 an
＝ n （ n ∈N*），则 a11＝ .
解析：由 a1＋2 a2＋22 a3＋…＋2 n－1 an ＝ n ①得：当 n ＝1时， a1＝
1；当 n ≥2时， a1＋2 a2＋22 a3＋…＋2 n－2 an－1＝ n －1②，①－②
得2 n－1· an ＝1， an ＝ ，所以 a11＝ ＝ .
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14. 已知数列{ an }中， a1＝1，当 n ∈N*且 n ≥2时，（2 n ＋1） an ＝
（2 n －3） an－1，求通项公式 an .
解：当 n ≥2时，因为（2 n ＋1） an ＝（2 n －3） an－1，
所以 ＝ ，所以 · · ·…· · ＝ × × ×…× × ＝ .所以 ＝ ，
所以 an ＝ ，
当 n ＝1时， a1＝1符合上式，所以 an ＝ ， n ∈N*.
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15. （多选）已知数列{ an }满足 a1∈N*，且 an＋1＝
（ n ＝1，2，…），集合 M ＝{ a1，
a2，…， aN }中的最小元素记为 m .若 a1＝20， N ＝10，则
（ ）
A. 2 a3＝ a8 B. m ＝6
C. a9＞ a5 D. a10＝22
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解析： 因为数列{ an }满足 a1＝20，且 an＋1＝（ n ＝1，2，…），所以 a2＝20＋4＝24，
a3＝24＋4＝28， a4＝28＋4＝32， a5＝32＋4＝36， a6＝ ＝
6， a7＝6＋4＝10， a8＝10＋4＝14， a9＝14＋4＝18， a10＝18＋4
＝22，所以2 a3≠ a8，所以A不正确；集合 M ＝{ a1， a2，…， a10}
中的最小元素 m ＝6，所以B正确； a9＜ a5，所以C不正确； a10＝
22，所以D正确.故选B、D.
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16. 设数列{ an }满足： a1＝1， an ＝ an－1＋ ， n ＝2，3，…，
其中[ x ]表示不超过实数 x 的最大整数.若 an 被正整数 p 除所得的
余数为 k ，则记 an ≡ k （mod p ），若数列中不同的两项 ai ， aj 被 p
除所得余数相同，则记 ai ≡ aj （mod p ）.
（1）直接写出 a2， a3， a4， a5；
解：当 n ＝2时， a2＝ a1＋ a1＝2，
当 n ＝3时， a3＝ a2＋ a1＝2＋1＝3，
当 n ＝4时， a4＝ a3＋ a2＝3＋2＝5，
当 n ＝5时， a5＝ a4＋ a2＝5＋2＝7，
所以 a2＝2， a3＝3， a4＝5， a5＝7.
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（2）若 an ≡0（mod7），证明： a2 n＋1≡ a2 n ≡ a2 n－1（mod7）.
解： 因为 an ＝ an－1＋ ，
所以 a2 n＋1＝ a2 n ＋ an ，
又因为 an ≡0（mod7），
所以 a2 n＋1被7除所得余数与 a2 n 被7除所得余数一致，即 a2 n＋
1≡ a2 n （mod7），
同理： a2 n ＝ a2 n－1＋ an ，
因为 an ≡0（mod7），
所以 a2 n 被7除所得余数与 a2 n－1被7除所得余数一致，即 a2 n ≡
a2 n－1（mod7），故 a2 n＋1≡ a2 n ≡ a2 n－1（mod7）.
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谢 谢 观 看！第2课时 数列的递推公式
1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（ ）
A.an＝an－1＋2（n≥2）
B.an＝2an－1（n≥2）
C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2）
D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2）
2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（ ）
A.15 B.17
C.49 D.64
3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（ ）
A.an＝3n＋1
B.an＝3n
C.an＝3n－2
D.an＝3（n－1）
4.（2024·绍兴月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（ ）
A.512 B.256
C.2 048 D.1 024
5.（多选）符合递推关系式an＝an－1的数列是（ ）
A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，…
C.，2，2，4，… D.0，，2，2，…
6.（多选）已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（ ）
A.a1＝3 B.an＝2n（n≥2）
C.an＝2n D.an＝2n（n≥2）
7.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝ .
8.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2（n∈N*），则a9＝ .
9.已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），则an＝ .
10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出.
（1）写出此数列的前5项；
（2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.
11.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则数列{an}的通项公式为an＝（ ）
A.2＋ln n B.2＋（n－1）ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
12.（多选）由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（ ）
A.b3＝5 B.b4＝9
C.b5＝15 D.b6＝33
13.（2024·台州月考）设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n（n∈N*），则a11＝ .
14.已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an.
15.（多选）已知数列{an}满足a1∈N*，且an＋1＝（n＝1，2，…），集合M＝{a1，a2，…，aN}中的最小元素记为m.若a1＝20，N＝10，则（ ）
A.2a3＝a8 B.m＝6
C.a9＞a5 D.a10＝22
16.设数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋，n＝2，3，…，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若an被正整数p除所得的余数为k，则记an≡k（modp），若数列中不同的两项ai，aj被p除所得余数相同，则记ai≡aj（modp）.
（1）直接写出a2，a3，a4，a5；
（2）若an≡0（mod7），证明：a2n＋1≡a2n≡a2n－1（mod7）.
第2课时 数列的递推公式
1.C A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.故选C.
2.B 由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17.
3.C 因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2.
4.D 因为an＋1＝2an，即＝2，所以＝2，＝2，…，＝2，累乘可得a11＝1 024.
5.BC B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确.
6.AD Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝
7.4 解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1＋5＝4.
8. 解析：a1a2…a8＝82，①，a1a2…a9＝92，②，②÷①得，a9＝＝.
9. 解析：因为an＝an－1＋（n≥2），所以an－an－1＝＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）.以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2），所以an＝a1＋－＝（n≥2），又a1＝适合上式，所以an＝.
10.解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2，
所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
（2）因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
11.A a2＝a1＋ln，a3＝a2＋ln，…，an＝an－1＋ln（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.
12.ABD 因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33.
13. 解析：由a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n①得：当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－1②，①－②得2n－1·an＝1，an＝，所以a11＝＝.
14.解：当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，
所以＝，
所以···…··＝×××…××＝.
所以＝，
所以an＝，
当n＝1时，a1＝1符合上式，
所以an＝，n∈N*.
15.BD 因为数列{an}满足a1＝20，且an＋1＝（n＝1，2，…），所以a2＝20＋4＝24，a3＝24＋4＝28，a4＝28＋4＝32，a5＝32＋4＝36，a6＝＝6，a7＝6＋4＝10，a8＝10＋4＝14，a9＝14＋4＝18，a10＝18＋4＝22，所以2a3≠a8，所以A不正确；集合M＝{a1，a2，…，a10}中的最小元素m＝6，所以B正确；a9＜a5，所以C不正确；a10＝22，所以D正确.故选B、D.
16.解：（1）当n＝2时，a2＝a1＋a1＝2，
当n＝3时，a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，
当n＝4时，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
当n＝5时，a5＝a4＋a2＝5＋2＝7，
所以a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝7.
（2）因为an＝an－1＋，
所以a2n＋1＝a2n＋an，
又因为an≡0（mod7），
所以a2n＋1被7除所得余数与a2n被7除所得余数一致，即a2n＋1≡a2n（mod7），
同理：a2n＝a2n－1＋an，
因为an≡0（mod7），
所以a2n被7除所得余数与a2n－1被7除所得余数一致，即a2n≡a2n－1（mod7），
故a2n＋1≡a2n≡a2n－1（mod7）.
1 / 2第2课时 数列的递推公式
观察某次智力测试中的一道题：数列：1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是：
a2－a1＝3－1＝2，
a3－a2＝6－3＝3，
a4－a3＝10－6＝4，
a5－a4＝15－10＝5，
……
【问题】 （1）你能写出该数列的第8个数吗？
（2）你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？
知识点一 数列的递推公式
如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
提醒 对数列递推公式的再理解：①与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式；②给出了数列的递推公式和首项（或前几项），就可以求出数列中的任意一项.
知识点二 数列的前n项和
1.数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作 ，即Sn＝ .
2.数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和 与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
3.an与Sn的关系
an＝
提醒 在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.（ ）
（2）利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.（ ）
（3）递推公式是表示数列的一种方法.（ ）
（4）S2n表示数列{an}中所有偶数项的和.（ ）
2.符合递推关系式an＝2an－1的数列是（ ）
A.1，2，3，4，… B.1，2，4，8，…
C.，2，，2，… D.0，，2，2，…
3.已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝2an－1＋1（n≥2），则a5＝（ ）
A.7 B.15
C.30 D.31
4.（2024·宁波月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1，则a8＝ .
题型一 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1＋（n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项.
通性通法
由递推公式写出数列的项的方法
（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；
（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a5＝（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
2.已知数列{an}满足an＋1＝，a5＝2，则a1＝ .
题型二 由递推公式求数列的通项公式
【例2】 （1）（2024·厦门月考）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2024·深圳月考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an（n∈N*），则an＝（ ）
A.n＋1 B.n C. D.
通性通法
由递推公式求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式；
（2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－（n≥2），求an.
2.已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an.
题型三 利用Sn与an的关系求通项公式
【例3】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
【母题探究】
（变条件，变设问）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
通性通法
由Sn求通项公式an的步骤
（1）当n＝1时，a1＝S1；
（2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1；
（3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
【跟踪训练】
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＝（ ）
A. B.
C. D.
2.（2024·泉州月考）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，求an.
1.已知数列{an}中首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是（ ）
A.1 B.
C. D.
2.已知数列{an}满足a1＝1， －＝1，则a10＝（ ）
A.10 B.20
C.100 D.200
3.若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，则a100＝ .
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式：
（1）Sn＝3n＋2；
（2）Sn＝n2－n.
第2课时 数列的递推公式
【基础知识·重落实】
知识点一
相邻
知识点二
1.Sn a1＋a2＋…＋an 2.Sn 序号n 3.Sn－Sn－1，n≥2
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.B B项中相邻的两项，后一项是前一项的2倍，符合递推关系式an＝2an－1.
3.D ∵an＝2an－1＋1（n≥2），a1＝1，∴a5＝2a4＋1＝4a3＋3＝8a2＋7＝16a1＋15＝31.故选D.
4.128 解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－1，所以a8＝S8－S7＝28－1－（27－1）＝27＝128.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由题意，得a2＝3a1＋，
而a1＝1，所以a2＝3×1＋＝.
同理a3＝3a2＋＝10，a4＝3a3＋＝，a5＝3a4＋＝91.
跟踪训练
1.A 由题意a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5.
2. 解析：因为an＋1＝，a5＝2，令n＝4，2＝，所以a4＝，令n＝3，＝，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝，所以a2＝2，令n＝1，2＝，所以a1＝.
【例2】 （1）B （2）D 解析：（1）法一（归纳法） 数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，a3＝＋－＝2－＝，a4＝＋－＝2－＝，a5＝＋－＝2－＝，所以an＝2－＝（n≥2），又a1＝1满足上式，由此可得数列的一个通项公式为an＝.
法二（迭代法） a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－（n≥2），则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝（n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）.
法三（累加法） an＋1－an＝－，a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，an－an－1＝－（n≥2），以上各式相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－.所以an＝（n≥2）.因为a1＝1也适合上式，所以an＝（n∈N*）.
（2）（累乘法）由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an（n∈N*），所以＝，所以an＝··…···a1＝××…×××1＝.
跟踪训练
1.解：因为an＝an－1＋－（n≥2），
所以an－an－1＝－.
所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1
＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋1＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
2.解：因为ln an－ln an－1＝1，
所以ln＝1，
即＝e（n≥2）.
所以an＝··…··a1＝
＝en－1（n≥2），
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*
【例3】 解：因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n－32.
且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
母题探究
解：因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式.
所以an＝
跟踪训练
1.B 根据题意，Sn＝，则S5＝，S4＝，则a5＝S5－S4＝－＝，故选B.
2.解：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，
故an＝
随堂检测
1.C 由题知a2＝×1＋＝1，a3＝×1＋＝.
2.C 数列{an}满足a1＝1，－＝1，可得＝1，－＝1，－＝1，…，－＝1，叠加可得＝10，所以a10＝100.
3.5 050 解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得＝（n≥2，n∈N*），则a100＝a1···…·＝1×××…×＝ 5 050.
4.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－（3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝
（2）当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2－n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2，
又a1＝0满足an＝2n－2，故an＝2n－2.
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